Prímszámtétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A prímszám-eloszlás tétele az analitikus számelmélet tétele, amely leírja a prímszámok eloszlásának aszimptotikáját , amely kimondja, hogy a prímszámok eloszlásfüggvénye (a prímszámok száma az intervallumon ) növekszik a növekedéssel , azaz: $\pi(n)$ $[1;n]$ $n$ ${\frac {n}{\ln n))$

{\frac {\pi (n)}{n/\ln n))\to 1

, mikor

n\to \infty .

Nagyjából ez azt jelenti, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szám 1-től a prímszám valószínűségéig megközelítőleg egyenlő . $n$ ${\frac {1}{\ln n))$

Ezenkívül ez a tétel ekvivalens módon újrafogalmazható a th prímszám viselkedésének leírására : kimondja, hogy $k$ $p_{k}$

p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty

(a továbbiakban a jelölés azt jelenti, hogy amikor a függvények argumentuma a végtelenbe hajlik). $f\sim g$ $f/g\to 1$

Pontosabban, a prímszámok eloszlását az integrál logaritmusfüggvény írja le . Ha a Riemann-hipotézis igaz , akkor [1]

\pi (n)=\operátornév {Li} (n)+O({\sqrt {n))\ln n)

nál nél

x\rightarrow \infty .

Történelem

A prímszámok elrendezésének első statisztikai szabályszerűségét Gauss vette észre . Enckéhez írt levelében (1849) arról számolt be, hogy már 1792-ben vagy 1793-ban tisztán empirikusan megállapította, hogy a prímszámok sűrűsége "átlagosan közel van a logaritmussal fordítottan arányos értékhez" [2] . Ekkorra a Felkel és Vega által összeállított prímtáblázatok alapján Legendre azt javasolta (1796-ban), hogy a prímek eloszlásfüggvénye (az x -et meg nem haladó prímszámok száma ) a következőképpen közelíthető meg: $\pi(x)$

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B))

ahol Gauss az említett levélben kritizálja a Legendre formulát, és heurisztikus érveléssel egy másik közelítő függvényt javasol, az integrál logaritmust : $B\kb 1{,}08366.$

{\mathrm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx

Ezt a sejtést Gauss azonban sehol sem tette közzé. Mind a Legendre-, mind a Gauss-közelítés a függvények azonos feltételezett aszimptotikus ekvivalenciájához vezet, és a fentebb is jeleztük, bár a Gauss-közelítés sokkal jobbnak bizonyul, ha a hiba becslésénél a függvények különbségét vesszük figyelembe arányuk helyett. $\pi(x)$ $x/\ln(x)$

Két írásában, 1848 -ban és 1850 -ben Csebisev bebizonyítja [3] , hogy a kapcsolat felső M és alsó m határa

{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad

(egy)

belül találhatók , és azt is, hogy ha az (1) reláció határa létezik, akkor az egyenlő 1-gyel. Később (1881) J. J. Sylvester a határ megengedett intervallumát 10%-ról 4%-ra szűkítette. $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$

1859- ben jelent meg Riemann munkája , amely figyelembe veszi ( Euler egy valós argumentum függvényeként vezette be) a ζ -függvényt a komplex tartományban, és annak viselkedését a prímszámok eloszlásához köti. E munka gondolatait továbbfejlesztve 1896 -ban Hadamard és de la Vallée Poussin egyszerre és egymástól függetlenül bizonyították a prímszámok eloszlásának tételét.

Végül 1949 -ben jelent meg az Erdős - Selberg bizonyítás, amely nem alkalmaz komplex elemzést .

A bizonyítás általános menete

Reformulálás Csebisev pszi-függvénye szerint

Az érvelés általános kezdeti szakasza a prímszámok eloszlásának törvényének újrafogalmazása a Csebisev-pszi-függvény szerint, amelyet a következőképpen definiálunk:

\psi (x)=\sum _{{p^{k}\leq x}}\log p,\qquad \qquad (*)

más szavakkal, a Csebisev-pszi-függvény a Mangoldt-függvény összege :

\psi (x)=\sum _{{n\leq x}}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\ ,k\geq 1,\quad p\,{\text{egy prím}}\\0,&{\szöveg{egyébként}}.\end{cases}}

Ugyanis kiderül, hogy a prímszámok aszimptotikus eloszlása ekvivalens azzal, hogy

\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .

Ennek az az oka, hogy a logaritmus "közel állandó" az intervallum nagy részében , és a négyzetek, kockák stb. hozzájárulása az összeghez (*) elhanyagolható; ezért szinte minden hozzáadott logaritmus hozzávetőlegesen egyenlő a -val , és a függvény aszimptotikusan ugyanúgy viselkedik, mint a . $[1,n]$ $\ln p$ $\ln x$ $\psi(x)$ $\pi (x)\cdot \ln x$

Klasszikus érvelés: átmenet a Riemann zéta függvényre

Amint Euler azonosságából következik ,

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s))))

a Mangoldt-függvénynek megfelelő Dirichlet-sor ("generáló függvény") mínusz a zéta-függvény logaritmikus deriváltja:

\sum _{n}\Lambda (n)n^{{-s}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))).

Ezen túlmenően a függvény 0-tól jobbra eső függőleges egyenes mentén lévő integrálja egyenlő és 0 -val . Ezért a jobb és a bal oldal szorzata és (a rendes - nem megfelelő integrálok csak feltételesen konvergálnak!) a függőleges vonal mentén történő integrációval pontosan a bal oldalon -val összeget hagy . Másrészt a maradéktétel alkalmazása lehetővé teszi, hogy a bal oldalt maradékok összegeként írjuk fel; a zéta-függvény minden nullája a logaritmikus deriváltja egy elsőrendű pólusának felel meg, amelynek maradéka 1, és egy pontban lévő elsőrendű pólusnak, egy elsőrendű pólusnak, amelynek maradéka egyenlő . $a^{s}/s$ $2\pi i$ $a>1$ $0<a<1$ ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ $ds$ $\lambda(n)$ $n\leqslant x$ $s=1$ $(-egy)$

A program szigorú végrehajtása lehetővé teszi [4] az explicit Riemann-formula[5] elérését :

\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operátornév {Re} (\rho )<1}{\frac {x ^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (** )

Az összegzés itt a zéta-függvény kritikus sávban lévő nullái felett történik, a tag a nullánál lévő pólusnak , a tag pedig a zéta-függvény úgynevezett „triviális” nulláinak felel meg . $\rho$ $0<\operatorname {Re} (s)<1$ $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)))$ ${\frac {x^{s}}{s}}$ $-\log(1-x^{-2})/2$ $s=-2,-4,-6,\pontok$

A zéta-függvény nem triviális nulláinak hiánya a kritikus sávon kívül magával vonja a szükséges állítást (a (**) képletben szereplő összeg lassabban fog növekedni, mint ). Ezenkívül a Riemann-hipotézis "optimális" becslést tartalmaz a -tól való lehetséges eltérésekre , és ennek megfelelően a -tól való eltérésekre . $\psi (x)\sim x$ $x$ $\psi(x)$ $x$ $\pi(x)$ $x/\ln x$

Elemi bizonyítás: Erdős-Selberg kiegészítés

Az aritmetika alaptétele, a logaritmus as vétele után írva

\ln n=\sum _{{p,k:\,p^{k}|n}}\ln p

így az aritmetikai függvények és a Dirichlet-konvolúció szerint fogalmazódik meg

\ln =\Lambda *{\mathbf {1}},

ahol és az aritmetikai függvények, az argumentum logaritmusa és az azonos egység. $\ln$ $\mathbf{1}$

A Möbius inverziós képlet lehetővé teszi, hogy átvigyünk a jobb oldalra: $\mathbf{1}$

\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)

hol van a Möbius-függvény. $\mu$

A bal oldal (**) összege a kívánt függvény . A jobb oldalon a Dirichlet-hiperbola-formula alkalmazása lehetővé teszi, hogy a konvolúció összegét olyan összegre csökkentsük, ahol a logaritmus összege. Az Euler-Maclaurin képlet alkalmazása lehetővé teszi, hogy így írjunk $\psi$ $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),$ $L$ $L(n)$

L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln+\gamma +o(1),

hol van az Euler-állandó . Ettől a kifejezéstől elválasztva azokat a kifejezéseket, amelyek egy megfelelően kiválasztott F függvény alakja (nevezetesen, ), és a maradékot R -vel jelöljük, a Möbius-inverzió eredményeképpen $\gamma$ $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k))\right)$ $F(x)=x-\gamma -1$

\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).

Mivel még ellenőrizni kell, hogy a második kifejezés alakja . Az Asker-lemmának alkalmazása lehetővé teszi, hogy ezt a problémát annak az állításnak az ellenőrzésére redukáljuk, ahol a Mertens-függvény , a Möbius-függvény összege. $F(x)\sim x,$ $ökör)$ $M(x)=o(x),$ $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$

A Möbius-függvény összegeinek kicsinysége egy részsorozaton a függvényre alkalmazott inverziós képletből következik . $1/n$

Továbbá a Möbius-függvény az aritmetikai függvények algebrájában (a multiplikatív konvolúciós művelettel) kielégíti az elsőrendű „differenciálegyenletet”

\mu '=-\mu *\Lambda ,

hol van egy levezetés ebben az algebrában (a Dirichlet-sorra való átállás a függvény szokásos származtatásává változtatja). Ezért a másodrendű egyenletet is kielégíti $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$

\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').

Ennek az egyenletnek az "átlagolása" és az a tény, hogy a függvény összegének aszimptotikáját jobban becsülik, mint az összegek aszimptotikáját , lehetővé teszi, hogy az arányt egy ilyen arány átlagos értékein keresztül becsüljük meg. Egy ilyen becslés, valamint a "kisebbség a sorban", és lehetővé teszi, hogy a kívánt becslést . $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ $\lambda$ ${\frac {M(x)}{x}}$ $M(x)=o(x)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Modern. prob. Mat., 2008, 11. szám - p. 30-31
↑ Derbyshire, 2010 , p. 178-179..
↑ Akhiezer N. I. P. L. Csebisev és tudományos öröksége.
↑ A Riemann--von Mangoldt explicit formula vázlata . Letöltve: 2009. november 15. Az eredetiből archiválva : 2010. július 7.. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Explicit Formula a Wolfram MathWorld webhelyen .

Irodalom

Klasszikusok

Jacques Hadamard . Sur la distribution des zéros de la fontction et ses conséquences arithmétiques $\zeta (s)$ . Bika. szoc. Math. France , No. 24 (1896), 199-220.
Charles de la Vallee Poussin . Recherces analytics sur la theorie des nombres premiers. Ann. szoc. sci. Bruxells , 1897.
Chebisev P. L. Az adott értéket meg nem haladó prímszámok meghatározásáról, 1848.
Csebisev P. L. A prímszámokról, 1850.
Bernard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Modern irodalom

Derbyshire, John. Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Diamond, G. Elementary Methods in the Study of the Distribution of Primes , Uspekhi Mat . Nauk , 45:2(272) (1990), 79-114.
Postnikov A. G., Romanov N. P. A. Selberg elemi bizonyítékának egyszerűsítése a prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvényére , Uspekhi Mat . Nauk , 10:4(66) (1955), p. 75-87
Erdős, P. Demonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathematique, Amszterdam, 1949.
Selberg, A. A prímszámtétel elemi bizonyítása, Ann. Math. 50, 305-313, 1949.

Linkek

Weisstein, Eric W. Prímszámtétel (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)