Szimbolikus tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szimplektikus tér egy olyan S vektortér , amelyen szimplektikus forma van definiálva , azaz egy bilineáris ferde-szimmetrikus, nem degenerált 2-forma : $\omega$

\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )

\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )

\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\ omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0

A szimplektikus formát általában jelölik . Ellentétben a ponttermék formával , amelyre $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$

\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0

szimplektikus formához mindig $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Kapcsolódó definíciók

Egy szimlektikus tér L lineáris transzformációját szimplektikusnak nevezzük, ha megőrzi a szimlektikus formát:

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle

Az S tér összes szimplektikus transzformációinak halmaza egy csoportot alkot, amelyet szimplektikus csoportnak neveznek , és Sp(S) -vel jelöljük .
A szimplektikus transzformáció mátrixát szimplektikus mátrixnak nevezzük .
Az S szimplektikus tér s alterét szimlektikusnak nevezzük, ha a szimlektikus alak s -re való korlátozása nem degenerált.
Két vektort ferde-ortogonálisnak mondunk , ha $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0

Vegye figyelembe, hogy bármely vektor ferde-ortogonális önmagára.

Az altér ferde-ortogonális komplementere az összes olyan vektor halmaza, amely ferde-ortogonális bármely vektorra -ból . $s\subset S$ $s$

Kanonikus szerkezet

A szimplektikus struktúra bármely páros dimenziós vektortéren bevezethető. Kimutatható, hogy nem degenerált ferde-szimmetrikus 2-formák nem léteznek páratlan dimenziós téren. Minden azonos dimenziójú szimplektikus tér szimplektikus izomorf . Ezek a tények a szimlektikus terekre vonatkozó Darboux - tételből következnek. A bizonyítás gondolata a következő. Tekintsünk néhány vektort . A nem-degeneráció miatt létezik olyan vektor , amely $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ $\omega$ $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$

\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1

Tekintsük a ferde-ortogonális komplementerét az és vektorok V lineáris spanjához . Kimutatható, hogy ez S-nek egy (2 n -2 )-dimenziós altere lesz , amely nem metszi c V -t , és a rá vonatkozó megszorítás nem degenerált. Ezért a folyamat indukcióval folytatható. Egy páratlan dimenziós tér esetében a folyamat egy egydimenziós altéren végződik, amelyen nyilvánvalóan degenerált, így a szimplektikus struktúra létezésének feltételezése téves volt. Az egyenletes dimenziós térhez alapot kapunk $\mathbf {p_{1}}$ $\mathbf {q_{1))$ $\omega$ $\omega$

(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )

oly módon, hogy

\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0

hol van a Kronecker szimbólum . Ezt kanonikus alapnak vagy Darboux bázisnak nevezik . $\delta _{{ij}}$

A kanonikus alapon a szimlektikus forma mátrixa veszi fel a formát

\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

ahol az n rendű azonosságmátrix . egy szimplektikus mátrix. $Ban ben}$ ${\displaystyle \Omega _{n))$

Alterek szerkezete

Tekintsünk egy alteret és annak ferde-ortogonális komplementerét . Nem-degeneráció miatt : $W\subset \mathbb {S}$ ${\displaystyle W^{\perp ))$ $\omega$

\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}

Kívül,

(W^{\perp })^{\perp }=W

Általában ezek az alterek metszik egymást. Kölcsönös helyzetüktől függően 4 altertípust különböztetünk meg:

Jellemző : . Ez akkor és csak akkor igaz, ha a W-re vonatkozó korlátozás nem degenerált , tehát a szimplektikus alterek ilyen definíciója egybeesik a korábban megadottal. A megfelelő Darboux koordinátákban W alakja $W\cap W^{\perp }=0$ $\omega$

(p_{1},\pontok ,p_{k},0,\pontok ,0;~q_{1},\pontok ,q_{k},0,\pontok ,0),\,2k= \dim \,W

Izotróp : . Egy altér akkor és csak akkor izotróp, ha azonos a nullával. Bármely egydimenziós altér izotróp. A megfelelő Darboux koordinátákban W alakja ${\displaystyle W\subset W^{\perp ))$ $\omega$

(p_{1},\pontok ,p_{k},0,\pontok ,0;~0,\pontok ,0),\,k=\dim \,W

koizotróp : . W akkor és csak akkor koizotróp, ha nem degenerált a hányadostéren . Az 1-es kóddimenzió bármely altere koizotróp. A megfelelő Darboux koordinátákban W alakja $W^{\perp }\subset W$ $\omega$ ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp ))$

(p_{1},\pontok ,p_{n};~q_{1},\pontok ,q_{k},0,\pontok ,0),\,n+k=\dim \,W ,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Lagrangean : . W akkor és csak akkor Lagrange-féle, ha izotróp és koizotróp is. Bármely izotróp altér be van ágyazva egy Lagrange-ba, és minden koizotróp altér tartalmaz egy Lagrange-t. A megfelelő Darboux koordinátákban W alakja $W^{\perp }=W$

(p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

A 2n dimenziójú tér összes Lagrange-alterének halmaza egy Lagrange-féle Grassmann -féle sokaságot alkot . Az ortogonális alcsoport tekintetében különbözik az egységes csoport kosetváltozatától , míg $\Lambda _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $\mathbb {O} _{n}$

\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2))

Példák

Egy összetett térben a képlettel definiálhatunk egy bilineáris ferde-szimmetrikus formát $\mathbb{C}^n$

\left\langle u,w\right\rangle =\operátornév {Im} \left[u,w\right]

hol van a hermitikus forma . Ez a forma szimplektikus struktúrát határoz meg a tér reifikációjáról .

\left[\cdot ,\cdot \right]

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))

\mathbb{C}^n

Bármely V térre létezik egy kanonikus szimlektikus struktúra a téren , ahol a tér kettős V - vel. A ferde-skaláris szorzatot a V -ben lévő bázisvektorok és konjugátumaik esetében a képlet határozza meg $V\oplus V^{*}$ $V^*$

\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V

\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}

és linearitás szerint kiterjed az összes többi vektorra.

Lásd még

Irodalom

Arnold V. I., Givental A. B. Szimlektikus geometria . - 2. kiadás - Izhevsk: RHD, 2000. - 168 p. — ISBN 5-7029-0331-5 . (nem elérhető link)
Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Fomenko A. T. Szimlektikus geometria. Módszerek és alkalmazások . - M. : MSU Kiadó, 1988. - 414 p. (nem elérhető link)