Zorn lemmája

A Zorn-lemma (néha Kuratowski-Zorn-lemma ) a választási axiómával egyenértékű állítások egyike , a Zermelo-tétellel (a jól rendezési elv) és a Hausdorff-féle maximumelvvel (ami valójában egy alternatív megfogalmazás) a Zorn-lemma).

Max Zorn német matematikus nevét viseli , gyakran emlegetik Kazimir Kuratowski lengyel matematikus neve alatt is , aki korábban hasonló állítást fogalmazott meg .

Állítás : Egy részlegesen rendezett halmaz , amelyben bármely láncnak van felső határa , maximum elemet tartalmaz . számos egyenértékű alternatív megfogalmazása létezik .

Történelem

A Zorn-lemmához hasonló és azzal egyenértékű állításokat a matematikusok sokkal korábban javasolták, mint Zorn. Tehát 1904-ben Ernst Zermelo bebizonyított egy tételt, amely szerint minden halmaz jól rendezhető . Ennek bizonyítására "egy vitathatatlan logikai elvre" hivatkozott, amelyet a választás axiómájának nevezett . Hausdorff 1914 -ben általa megfogalmazott és bizonyított maximumelve Zorn lemma egy alternatív és korábbi megfogalmazása.

1922 -ben Kuratovsky bebizonyította a lemmát a modernhez közeli megfogalmazásban (a befogadással rendezett és a jól rendezett láncok egyesülése alá zárt halmazcsaládra). Gyakorlatilag ugyanezt az állítást (gyengébb megfogalmazásban, nem teljesen rendezett láncokra, hanem tetszőlegesekre) Zorn önállóan fogalmazta meg 1935 -ben "A Transfinite Algebra módszeréről" című cikkében. Maga Zorn „ maximális elvnek ” nevezte, javasolta a halmazelmélet axiómáiba való beillesztését és a térelmélet különféle tételeinek bizonyítására Zermelo jól rendező elve helyett.

A "Zorn's lemma" nevet először John Tukey vezette be 1940 -ben .

Formulációk

A Zorn-lemmának számos alternatív megfogalmazása létezik.

Alap megfogalmazás:

Ha egy részben rendezett halmazban bármely lineárisan rendezett részhalmazhoz van felső korlát, akkor benne van egy maximális elem. $M$ $M$

Érdemes megérteni, hogy ez a megfogalmazás pontosan mit is jelent. Az egyes lineárisan rendezett részhalmazok felső korlátjának létezésének feltétele nem követeli meg, hogy ez a korlát feltétlenül magában ebben a részhalmazban legyen. Csak az szükséges, hogy a felső korlát a teljes halmazban szerepeljen . A maximális elem itt úgy értendő, hogy nem kevesebb, mint az összes, amellyel összehasonlítható. Nem kell nagyobbnak vagy egyenlőnek lennie bármely elemnél. Például egy olyan elem lesz a maximum, amely össze nem hasonlítható a halmaz bármely más elemével. $M$ $M$

A Zorn-féle lemma fő megfogalmazása erősíthető.

Továbbfejlesztett megfogalmazás:

Ha egy részlegesen rendezett halmazban bármely lineárisan rendezett részhalmazhoz van felső korlát, akkor minden elemhez van a halmaz maximum eleme, amely nagyobb vagy egyenlő, mint az elem . $M$ $a\in M$ $M$ $a$

Az alapfogalmak azt állítják, hogy létezik egy olyan elem, amely minden egyes elem esetében nagyobb vagy egyenlő , vagy összehasonlíthatatlan vele. A megerősített megfogalmazás minden egyes ilyen elem létezését állítja, hogy az nagyobb vagy egyenlő , mint , ugyanakkor az összes többi elemnél nagyobb vagy egyenlő, vagy összehasonlíthatatlan. Ez azt jelenti, hogy minden egyes elemnél kiválaszthatja a maximumot úgy, hogy az nagyobb vagy egyenlő legyen vele. Ez a maximális elem az adott elemtől függően eltérő lehet . $a\in M$ $a$ $a\in M$ $a$ $a$

Az eredeti, 1935-ös dolgozatban Zorn megfogalmazott egy nyilatkozatot a részben befoglalás útján rendezett készletekre.

Nyilatkozat egy készletcsaládhoz:

Ha egy halmazcsalád rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely halmazlánc uniója ismét ebből a családból származik, akkor egy maximális halmazt tartalmaz. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Ez a megfogalmazás nyilvánvalóan a főből következik. Ugyanakkor, mint látható, még a halmazcsaládok esetében is gyengébb, mint a fő, mivel csak a halmazok uniójának jelenlétét követeli meg a családban, nem pedig egy önkényes szuperhalmazt.

Annak ellenére, hogy egyes megfogalmazások erősebbek, mások gyengébbek, a Zorn-lemmának mindhárom megfogalmazása egyenértékű a Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben . Ennek bizonyítéka a Választás axiómájával egyenértékű nyilatkozatok című cikk .

Alkalmazások

Sok problémában a Zorn-lemma a legkényelmesebb a választási axiómával egyenértékű összes megfogalmazás közül; különösen a következő tételek bizonyítására használják:

a Hahn-Banach tétel egy lineáris függvény kiterjesztésére;
tétel a Hamel-bázis létezéséről tetszőleges lineáris térben ;
Tyihonov tétele ;
tétel egy tetszőleges mező algebrai lezárásának létezéséről ;
tétel a maximális ideál létezéséről egy egységnyi gyűrűben .

Irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. — M .: Nauka, 1977. — 368 p.
Yosida K. Funkcionális elemzés. - M . : Mir, 1967. - ch. IV, V, 616 pp.
Kolmogorov AN, Fomin SV A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 7. kiadás - M. : Fizmatlit, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. - 2. kiadás - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Hausdorff F. Halmazelmélet. - 4. kiadás - M. : URSS, 2007. - 304 p. - ISBN 978-5-382-00127-2 .