Nyomkövetés (térelmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A nyomkövetés a mező végső kiterjesztésének elemeinek leképezése a K kezdeti mezőre , az alábbiak szerint: $E\feldúlt K$

Legyen E véges K fok kiterjesztése , az E mező eleme . Mivel E egy K mező feletti vektortér , ez az elem egy lineáris transzformációt határoz meg . Ez a transzformáció bizonyos alapokon a mátrixhoz köthető . Ennek a mátrixnak a nyomát az α elem nyomának nevezzük . Mivel egy másik bázison ez a leképezés egy hasonló mátrixnak fog megfelelni ugyanazzal a nyomvonallal, a nyomkövetés nem függ a bázis megválasztásától, vagyis a kiterjesztés minden eleme egyedileg hozzá van rendelve a nyomvonalához. Meg van jelölve $n=[E:K]$ $\alpha \in E$ $x\mapsto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ vagy ha egyértelmű, hogy melyik kiterjesztésről van szó, csak . ${\text{Tr}}(\alpha )$

Nyomkövetési tulajdonságok

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ nál nél $c\in K$
Ha E elválasztható kiterjesztése , akkor nem nulla függvény, ha nem szeparálható, akkor . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
A nyomkövetés tranzitív, vagyis a rendelkezésünkre álló kiterjesztések láncára vonatkozik $K\alhalmaz E\alhalmaz F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alpha )$
Ha egy egyszerű algebrai kiterjesztés és egy minimális α polinom, akkor $E=K(\alpha )$ $f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Nyomkövetési kifejezés az E automorfizmusaival K felett

Legyen σ 1 ,σ 2 …σ m E minden olyan automorfizmusa, amely rögzítve hagyja K elemeit . Ha E elválasztható, akkor m egyenlő az [E:K]=n mértékkel . Ezután van a következő kifejezés a nyomkövetésre:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Ha E nem elválasztható, akkor m≠n , de n m többszöröse , és a hányados a p karakterisztikus bizonyos foka : n=p i m .

Akkor ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Példa

Legyen K a valós számok mezője , E pedig a komplex számok mezője . Ekkor a szám nyoma : . Egy komplex szám nyomvonala kiszámítható a képlettel , és ez jól egyezik azzal a ténnyel, hogy a komplex konjugáció az egyetlen automorfizmusa a komplex számok területén. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Lásd még

Norm (térelmélet)

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatív algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967