Elektromágneses tér tenzor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. szeptember 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az elektromágneses tér tenzor egy antiszimmetrikus , kétszeresen kovariáns tenzor , amely az elektromos térerősség és a mágneses tér indukciójának általánosítása tetszőleges koordináta-transzformációkhoz. Az elektrodinamikai egyenletek invariáns megfogalmazására használják , különösen az elektrodinamika egyszerű általánosítására használható gravitációs tér jelenlétére .

Definíció

Az elektromágneses tér tenzorát a 4-es potenciálon a képlet határozza meg

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu )){\partial x^{\mu ))}-{\frac {\partial A_{\mu )){\partial x^{\nu ))}.

Bár közönséges deriváltokkal fejezzük ki, nem pedig kovariáns származékokkal, ez egy tenzor tetszőleges koordináta-transzformáció esetén. Ez abból a tényből következik, hogy ugyanaz a kifejezés felírható kovariáns deriváltokkal:

\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu )){\partial x^{\mu ))}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.

Ha a 4-es potenciált 1-formának tekintjük a téridőn , akkor az elektromágneses tér tenzorát külső deriváltként fejezzük ki.

F=\mathbf {d} A.

Ezért az invarianciája is nyilvánvaló.

Tulajdonságok

$F_{{\mu \nu ))$ egy 2. rangú antiszimmetrikus tenzor, 6 független komponensből áll.
A koordinátatranszformációk a mező tenzor tulajdonságaiból következő két invariánst őriznek meg [1] :

\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv)),

{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E } \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.

Kifejezés komponensekre

Az elektromágneses tértenzor kovariáns komponenseinek alakja van

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.

Az antiszimmetrikus tenzor két vektortól való ilyen függőségét hagyományosan így írják le

F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).

Az ellentétes összetevők (a Minkowski-metrikával rendelkező térben ) a következő alakúak

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},

amelyet úgy jelölünk

F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).

Így kiderül, hogy az elektromos és mágneses mező vektorai a lineáris transzformációk általános esetben nem vektorokként, hanem egy (0, 2) típusú tenzor komponenseiként transzformálódnak. Átalakulásuk törvénye az X tengely mentén V sebességgel mozgó referenciakeretre való átmenet során a következő formában van

{\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z }'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_ {x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{ 2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}

Alkalmazás

A definícióból egyenesen következik, hogy

\mathbf {d} F=0.

A komponensekben ez a kifejezés a formát ölti

\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho )){\partial x^{\nu ))}={\frac {\partial F_{ \mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,

hol van a 4 dimenziós tér Levi-Civita szimbóluma . Ha ezt a kifejezést az elektromos és a mágneses térvektorok összetevőivel írjuk fel, akkor egybeesik a Maxwell-egyenlet első párjával : $\varepsilon _{{\mu \rho \nu \sigma ))$

\operatorname {div} \mathbf {B} =0,

\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)).

A Maxwell-egyenlet második párját az elektromágneses tér tenzorával fejezzük ki, mint

\nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },

hol van a 4-áram vektora. $j^{\mu}$

A Hodge csillaggal is írhatja őket :

d*F={\frac {4\pi }{c}}J.

A Lorentz-erőt a részecske négysebességű vektorában és a töltésben fejezzük ki a képlettel

{\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.

Lásd még

Elektromágneses energia-impulzus tenzor

Jegyzetek

↑ Az elektromágneses tér invariánsai // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia (1-2. kötet); Great Russian Encyclopedia (3-5. kötet), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .