Strukturális tétel a főideálok tartományai felett végesen generált modulokhoz

A fő ideális tartományok feletti véges generált modulok szerkezeti tétele a véges generált Abel-csoportok osztályozására vonatkozó tétel általánosítása . Ez a tétel általános módot ad a mátrixok kanonikus formáival kapcsolatos egyes eredmények megértésére.

Tétel

Ha egy k mező feletti vektortérnek véges generáló halmaza van, mindig választhatunk belőle egy bázist , így a vektortér k n -el izomorf . A végesre generált modulokra ez már nem igaz (az ellenpélda a , amelyet egy elem Z -modulként generál), azonban egy ilyen modul ábrázolható R n /A formájú faktormodulként (lásd ehhez elegendő az R n bázist generáló halmazba leképezni, és a homomorfizmus tételt használni . Az R n -ben szereplő bázis és a generáló halmaz megválasztásával a modulban ez a tényező egyszerű formára redukálható, és ez adja a struktúratételt. $\mathbb Z_2$

A szerkezettétel megfogalmazását általában két különböző formában adjuk meg.

Dekompozíció invariáns tényezőkre

Minden véges generált M modul az R főideálok tartományán izomorf a forma egyedi moduljával.

\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}) ,

ahol és (vagyis osztható -vel ). A nem nullák sorrendje egyedileg meghatározott, akárcsak a szám . $(d_i) \neq R$ $d_i \vert d_{i+1}$ $d_{i+1}$ $d_{i}$ $(d_i)$ $(d_i)=0$

Így egy véges generált M modul jelzéséhez elegendő nem nullát (két feltételnek eleget tenni) és egy nullával egyenlő számot megadni . Az elemek a gyűrű invertálható elemeivel való szorzásig egyedileg meghatározottak, és invariáns tényezőknek nevezzük. $(d_i)$ $(d_i)$ $d_{i}$

Dekompozíció elsődleges tényezőkre

Minden véges generált M modul az R főideálok tartományán izomorf a forma egyedi moduljával.

\bigoplus _{i}R/(q_{i}),

ahol és minden elsődleges ideál . Sőt, maguk is egyedileg meghatározottak (a visszafordítható elemekkel való szorzásig). $(q_i) \neq R$ $(q_i)$ $q_{i}$

Abban az esetben, ha az R gyűrű euklideszi , minden elsődleges ideál prímhatványok , azaz . $(q_i)=(p_i^{r_i})$

Az euklideszi gyűrűk bizonyítékának vázlata

Sok fő ideális tartomány egyben euklideszi gyűrű is . Ezenkívül az euklideszi gyűrűk bizonyítása valamivel egyszerűbb; itt vannak a fő lépései.

Lemma. Legyen A egy euklideszi gyűrű, M egy szabad A - modul, N pedig az almodulja. Ekkor N is szabad, rangja nem haladja meg M rangját , és létezik az M modulnak {e 1 , e 2 , … e m } bázisa és az A gyűrűnek {u 1 , … uk } nullától eltérő elemei. úgy, hogy {u 1 e 1 , … u k e k } az N alapja , és u i+1 osztható u i -vel .

Azt, hogy N szabad, az m indukciója bizonyítja . Az m = 0 alap nyilvánvaló, bizonyítsuk be az indukció lépését. Legyen M 1 az {e 1 , … e m-1 } elemekből generálva, N 1 — M 1 és N metszéspontja — szabad az induktív feltevés szerint. Az N elemek utolsó koordinátái az {e 1 , … e m } bázisban az A gyűrű részmodulját alkotják (vagyis egy ideál), A a főideálok gyűrűje, tehát ezt az ideált egy elem generálja; ha az ideál nulla - N egybeesik N 1 -gyel, de ha a k elem generálja , akkor elég egy vektort hozzáadni az N 1 bázishoz, amelynek utolsó koordinátája egyenlő k -val . Most már írhatunk egy mátrixot az A elemekkel, amelyek megfelelnek N beágyazásának M - be : a mátrix oszlopaiba írjuk az N bázisvektorok koordinátáit valamilyen M bázisba . Leírjuk azt az algoritmust, amellyel ezt a mátrixot elemi transzformációkkal diagonális formára hozhatjuk . Sorokat és oszlopokat felcserélve a legkisebb normával rendelkező a nullától eltérő elemet a bal felső sarokba mozgatjuk . Ha a mátrix minden eleme osztható vele, akkor az első sort kivonjuk a többiből olyan együtthatóval, hogy az első oszlop minden eleme (az első elem kivételével) nulla legyen; majd hasonló módon kivonjuk az első oszlopot és továbblépünk a jobb alsó sarokban maradó négyzet transzformációihoz, melynek mérete eggyel kisebb. Ha van olyan b elem , amely nem osztható a -val , akkor a norma minimumát csökkenthetjük a mátrix nem nulla elemei felett, ha az ( a , b ) párra alkalmazzuk az euklideszi algoritmust (az elemi transzformációk ezt teszik lehetővé ). Mivel a norma egy természetes szám, előbb-utóbb olyan helyzethez jutunk, hogy a mátrix minden eleme osztható -val . Könnyen belátható, hogy ennek az algoritmusnak a végén az M és N bázisok kielégítik a lemma minden feltételét.

A bizonyítás vége. Tekintsünk egy véges generált T modult {e 1 , … e m } generátorrendszerrel . Van egy homomorfizmus egy ingyenes modultól ehhez a modulhoz, amely egy generátorrendszer alapjait képezi le. A homomorfizmus tételt alkalmazva erre a leképezésre azt kapjuk, hogy T izomorf a faktorral . Redukáljuk le a bázisokat és a bázisok formájára a lemmában. Ezt könnyű belátni $A^m$ $A^m$ $A^m / \text{ker}f$ $A^m$ $\text{ker}f$

A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{nk}

Itt minden véges tag felbontható az elsődlegesek szorzatára, mivel az A gyűrű faktoriális (lásd a kínai maradék tételt ). Ennek a dekompozíciónak az egyediségének bizonyításához figyelembe kell vennünk a torziós részmodult (akkor a szabad rész dimenzióját invariáns kifejezésekkel írjuk le a tényező torzióhoz viszonyított dimenziójaként), valamint a p -torziós részmodult mindegyikre. Az A gyűrű p prímeleme . A forma tagok számát (minden n esetén) változatlanul úgy írjuk le, mint az elemek részmoduljának dimenzióját, amelyet a p -vel való szorzás egy mező feletti vektortérként semmisít meg . $A/(p^n)$ $A/(p)$

Következmények

Az eset a véges generált Abel-csoportok osztályozását adja meg . $R=\mathbb{Z}$

Legyen T egy K mező feletti véges dimenziós V vektortér lineáris operátora . A V modul over-nek tekinthető (sőt, elemei skalárral és T -vel szorozhatók ), a véges dimenziósság véges generálást és szabad rész hiányát vonja maga után. Az utolsó invariáns tényező a minimális polinom , és az összes invariáns tényező szorzata a karakterisztikus polinom . A térre ható T operátor mátrixának standard alakját választva a V téren a T mátrix alábbi alakjait kapjuk : $K[T]$ $K[T]/p(T)$

invariáns tényezők + kísérő mátrix adja a Frobenius-normál alakot
primer tényezők + Jordan cella Jordan normál alakot ad (abban az esetben, ha a K mező algebrailag zárt ).

Lásd még

Smith normál forma

Jegyzetek

Bourbaki N. Algebra. 3. rész Modulok, gyűrűk, formák. - M .: Nauka, 1966. VII. fejezet.
Vinberg E. B. , Algebra tanfolyam. - M .: Factorial Press Kiadó, 2001.
P. Aluffi. Algebra: 0. fejezet (Dgraduate Studies in Mathematics) – American Mathematical Society, 2009 – ISBN 0-82184-781-3 .
Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , New York: Springer, p. 218–226, IV.6. szakasz: Modulok egy fő ideális domain felett, ISBN 978-0-387-90518-1