Hatalmi törvény

A statisztikában a hatványtörvény ( angol. hatványtörvény ) olyan funkcionális kapcsolat két mennyiség között, amelyben az egyik mennyiség relatív változása egy másik mennyiség arányos relatív változásához vezet, függetlenül a mennyiség kezdeti értékétől. ezek a mennyiségek: az egyik mennyiségnek a másiktól való függése hatványfüggvény . Vegyük például egy négyzet területének függését az oldal hosszától. Ha a hossz megkétszereződik, a terület megnégyszereződik. [egy]

Esettanulmányok

Számos fizikai, biológiai és mesterséges jelenségben megfigyelhető olyan eloszlás, amely megközelítőleg megfelel egy erőtörvénynek különböző léptékekben: például a holdkráterek és napkitörések mérete [ 2 ] , a különböző fajok táplálkozási szokásai [3] , neuronok populációi [4] , a szavak használatának gyakorisága a legtöbb nyelvben, a vezetéknevek elterjedtsége , a fajok száma az élőlények kládjaiban [5] , az energiaellátó rendszerekben bekövetkezett balesetek mértéke , az egy bűnözőre jutó büntetőfeljelentések száma, a vulkánkitörések száma [6] , az ingerek intenzitásának emberi becslései [7] [8] és sok más mennyiség [9] . Az empirikus eloszlások megfelelhetnek egy hatványtörvénynek az értékük teljes tartományában, vagy például a farokban. A hangrezgések csillapítása széles frekvenciasávra érvényes teljesítménytörvényt követ számos összetett környezetben. A biológiai változók közötti kapcsolatok allometrikus mintái a természeti erőtörvények legismertebb példái közé tartoznak.

Tulajdonságok

Skálainvariancia

A hatványtörvényt skálaváltozatlanság jellemzi . Ha igaz , akkor az argumentum konstans tényezővel való skálázása maga a függvény arányos skálázását eredményezi. Azaz: ${\displaystyle f(x)=ax^{-k))$ $x$ $c$

f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!

ahol az egyenes arányosságot jelöli . Más szóval, ha az argumentumot megszorozzuk egy konstanssal , akkor a függvény értékét egy konstanssal szorozzuk meg . Így minden hatványtörvény egy adott kitevővel egyenértékű az állandóval való szorzásig, mivel mindegyik egymásnak csak skálázott változata. Ez lineáris kapcsolatot eredményez a és logaritmusai között , valamint egy egyenes vonalat a log-log diagramon , amelyet gyakran egy hatványtörvény jellemzőjének tekintenek. Valós adatokban ez a jellemző szükséges, de nem elegendő ahhoz, hogy arra következtessünk, hogy létezik hatványtörvény. Sokféleképpen lehet véges mennyiségű adatot generálni, amelyek egy hatványtörvényt utánoznak, de az aszimptotikus határértékben eltérnek tőle (például ha az adatgenerálási folyamat lognormális eloszlást követ ). A modellek hatalmi törvénynek való megfelelésének ellenőrzése a statisztikai kutatások tényleges területe, lásd alább. $\propto$ $c$ ${\displaystyle c^{-k))$ $f(x)$ $x$

Szigorúan meghatározott átlag hiánya

A hatványtörvénynek csak akkor van jól definiált átlaga , ha , és véges szórása van , csak akkor, ha . A természetben ismert hatványtörvények többségénél a kitevő értékei olyanok, hogy az átlagérték szigorúan meg van határozva, de a szórás nem, így lehetőségük van a " fekete hattyú " eseményeinek bekövetkezésére. típus. [10] Ez a következő gondolatkísérlettel szemléltethető: [11] Képzeld el magad egy szobában a barátaiddal, és becsüld meg az átlagos havi jövedelmet abban a szobában. Most képzelje el, hogy a világ leggazdagabb embere lépett be ebbe a szobába, körülbelül 1 milliárd USD havi bevétellel . Hogyan változik a havi átlagjövedelem értéke a szobában? A jövedelem elosztása a Pareto-eloszlás néven ismert hatalmi törvényt követi (például az amerikaiak vagyonát egy 2-es kitevővel rendelkező hatalomtörvény szerint osztják el). ${\displaystyle x^{-k))$ $x\in [1,\infty )$ $k>2$ $k>3$

Ez egyrészt nem teszi lehetővé a hagyományos variancia- és szórásokon alapuló statisztikák (például regressziós elemzés ) helyes használatát. Másrészt költséghatékony beavatkozást tesz lehetővé. [11] Tegyük fel például, hogy az autók kipufogógázai egy erőtörvény szerint oszlanak meg az autók között (vagyis a legtöbb szennyezés nagyon kis számú autóból származik). Ekkor elég lesz ezt a kis számú autót eltávolítani az utakról, hogy a károsanyag-kibocsátás összértékét jelentősen csökkentsük. [12]

A medián létezik: egy kitevős x - k hatványtörvényhez 2 1/( k - 1) x min értéket vesz fel , ahol x min az a minimális érték, amelyre a hatványtörvény érvényes [13] $k>1$

Hatalomtörvény teszt

Bár a hatványtörvény számos elméleti okból vonzó, annak bizonyításához, hogy az adatok valóban követnek egy hatványtörvényt, többre van szükség, mint a modell paramétereinek illesztésére. [14] Fontos megérteni, hogyan alakulnak ki az eloszlások: látszólag hasonló eloszlások fordulhatnak elő lényegesen eltérő okokból, és a különböző modellek eltérő előrejelzéseket adnak például extrapolációkor. [15] [16]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Yaneer Bar-Yam. Fogalmak: Hatalomtörvény . New England Complex Systems Institute. Letöltve: 2015. augusztus 18. Az eredetiből archiválva : 2015. július 11. (határozatlan)
↑ Newman, MEJ Hatványtörvények , Pareto-eloszlások és Zipf-törvény // Kortárs fizika : folyóirat. - 2005. - 20. évf. 46 , sz. 5 . - P. 323-351 . - doi : 10.1080/00107510500052444 . - . - arXiv : cond-mat/0412004 .
↑ Humphries NE, Queiroz N., Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW Environmental kontextus magyarázza a tengeri ragadozók Lévy- és Brown-mozgási mintáit // Nature: Journal. - 2010. - 20. évf. 465 , sz. 7301 . - P. 1066-1069 . - doi : 10.1038/nature09116 . — . — PMID 20531470 .
↑ Klaus A., Yu S., Plenz D. Statisztikai elemzések támogatják a neuronális lavinákban található erőtörvény-eloszlásokat // PLoS ONE : Journal / Zochowski, Michal. - 2011. - 20. évf. 6 , sz. 5 . — P. e19779 . - doi : 10.1371/journal.pone.0019779 . - Iránykód . — PMID 21720544 .
↑ A neotropikus édesvízi halak történeti biogeográfiája / Albert, JS; Reis, RE. — Berkeley: University of California Press , 2011. Archiválva : 2011. június 30. a Wayback Machine -nél
↑ Cannavò, Flavio; Nunnari, Giuseppe. A vulkánkitörések időtartamának lehetséges egységes skálázási törvényéről // Tudományos jelentések : folyóirat. - 2016. - március 1. ( 6. köt. ). — P. 22289 . — ISSN 2045-2322 . - doi : 10.1038/srep22289 . - . — PMID 26926425 . Archiválva az eredetiből 2017. január 18-án.
↑ Stevens, S.S. (1957). A pszichofizikai törvényről. Pszichológiai Szemle, 64, 153-181
↑ Staddon, JER (1978). A viselkedési erőfüggvények elmélete. Pszichológiai Szemle, 85, 305-320.
↑ Clauset, Shalizi, Newman, 2009 .
↑ Newman, M.E.J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, Peter. Hatalomtörvények, Pareto-eloszlások és Zipf- törvény // Városok. — Elsevier , 2005. — 20. évf. 30 , sz. 2005 . - P. 323-351 . - doi : 10.1016/j.cities.2012.03.001 . - arXiv : cond-mat/0412004 .
↑ 1 2 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSe86xCI Archiválva : 2019. augusztus 14. a Wayback Machine -nél
↑ Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Archivált másolat . Letöltve: 2015. június 14. Az eredetiből archiválva : 2015. március 18.. (határozatlan)
↑ Newman, Mark EJ. "Hatalmi törvények, Pareto-eloszlások és Zipf törvénye." Kortárs fizika 46.5 (2005): 323-351. . Letöltve: 2019. január 24. Az eredetiből archiválva : 2018. november 25. (határozatlan)
↑ Hilbert, Martin. Skálamentes hatványtörvények, mint a haladás és a diffúzió kölcsönhatása // Complexity : Journal. - 2013. - Kt. 19 , sz. 4 . - P. 56-65 . - doi : 10.1002/cplx.21485 . - . Archiválva az eredetiből 2018. november 7-én.
↑ Hall, P. A szabályos ingadozás exponensének néhány egyszerű becsléséről // A Royal Statistical Society folyóirata , B sorozat : folyóirat. - 1982. - 1. évf. 44 , sz. 1 . - P. 37-42 . — .
↑ Stumpf, MPH Kritikus igazságok a hatalom törvényeiről // Tudomány : folyóirat. - 2012. - Kt. 335. sz . 6069 . - P. 665-666 . - doi : 10.1126/tudomány.1216142 . - . — PMID 22323807 .

Irodalom

Bak, Per (1997) Hogyan működik a természet , Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, MEJ Power-Law Distributions in Empirical Data // SIAM Review. - 2009. - 1. évf. 51 , sz. 4 . - P. 661-703 . - doi : 10.1137/070710111 . - . - arXiv : 0706.1062 .
Laherrere, J.; Sornette, D. Nyújtott exponenciális eloszlások a természetben és a gazdaságban: "kövér farok" jellegzetes skálákkal // The European Physical Journal B : folyóirat. - 1998. - Vol. 2 , sz. 4 . - P. 525-539 . - doi : 10.1007/s100510050276 . - Iránykód . - arXiv : cond-mat/9801293 .