Gömb alakú Pitagorasz-tétel

A gömb alakú Pitagorasz -tétel egy olyan tétel, amely megállapítja a kapcsolatot egy derékszögű gömbháromszög oldalai között .

Nyilatkozat és bizonyítás

A gömb alakú Pitagorasz-tételt a következőképpen fogalmazzuk meg [1] :

Egy derékszögű gömbháromszög befogójának koszinusza egyenlő a lábai koszinuszainak szorzatával.

A bizonyítást háromszög [1] OA 1 B 1 C 1 OA 1 , OB 1 , OC 1 oldalakkal (sugarak) és az O pontban lévő csúcsokkal, A 1 OC 1 és C 1 síkszögekkel végezzük. amelynek OB 1 egyenlő ennek a háromszögnek a b és a száraival, az A 1 OB 1 síkszög egyenlő a c befogójával, az A 1 OC 1 és C 1 OB 1 lapok közötti diéderszög 90 fok, és a másik két kétszög egyenlő a gömb alakú derékszögű háromszög megfelelő szögeivel. Ezt a háromszöget az OB 1 sugárra merőleges A 1 B 1 C 1 sík metszi . Ekkor az A 1 C 1 O és A 1 C 1 B 1 szögek megfelelőek lesznek.

vegye észre, az

Innen

Q.E.D.

Ha feltételezzük, hogy a szférikus koszinusztétel már bizonyítva van, akkor a gömbi Pitagorasz-tétel képlete azonnal megkapható belőle, ha felírjuk egy adott derékszögű gömbháromszög hipotenuzusára a gömbkoszinusz tételt, és egyszerűen behelyettesítjük a kapott kifejezésben. 90 fokos szög, melynek koszinusza nulla.

Következmények és alkalmazások

Mivel a gömb sugara a végtelenbe hajlik, a gömb alakú Pitagorasz- tétel a planimetria Pitagorasz-tételévé válik . Ezért, mivel a Föld sugara nagy, kis távolságokon a Föld felszínén lévő derékszögű háromszögek (például távolságok és szögek mérésére a talajon) gyakorlatilag engedelmeskednek a planimetria Pitagorasz-tételének [2] , míg a Föld sugarával összemérhető nagy távolságok esetén már szükséges a gömbi Pitagorasz-tétel alkalmazása.

A gömb alakú Pitagorasz-tétel segítségével képleteket kaphatunk a földfelszíni pontok közötti hosszúságok és távolságok különbségére, és ennek megfelelően az égi gömb pontjainak távolságaira és koordinátáira .

A gömb alakú Pitagorasz-tételből az következik, hogy egy derékszögű gömbháromszögben a 90 foknál kisebb oldalak száma páratlan, a nagyoké pedig páros [1] . Ezért, ha egy derékszögű gömbháromszög mindkét lába 90 foknál nagyobb, akkor a befogója kisebb, mint 90 fok, vagyis ebben az esetben a befogó rövidebb, mint a két láb mindegyikénél - ez lehetetlen helyzet síkon lévő derékszögű háromszögre.

Történelem

A szférikus Pitagorasz-tételt Al-Biruni is ismerte , aki ugyanakkor nem ismerte a gömbi koszinusz tételt, ezért a gömbi Pitagorasz-tételt és a szinusztételt legalább két probléma megoldására alkalmazta: két hosszúság különbségének meghatározására. pontok a Föld felszínén a szélességi és a köztük lévő távolság alapján, valamint meghatározva a Föld felszínén lévő két pont távolságát azok szélességi és hosszúsági fokai alapján [3] :81 .

Lásd még

• Pitagorasz tétel

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 Sztepanov N.N. Szférikus Pitagorasz-tétel // Szférikus trigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 p.
2. ↑ John McCleary. Geometria differenciálható nézőpontból . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 p. Archiválva 2021. január 22-én a Wayback Machine -nél
3. ↑ Rosenfeld B.A., Rozhanskaya M.M. Al-Biruni "Mas'ud kánonja" csillagászati ​​munkája  // Történelmi és csillagászati ​​kutatás . - M . : Nauka , 1969. - Szám. x . - S. 63-96 . Az eredetiből archiválva: 2010. szeptember 10.