Bayes tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Bayes-tétel (vagy Bayes-képlet ) az elemi valószínűségszámítás egyik fő tétele , amely lehetővé teszi egy esemény valószínűségének meghatározását, feltéve, hogy egy másik, azzal statisztikailag kölcsönösen függő esemény történt. Vagyis a Bayes-képlet szerint lehetséges a valószínűség pontosabb újraszámítása, figyelembe véve mind a korábban ismert információkat, mind az új megfigyelések adatait. Bayes képlete levezethető a valószínűségszámítás alapvető axiómáiból, különösen a feltételes valószínűségből. A Bayes-tétel sajátossága, hogy gyakorlati alkalmazása nagyszámú számítást, számítást igényel, így a Bayes-becsléseket csak a számítógépes és hálózati technológiák forradalma után kezdték el aktívan használni.

Amikor Bayes tétele felmerült, a tételben használt valószínűségeket számos valószínűségi értelmezésnek vetették alá. Az egyik ilyen értelmezés szerint a képlet levezetése közvetlenül kapcsolódik a statisztikai elemzés speciális megközelítésének alkalmazásához. Ha a valószínűség Bayes-féle értelmezését használjuk , akkor a tétel megmutatja, hogyan változhat drámaian a személyes bizalom szintje a bekövetkezett események számától függően. Ez Bayes következtetése, amely alapvetővé vált a bayesi statisztikákban. A tételt azonban nemcsak a Bayes-analízisben használják, hanem számos más számításhoz is aktívan használják.

Pszichológiai kísérletek [1] kimutatták, hogy az emberek gyakran hibásan becsülik meg egy esemény valós (matematikailag helyes) valószínűségét valamilyen szerzett tapasztalat alapján ( a posteriori valószínűség ), mert figyelmen kívül hagyják egy feltételezés valószínűségét ( a priori valószínűség ). Ezért a Bayes-képlet szerinti helyes eredmény nagyon eltérhet az intuitívan várttól.

Bayes tételét szerzőjéről, Thomas Bayesről (1702–1761), angol matematikusról és papról nevezték el, aki először javasolta a tétel alkalmazását a hiedelmek korrigálása frissített adatok alapján. " An Essay to solving a Problem in the Doctrine of Chances " című munkája először 1763 -ban [2] jelent meg , 2 évvel a szerző halála után. Mielőtt Bayes posztumusz munkáját elfogadták és elolvasták a Royal Societyben, Richard Price alaposan szerkesztette és frissítette . Ezeket az elképzeléseket azonban csak akkor hozták nyilvánosságra, amíg Pierre-Simon Laplace újra fel nem fedezte és továbbfejlesztette őket , aki először publikálta a tétel modern megfogalmazását 1812-es The Analytic Theory of Probability című könyvében.

Sir Harold Jeffreys azt írta, hogy Bayes tétele „a valószínűségelmélet számára ugyanaz, mint a Pitagorasz-tétel a geometriának ” [3] .

Megfogalmazás

Bayes képlete :

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)))

ahol

P(A)

— az A hipotézis a priori valószínűsége (az ilyen terminológia jelentését lásd alább);

P(A\mid B)

az A hipotézis valószínűsége a B esemény bekövetkezésekor (a posteriori valószínűség);

P(B\mid A)

a B esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha az A hipotézis igaz ;

P(B)

a B esemény bekövetkezésének teljes valószínűsége .

Bizonyítás

Bayes formulája a feltételes valószínűség definíciójából következik . Egy közös esemény valószínűségét kétféleképpen fejezzük ki feltételes valószínűségekkel $AB$

P(AB)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)

Következésképpen $P(A\mid B)={\frac {P(AB)}{P(B)))={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B) )}}$

Számítástechnika P(B)

Problémákban és statisztikai alkalmazásokban általában egy esemény teljes valószínűségére vonatkozó képlettel számítják ki, több ellentmondó hipotézistől függően , 1-es teljes valószínűséggel. $P(B)$

P(B)=\sum _{i=1}^{N}P(B\mid A_{i})P(A_{i})

ahol ismertek vagy kísérletileg becsülhetők az összegjel alatti valószínűségek.

Ebben az esetben a Bayes-képlet a következőképpen íródik:

P(A_{j}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{j})P(A_{j})}{\sum _{i=1}^{N}P (B\közép A_{i})P(A_{i})}}

"Fizikai jelentés" és terminológia

Bayes képlete lehetővé teszi az ok és okozat átrendezését: egy esemény ismert ténye alapján számítsa ki annak valószínűségét, hogy azt egy adott ok okozta. Ugyanakkor meg kell érteni, hogy a tétel alkalmazásához a és közötti ok-okozati összefüggés nem kötelező. $A$ $B$

Az „okok” működését tükröző eseményeket ebben az esetben hipotéziseknek nevezzük , mivel ezek azok az állítólagos események, amelyek az adottságot okozták. A hipotézis érvényességének feltétlen valószínűségét a priorinak nevezzük ( mennyire valószínű az ok általában ), a feltételes valószínűséget pedig, figyelembe véve az esemény tényét, a posteriorinak (mennyire bizonyult az ok). , figyelembe véve az eseményre vonatkozó adatokat ).

Példák

1. példa

Hagyja, hogy az esemény - az autó nem indul el, és a hipotézis - nincs üzemanyag a tartályban. Nyilvánvaló, hogy annak a valószínűsége , hogy az autó nem indul el, ha nincs üzemanyag a tartályban, egyenlő eggyel. Következésképpen annak az utólagos valószínűsége, hogy nincs üzemanyag a tartályban, ha az autó nem indul el, azaz egyenlő , azaz annak az előzetes valószínűségének az arányával, hogy nincs üzemanyag a tartályban, és annak a valószínűségének, nem indul az autó. Például, ha az előzetes valószínűsége annak, hogy nincs üzemanyag a tartályban, 0,01, és annak valószínűsége, hogy az autó nem indul el, 0,02, és egy véletlenszerűen kiválasztott autó nem indult, akkor annak a valószínűsége, hogy nincs üzemanyag a tankjában az 0, 5. $B$ $A$ $P(B\mid A)$ $P(A\mid B)$ ${\frac {P(A)}{P(B)))$

2. példa

Legyen a házasság valószínűsége az első munkásnál , a másodiknál - és a harmadiknál - . Az első készítette az alkatrészeket, a második az alkatrészeket, a harmadik pedig az alkatrészeket. A munkavezető véletlenszerűen vesz részt, és kiderül, hogy hibás. A kérdés az, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy ezt a részt a harmadik munkás készítette? $p_{1}=0{,}9$ $p_{2}=0{,}5$ $p_{3}=0{,}2$ $n_{1}=800$ $n_{2}=600$ $n_{3}=900$

Az esemény egy hibás alkatrész, egy esemény egy dolgozó által előállított alkatrész . Akkor , ahol , a . $B$ $A_{i}$ $én$ $P(A_{i})=n_{i}/N$ $N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$ $P(B\mid A_{i})=p_{i}$

A teljes valószínűségi képlet szerint

P(B)=\sum _{i=1}^{3}P(B\mid A_{i})P(A_{i}).

A Bayes-képlet szerint a következőket kapjuk:

P(A_{3}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{3})P(A_{3})}{P(B)))={\frac {P( B\mid A_{3})P(A_{3})}{P(B\mid A_{1})P(A_{1})+P(B\mid A_{2})P(A_{2) })+P(B\közép A_{3})P(A_{3})}}=

={\frac {p_{3}n_{3}/N}{p_{1}n_{1}/N+p_{2}n_{2}/N+p_{3}n_{3}/N} }={\frac {0{,}2\cdot 900/2300}{0{,}9\cdot 800/2300+0{,}5\cdot 600/2300+0{,}2\cdot 900/2300 }}=0{,}15.

3. példa

Az entomológus azt sugallja, hogy a bogár egy ritka bogár - alfaj lehet , mivel testén mintázat található. A ritka alfajban a bogarak 98%-a mintás, vagy P(minta | ritka) = 0,98. A közönséges bogarak közül csak 5%-a mintás: P(minta | szabályos) = 0,05. A ritka bogárfajoknak mindössze 0,1%-a van a teljes populációban: P(ritka) = 0,001. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy mintás bogár ritka alfaj, vagyis mi az a P(ritka | minta) ?

A kiterjesztett Bayes-tételből kapjuk (bármely bogár lehet ritka vagy gyakori): ${\begin{aligned}P({\text{rare}}\mid {\text{pattern)))&={\frac {P({\text{pattern}}\mid {\text{ritka }})\times P({\text{rare}})}{P({\text{pattern}}\mid {\text{rare}})\times P({\text{rare}})\, +\,P({\text{minta}}\mid {\text{plain)))\times P({\text{plain)))))\\[8pt]&={\frac {0{, }98\szer 0{,}001}{0{,}98\szor 0{,}001+0{,}05\szer 0{,}999}}\\[8pt]&\kb. 0{,} 019.\end{igazított}}$

A 4. példa Bayes tételének paradoxona

Legyen egy 0,001-es populáción belüli eloszlási gyakoriságú betegség és egy olyan diagnosztikus vizsgálati módszer, amely 0,9-es valószínűséggel azonosít egy beteget, ugyanakkor 0,01-es valószínűséggel ad téves pozitív eredményt - hibás betegség kimutatása egészséges emberben ( tovább… ). Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személy egészséges, ha a vizsgálat során betegnek ismerik el.

Jelöljük idézőjelekkel "betegnek" azt az eseményt, amikor a vizsgálat kimutatta, hogy az illető beteg, betegnek - azt az eseményt, hogy az illető valóban beteg, egészséges - azt az eseményt, hogy valóban egészséges. Ezután a megadott feltételeket a következőképpen írjuk át:

${\begin{aligned}P({\text{"beteg}}\közép {\text{beteg)))&=0{,}9\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P({\text{“beteg”}}\mid {\text{healthy)))&=0{,}01\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P({\text{sick)))&=0{,}001\end{aligned}}$ , míg , jelentése: ${\begin{aligned}P({\text{healthy)))&=1-P({\text{beteg)))\end{aligned))$

${\begin{aligned}P({\text{healthy)))&=0{,}999\end{aligned))$

Annak a valószínűsége, hogy egy személy egészséges, ha betegnek ismerik el, egyenlő a feltételes valószínűséggel:

${\begin{aligned}P({\text{healthy}}\mid {\text{“beteg”)))\end{aligned}}$

Ennek megállapításához először kiszámítjuk annak teljes valószínűségét, hogy betegként ismerjük fel:

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{"beteg")))&=P({\text{"beteg"}}\mid {\text{egészséges)))\cdot P({\ szöveg{egészséges)))+P({\text{"beteg"}}\mid {\text{beteg)))\cdot P({\text{beteg)))\\&=0{,}01\ 0$

Annak a valószínűsége, hogy egy személy egészséges, ha az eredmény "beteg":

${\begin{aligned}P({\text{egészséges}}\mid {\text{"beteg")))&={\frac {P({\text{"beteg"}}\mid { \text{egészséges)))\cdot P({\text{egészséges)))}{P({\text{"beteg")))))\\&={\frac {0{,}01\times 0{,}999}{0{,}01089}}\kb 0{,}917\end{igazított}}$

Így azoknak az embereknek a 91,7%-a, akiknek a vizsgálata „beteg” eredményt mutatott, valójában egészséges ember. Ennek az az oka, hogy a probléma állapotának megfelelően a hamis pozitív eredmény valószínűsége kicsi, de nagyságrenddel nagyobb, mint a vizsgált csoportban a betegek aránya.

Ha a felmérés hibás eredményei véletlenszerűnek tekinthetők, akkor ugyanazon személy második vizsgálata az elsőtől független eredményt ad. Ebben az esetben a hamis pozitív eredmények arányának csökkentése érdekében érdemes újra megvizsgálni azokat az embereket, akik „beteg” eredményt kaptak. Annak a valószínűsége, hogy egy személy egészséges, miután ismételt „beteg” eredményt kapott, szintén kiszámítható Bayes képletével:

${\begin{aligned}P{\bigl (}({\text{healthy}}\mid {\text{"ill"}}{\bigr )}\mid {\text{"ill"}} )&={\frac {P({\text{“beteg”)\mid {\text{egészséges)))\cdot {\bigl (}P({\text{“beteg”}}\mid {\ text {egészséges)))\cdot P({\szöveg{egészséges))){\bigr )}}{P({\text{"beteg"}}\mid {\text{egészséges)))\cdot {\ bigl (}P({\text{"beteg")\mid {\text{egészséges)))\cdot P({\text{egészséges))){\bigr )}+P({\text{"beteg »} }\mid {\text{beteg)))\cdot {\bigl (}P({\text{"beteg}}\mid {\text{beteg)))\cdot P({\text{beteg }}) {\bigr )}}}\\&={\frac {0{,}01\times 0{,}01\times 0{,}999}{0{,}01\times 0{,} 01\times 0{,}999+0{,}9\szer 0{,}9\szer 0{,}001}}\körülbelül 0{,}1098\vége{igazított}}$

A valószínűségek értelmezésének lehetőségei Bayes tételében

Matematikailag Bayes tétele megmutatja az A esemény valószínűsége és a B, P ( A ) és P ( B ) valószínűsége közötti összefüggést, az A esemény bekövetkezésének feltételes valószínűségét a létező B mellett és a B esemény bekövetkeztét meglévő A, P ( A | B ) és P ( B | A ).

Általánosságban a Bayes-képlet így néz ki:

${\displaystyle P(A\mid B)={P(B\mid A)\,P(A)}/{P(B)))$

A kifejezés jelentése attól függ, hogyan értelmezzük az adott képletben szereplő valószínűségeket.

Bayes értelmezése

A bayesi értelmezésben a valószínűség a bizalom szintjét méri. Bayes tétele összekapcsolja egy feltételezés hitelességét a nyilvánvaló bizonyítékok figyelembevétele előtt és után. Például valaki azt javasolta, hogy amikor egy érmét feldobnak, az kétszer gyakrabban landol felfelé és lefelé. Kezdetben a bizalom mértéke, hogy egy ilyen esemény megtörténik, az érme pontosan így fog esni - 50%. A megbízhatósági szint 70%-ra emelkedhet, ha a feltételezést bizonyítékok támasztják alá. [ tiszta ]

Az A feltevéshez (hipotézishez) és a B bizonyításhoz

P(A) - az A hipotézis a priori valószínűsége, az A feltételezés kezdeti megbízhatósági szintje;
P(A | B) az A hipotézis utólagos valószínűsége, amikor B esemény bekövetkezik;
a P ( B | A )/ P ( B ) arány megmutatja, hogy a B esemény hogyan segít megváltoztatni az A feltevés megbízhatósági szintjét.

Frekvencia értelmezés

A frekvenciaértelmezésben Bayes tétele kiszámítja egy esemény bizonyos kimeneteleinek arányait. Tételezzük fel, hogy egy kísérletet sokszor lefuttattak, és bizonyos esetekben A és/vagy B eredményeket eredményezett. Ezután:

P ( A ) - azon esetek aránya, amikor a kísérlet A eredményhez vezetett.
P ( B ) - azon esetek aránya, amikor a kísérlet B eredményhez vezetett.
P ( B | A ) - a B eredménnyel rendelkező esetek aránya az A eredménnyel rendelkező esetek között.
P ( A | B ) az A eredménnyel rendelkező esetek aránya a B eredménnyel rendelkező esetek között.

Bayes tételének szerepe leginkább a jobb oldalon bemutatott fadiagramokból érthető meg. A diagramok az események eloszlásának eltérő sorrendjét mutatják be az A és B eredmények megléte vagy hiánya alapján. Bayes tétele kapocsként működik ezen eloszlások között.

Űrlapok

Események

Egyszerű űrlap

Az A és B eseményeknél , feltéve, hogy P ( B ) ≠ 0,

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)))\cdot

Bayes tételének számos kiegészítése kimondja, hogy a B esemény ismert, és meg kell érteni, hogy a B eseményről való tudás hogyan befolyásolja az A esemény bekövetkezésének bizonyosságát. Ebben az esetben az utolsó kifejezés nevezője - a valószínűsége a B esemény bekövetkezése - ismert; meg akarjuk változtatni A. Bayes tételét, amely azt mutatja, hogy a posterior valószínűségek arányosak a számlálóval:

P(A\mid B)\propto P(A)\cdot P(B\mid A)\

(A arányossága adott B-re ) . Röviden, a posterior arányos a korábbival (lásd Lee, 2012, 1. fejezet).

Ha az A 1 , A 2 , ... események kölcsönösen kizárják és kimerítik, vagyis csak az egyik esemény lehetséges, két esemény nem történhet meg egyszerre, akkor meghatározhatjuk az arányossági együtthatót, arra fókuszálva, hogy azok valószínűsége adjunk össze egyet. Például egy adott A eseménynél maga az A esemény és ellentéte ¬ A kölcsönösen kizárják és kimerítik egymást. Az arányossági tényezőt C-vel jelölve a következőt kapjuk:

P(A\mid B)=c\cdot P(A)\cdot P(B\mid A)\

és .

P(\neg A\mid B)=c\cdot P(\neg A)\cdot P(B\mid \neg A)

A két képletet összevonva a következőt kapjuk:

c={\frac {1}{P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\neg A)\cdot P(B\mid \neg A))).

Bővített forma

Az események terét (például { A j }) gyakran P ( A j ) és P ( B | A j ) kifejezésekkel határozzák meg. Ebben az esetben hasznos a P ( B ) meghatározása a teljes valószínűségi képlet alkalmazásával :

P(B)={\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})},

\implies P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})\,P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P (B\közép A_{j})\,P(A_{j})}}\cdot

Különösen

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A )P(\neg A)}}

Folyamatos valószínűségi változók

Tekintsük két X és Y mennyiség által alkotott Ω elemi események terét . Alapvetően Bayes tétele az A = { X = x } és B = { Y = y } eseményekre vonatkozik. A kifejezések azonban 0-vá válnak azokon a pontokon, ahol a változónak véges valószínűségi sűrűsége van . Annak érdekében, hogy továbbra is hasznosan használhassuk Bayes tételét, meg lehet fogalmazni megfelelő sűrűségekkel (lásd a képlet deriválását ).

Egyszerű űrlap

Ha X folytonos és Y diszkrét, akkor

f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {P(Y=y\mid X=x)\,f_{X}(x)}{P(Y=y))) .

Ha X diszkrét és Y folytonos,

P(X=x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y\mid X=x)\,P(X=x)}{f_{Y}(y))) .

Ha X és Y is folytonos,

f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y\mid X=x)\,f_{X}(x)}{f_{Y}(y) }}.

Bővített forma

A folytonos eseményteret gyakran az A feltételek számlálójaként határozzák meg. A folytonos eseményteret gyakran számlálóként ábrázolják. A jövőben célszerű megszabadulni a nevezőtől a teljes valószínűség képletével . 'f Y ( y ) esetén ez egy integrál lesz:

f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y\mid X=\xi )\,f_{X}(\xi )\,d \xi.

Bayes-szabály

Bayes-szabály egy módosított Bayes-tétel:

O(A_{1}:A_{2}\mid B)=O(A_{1}:A_{2})\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}\mid B)

ahol

\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(B\mid A_{1})}{P(B\mid A_{2)))))

Ezt nevezik Bayes-szabálynak vagy valószínűségi aránynak. Két esemény bekövetkezésének valószínűsége közötti különbség egyszerűen a két esemény valószínűségének aránya. Ily módon

O(A_{1}:A_{2})={\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})))

O(A_{1}:A_{2}\mid B)={\frac {P(A_{1}\mid B)}{P(A_{2}\mid B)))

Képletek származtatása

Rendezvényekhez

Bayes tétele levezethető a valószínűség definíciójából :

P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B))),{\text{ if }}P(B)\neq 0,

P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A))),{\text{ if }}P(A)\neq 0,

\implies P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)=P(B\mid A)\,P(A),

\implies P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)))),{\text{ if }}P(B) ) \neq 0.

Valószínűségi változókhoz

Két folytonos X és Y valószínűségi változó esetén a Bayes-tétel hasonlóan levezethető egy feltételes eloszlás definíciójából :

f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)))

\implies f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y|X=x)\,f_{X}(x)}{f_{Y}(y )}}.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kahneman et al, 2005 , pp. 153-160.
↑ Bayes, Thomas és Price, Richard (1763). „Esszé egy probléma megoldásáról a véletlenek doktrínájában. A néhai Rev. Úr. Bayes, közölte Mr. Price John Cantonnak, MA és FRS-nek írt levelében.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London 53: 370-418. (nem elérhető link) . Letöltve: 2010. április 21. Az eredetiből archiválva : 2011. április 10.. (határozatlan)
↑ Jeffreys, Harold (1973), Scientific Inference (3. kiadás), Cambridge University Press, p. 31, ISBN 978-0-521-18078-8

Irodalom

Gmurman V. E. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, - M . : Felsőoktatás. 2005
Ítélet bizonytalanság alatt: heurisztikák és torzítások / Daniel Kahneman, et al. — 21. - Cambridge University Press, 2005. - 555 p. - ISBN 978-0-521-28414-1 .
Eliezer Yudkowsky . Bayes-tétel vizuális magyarázata

További tanulmányozáshoz

McGrayne, Sharon Bertsch. Az elmélet, amely nem halna meg: Bayes szabálya feltörte az Enigma kódot, levadászta az orosz tengeralattjárókat és diadalmaskodott a két évszázad vitájából . - Yale University Press , 2011. - ISBN 978-0-300-18822-6 .
Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern és Donald B. Rubin (2003), Bayesian Data Analysis, második kiadás, CRC Press.
Charles M. Grinstead és J. Laurie Snell (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)", American Mathematical Society (ingyenes pdf elérhető [1]) .
Pierre-Simon Laplace. (1774/1986), "Emlékezés az események okainak valószínűségéről", Statisztika 1(3):364-378.
Peter M. Lee (2012), Bayesian Statistics: An Introduction, Wiley.
Rosenthal, Jeffrey S. (2005): Villámcsapás: a valószínűségek kíváncsi világa. Harper Collings.
Stephen M. Stigler (1986), "Laplace 1774 Memoir on Inverse Probability", Statistical Science 1(3):359-363.
Stone, JV (2013). A Bayes' Rule: A Tutorial Introduction című könyv 1. fejezete , Sheffieldi Egyetem, Anglia.

Linkek

Az elmélet, amely nem halna meg – Sharon Bertsch McGrayne, a New York Times könyvismertető, John Allen Paulos 2011. augusztus 5-én
Weisstein, Eric W. Bayes tétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Bayes tétele (angolul) a PlanetMath weboldalán .
Bayes-tétel és a jóslat bolondsága
A valószínűségszámításról és a Bayes-tételről szóló oktatóanyag az Oxfordi Egyetem pszichológushallgatói számára
Eliezer S. Yudkowsky Bayes-tételének intuitív magyarázata

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz litván univerzális Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4144221-0