Hahn-Banach tétel

A Hahn - Banach - tétel a funkcionális elemzés számos kapcsolódó klasszikus eredményére utal , különösen

A tétel a lineáris funkcionális folytatásáról a majoráns megőrzésével ;
Az elválasztási tétel konvex halmazokra ;
Tétel egy lineáris függvény folytonos vagy pozitív folytatásáról.

A tétel a lineáris funkcionális folytatásáról a majoráns megőrzésével

Legyen lineáris vagy vektortér a valós számok mezeje felett, és pozitívan homogén szubadditív függvény . Egy lineáris tér bármely lineáris alterére , minden lineáris függvény kielégíti a feltételt $x$ $\mathbb {R}$ $p:X\ to \mathbb R$ $Y$ $x$ $f:Y\to \mathbb R$

f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y

az egyenlőtlenség megtartása mellett az egész térre kiterjeszthető . $x$

Könnyen kimutatható, hogy a függvénynek csak a pozitív homogenitása (ilyen hibás megfogalmazás található a Mathematical Encyclopedia -ban ) vagy a függvény szuperadditivitása nem elegendő ennek a tételnek az érvényességéhez. $p$

Ellenpélda egy pozitívan homogén függvényre: , , . $X=\mathbb R$ $Y=\{0\}$ $p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0$

Széles körben ismertek a tétel különféle változatai a lineáris funkcionális folytatásáról a lineáris terek majoránsának megőrzésével a komplex számok mezője felett , amikor szeminorma . $p$

Tétel egy lineáris függvény folytonos kiterjesztésére

Egy normált lineáris tér lineáris sokaságán definiált bármely lineáris korlátos függvény kiterjeszthető a teljes térre a norma megtartásával. $f$ $Y$ $x$

Számos fontos következmény következik ezekből a tételekből. Egyikük:

Egy lineáris normált tér vagy egy lokálisan konvex tér bármely két különböző pontjához létezik egy olyan lineáris folytonos függvény , amely az egész téren van definiálva, amelynek értékei ezekben a pontokban eltérőek.

Bizonyítás

Először bebizonyítjuk, hogy egy irányban van kiterjesztése. Hadd . Tekintsük az űrlap lineáris terét: $z\in X\setminus Y$

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Továbbra is írjuk: $f$ $Y_z$

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

hol van a meghatározandó valós szám . Tetszőleges és végrehajtott: $\tilde f(z)$ $y_1, y_2\Y-ban$ $a,b>0$

f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant

{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =

{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant

\leqslant ap(y_1-bz) + bp(y_2+az).

Innen

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

Következésképpen

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2) \right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Határozzuk meg így $c\in \R$

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \ leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Egyenlőség

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

Határozzuk meg

\tilde f(z)=c.

Mindenre és tetszőlegesre a következő egyenlőtlenség érvényes: $y\-ban Y$ $a\in \R$

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

ezért

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

A bizonyítás befejezéséhez a Zorn-féle lemmát használjuk . Legyen az összes lehetséges kiterjesztés halmaza, amely kielégíti a tétel feltételeit. Ez a halmaz a tartományok belefoglalása miatt részben rendezett , és minden lineárisan rendezett részhalmaznak van felsőbbsége (a tartományok uniója ). Ezért a Zorn-lemma szerint ennek a halmaznak van egy maximum eleme. Ez az elem megegyezik a teljes térrel, ellenkező esetben a további folytatás csak egy bizonyos konstrukcióval végezhető el. $E$

Lásd még

Irodalom