Bolzano-Weierstrass tétel

A Bolzano-Weierstrass-tétel vagy a Bolzano-Weierstrass-határpont-lemma egy elemzési javaslat , amelynek egyik megfogalmazása szerint: a tér bármely korlátozott pontsorozatából megkülönböztethető egy konvergens részsorozat. A Bolzano-Weierstrass-tétel, különösen a numerikus sorozat ( ) esetében, minden elemzési folyamatban megtalálható. Számos elemzési javaslat bizonyítására használják, például a szegmensen folytonos függvény legjobb felső és alsó határával való elérésére vonatkozó tétel . A tétel Bolzano cseh matematikus és Weierstrass német matematikus nevét viseli. $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1$ , aki önállóan fogalmazta meg és bizonyította.

Formulációk

A Bolzano-Weierstrass-tétel számos megfogalmazása ismert.

Első megfogalmazás

Javasoljunk egy pontsorozatot a térben $\mathbb {R} ^{n}$ :

x_1, x_2, \ldots

és legyen ez a sorozat korlátos , azaz .

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \lpont

hol van valami szám. $C > 0$

Ezután ebből a sorozatból kiválaszthatunk egy részsorozatot

x_{k_1}, x_{k_2}, \lpontok

amely a tér valamely pontjához konvergál . $\mathbb {R} ^{n}$

A Bolzano-Weierstrass-tételt ebben a megfogalmazásban néha a korlátos sorozat tömörségi elvének is nevezik .

Az első megfogalmazás bővített változata

A Bolzano-Weierstrass-tételt gyakran kiegészítik a következő tétellel.

Ha a térben a pontok sorozata korlátlan , akkor abból ki lehet választani egy olyan részsorozatot, amelynek határértéke van . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

Az esetre ez a megfogalmazás finomítható: tetszőleges korlátlan numerikus sorozatból kiválaszthatunk olyan részsorozatot, amelynek egy bizonyos előjelű ( vagy ) végtelen határa van. $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Így bármely számsorozat tartalmaz egy részsorozatot, amelynek van határa a valós számok kiterjesztett halmazában . $\overline{\mathbb{R))$

Második megfogalmazás

A következő tétel a Bolzano-Weierstrass-tétel egy alternatív megfogalmazása.

A tér minden korlátos végtelen részhalmazának van legalább egy határpontja a -ban . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Ez részletesebben azt jelenti, hogy létezik egy pont , amelynek minden környezete a halmaz végtelen számú pontját tartalmazza . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepszilon}(x_0)$ $E$

A Bolzano-Weierstrass-tétel két megfogalmazása egyenértékűségének bizonyítása

$\bigl ( 1 \jobbra 2 \bigr )$ Legyen a tér korlátos végtelen részhalmaza . Vegyen fel különböző pontok sorozatát $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Mivel ez a szekvencia korlátos, a Bolzano–Weierstrass-tétel első megfogalmazása alapján kivonható belőle egy részsorozat.

x_{k_1}, x_{k_2}, \lpontok

egy bizonyos pontig konvergál . Ekkor a pont bármely környéke a halmaz végtelen számú pontját tartalmazza . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \jobbra 1 \bigr )

Fordítva, legyen adott egy tetszőleges korlátos térbeli pontsorozat :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Ennek a sorozatnak az értékkészlete korlátozott, de lehet végtelen vagy véges. Ha véges, akkor az egyik érték végtelen számú alkalommal ismétlődik a sorozatban. Ekkor ezek a kifejezések egy stacionárius részsorozatot alkotnak (vagyis egy olyan sorozatot, amelynek minden eleme azonos, néhányból kiindulva), amely a ponthoz konvergál . $E$ $E$ $a \-ben E$ $a$

Ha a halmaz végtelen, akkor a Bolzano-Weierstrass-tétel második megfogalmazása alapján bármely szomszédságában létezik egy pont , amelynek végtelenül sok különböző tagja van a sorozatnak. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Válasszunk szekvenciálisan a pontot a növekvő számok feltételének figyelembevételével: $m = 1, 2, \lpont$ $x_{k_m} \in U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \lpontok

Ekkor a részsorozat a ponthoz konvergál .

x_{k_1}, x_{k_2}, \lpontok

x_0

quod erat demonstráció

Bizonyítás

A Bolzano–Weierstrass-tétel a valós számok halmazának teljességi tulajdonságából származik . A bizonyítás legismertebb változata a teljesség tulajdonságot használja a beágyazott szegmensek elv formájában .

Egydimenziós tok

Bizonyítsuk be, hogy bármely korlátos numerikus sorozatból ki lehet választani egy konvergens részsorozatot. A következő bizonyítási módot Bolzano módszernek vagy felezési módszernek nevezzük .

Legyen adott egy korlátos numerikus sorozat

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

A sorozat korlátosságából következik, hogy minden tagja a valós egyenes egy bizonyos szakaszán fekszik, amit -vel jelölünk . $[a_0, b_0]$

Oszd ketté a szakaszt két egyenlő részre. Az eredményül kapott szegmensek legalább egyike végtelen számú sorozattagot tartalmaz. Jelöljük ki . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

A következő lépésben megismételjük az eljárást a szegmenssel : két egyenlő szegmensre osztjuk, és ezek közül kiválasztjuk azt, amelyik a sorozat végtelen számú tagját tartalmazza. Jelöljük ki . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

A folyamatot folytatva beágyazott szegmensek sorozatát kapjuk

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

amelyben minden következő fele az előzőnek és a sorozat végtelen számú tagját tartalmazza . $\{x_k\}$

A szegmensek hossza általában nulla:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \-0

A beágyazott szegmensek Cauchy-Cantor elve értelmében egyetlen pont tartozik az összes szegmenshez: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \lpont

A felépítés szerint minden szegmens a sorozat végtelen számú tagját tartalmazza. Válasszunk egy sorozatot $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \lpont

miközben megfigyeljük a növekvő számok feltételét:

k_0 < k_1 < \lpontok

Ekkor a részsorozat a ponthoz konvergál . Ez abból következik, hogy a -tól a távolság nem haladja meg az őket tartalmazó szakasz hosszát , honnan $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \ 0-ra

Kiterjesztés egy tetszőleges véges dimenziójú tér esetére

A Bolzano-Weierstrass-tétel könnyen általánosítható tetszőleges dimenziójú tér esetére.

Legyen adott egy pontsorozat a térben : $\mathbb{R}^n$

\begin{mátrix} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \lpontok, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \lpontok, x_2^{(n)}) \\ \lpontok \\ \end{mátrix}

(az alsó index a sorozattag száma, a felső a koordinátaszám). Ha a térben a pontok sorozata korlátozott, akkor a koordináták numerikus sorozatai mindegyike: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

szintén korlátozott ( a koordinátaszám). $\nu = 1, \lpontok, n$

A Bolzano–Weierstrass-tétel egydimenziós változata révén a sorozatból kivonható olyan pontok részsorozata, amelyek első koordinátái konvergens sorozatot alkotnak. A kapott részsorozatból ismét kiválasztunk egy a második koordináta mentén konvergáló részsorozatot. Ebben az esetben a konvergencia az első koordinátában megmarad, mivel a konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergál. Stb. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

A lépések után egy sorozatot kapunk $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \lpontok

amely egy részsorozata , és az egyes koordinátákban konvergál. Ebből következik, hogy ez a részsorozat konvergál. $x_1, x_2, \ldots$

Történelem

A Bolzano-Weierstrass-tételt (az esetre ) először Bolzano cseh matematikus bizonyította 1817-ben. Bolzano munkájában lemmaként jelent meg a folytonos függvény köztes értékeire vonatkozó tétel bizonyításában, amely ma Bolzano-Cauchy tételként ismert. Azonban ezek és más eredmények, amelyeket Bolzano jóval Cauchy és Weierstrass előtt bizonyított , észrevétlen maradt. $n=1$

Csak fél évszázaddal később Weierstrass, Bolzanótól függetlenül, újra felfedezte és bebizonyította ezt a tételt. Eredetileg Weierstrass-tételnek hívták, mielőtt Bolzano munkája ismertté vált és elismerést kapott.

Ma ez a tétel Bolzano és Weierstrass nevét viseli. Ezt a tételt gyakran Bolzano-Weierstrass- lemmának , néha pedig határpont-lemmának nevezik .

A Bolzano-Weierstrass-tétel és a tömörség fogalma

A Bolzano-Weierstrass tétel egy korlátos halmaz következő érdekes tulajdonságát állapítja meg : minden pontsorozat tartalmaz egy konvergens részsorozatot. $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$

Az elemzés során a különféle állítások bizonyításakor gyakran a következő trükkhöz folyamodnak: meghatároznak egy pontsorozatot, amelyik rendelkezik valamilyen kívánt tulajdonsággal, majd kiválasztanak belőle egy ugyancsak azt birtokló, de már konvergáló részsorozatot. Például így igazolható a Weierstrass-tétel , hogy egy intervallumon folytonos függvény korlátos, és felveszi a legnagyobb és legkisebb értékét.

Az ilyen technika általános hatékonysága, valamint a Weierstrass-tétel tetszőleges metrikus terekre való kiterjesztésének vágya arra késztette Maurice Fréchet francia matematikust , hogy 1906-ban bevezesse a tömörség fogalmát . A -beli korlátos halmazok tulajdonsága , amit a Bolzano–Weierstrass-tétel állapít meg, képletesen szólva, hogy a halmaz pontjai meglehetősen „szorosan”, vagy „kompaktan” helyezkednek el: végtelen számú lépés megtétele után. , minden bizonnyal olyan közel fogunk megközelíteni, amennyire csak akarjuk, amelyhez - egy ponthoz a térben. $\mathbb{R}^n$

Fréchet a következő definíciót vezeti be: egy halmazt kompaktnak nevezünk , vagy kompaktnak , ha bármely pontsorozata tartalmaz egy részsorozatot, amely a halmaz valamely pontjához konvergál. Feltételezzük, hogy egy metrika van definiálva a halmazon, vagyis ez egy metrikus tér , vagy egy metrikus tér részhalmaza. $M$ $M$

E definíció alapján nem minden korlátos halmaz kompakt: a pontok egy részsorozata konvergálhat egy olyan ponthoz, amely már nem tartozik ehhez a halmazhoz. A behatárolt halmaz zárása azonban már kompakt. Így a Bolzano-Weierstrass-tétel elégséges feltételt támaszt a térbeli tömörséghez : ahhoz, hogy egy halmaz kompakt legyen , elegendő , ha zárt és korlátos. Ezeknek a feltételeknek a szükségességét nem nehéz ellenőrizni (ez sokkal könnyebb, mint az elégségesség bizonyítása). $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \subset \mathbb{R}^n$

Így a tömörség általános definíciója szempontjából a Bolzano-Weierstrass-tétel szerepe az, hogy meghatározza a térbeli tömörség kritériumát : a kompakt halmazok pontosan zárt korlátos halmazok. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. A matematika története. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1963. - T. 2.
Rudin U. A matematikai elemzés alapjai = Principles of Mathematical Analysis / per. angolról. Havin. A második sztereotip. - M . : "Mir", 1976.