Christoffel szimbólumok

A Christoffel szimbólumok (vagy Christoffeli ) az affin kapcsolat , különösen a Levi-Civita kapcsolat koordináta kifejezésének együtthatói . Elvin Bruno Christoffelről kapta a nevét . A differenciálgeometriában , az általános relativitáselméletben és a kapcsolódó gravitációs elméletekben használják . Megjelenik a görbületi tenzor koordináta kifejezésében . Ugyanakkor maguk a szimbólumok nem tenzorok.

Általában jelöli ; néha Christoffel eredeti jelölését követve az [1] szimbólumot használják ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k))$ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Az alábbiakban az Einstein-féle összegzési szabályt használjuk , azaz az ismétlődő felső- és alsó indexek felett összegzést alkalmazunk.

Történelem

A szimbólumok először Christoffel „A másodfokú homogén differenciálkifejezések transzformációjáról” című cikkében jelentek meg ( németül: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades – J. fur Math., No. 70, 1869). Ebben a szerző a Riemann-féle geometria egybeesésének feltételeit vette figyelembe , amelyet két különböző metrikus forma határoz meg. Christoffeltől függetlenül hasonló problémát oldott meg Rudolf Lipschitz , akinek cikke egy évvel később jelent meg [1] .

A Christoffel-szimbólumok elemi fogalma

Bevezetés

A Christoffel-szimbólumok vizuális ábrázolása polárkoordináta-rendszer példáján keresztül érhető el . Ebben a rendszerben egy pont koordinátái a pólustól mért távolság és a poláris tengelytől bezárt irányszög . ${r}$ $\varphi$

A vektor koordinátáit , akárcsak a téglalap alakú koordinátarendszerben , a következő mennyiségek differenciáljának (végtelen kis lépésközének) kell tekinteni : . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Legyen egy vektor komponensekkel , ahol a vektor radiális sugárra való vetületének geometriai jelentése (amely áthalad a vektor elején), és az a szög, amelynél a vektor a pólustól látható. Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a párhuzamos transzláció során a vektorkomponensek nem változnak. Ez nem így van a poláris koordináta-rendszerben ( lásd 1. és 2. ábra ). $\ félkövér A$ $(a,\,\alfa)$ $a$ $\ félkövér A$ $\alpha$

A Christoffel-szimbólumok éppen a vektorkomponensek változását fejezik ki annak párhuzamos átvitele során.

Párhuzamos fordítás koordinátavonalak mentén

Ha a vektort a radiális sugár mentén távolsággal eltoljuk , komponense nyilvánvalóan nem változik, de a második koordinátája ( ) csökken ( 1. ábra ). A vektor értéke változatlan marad, ezért . Innentől kiderül (elhanyagolható a második és magasabb rendű kicsinység ): ${\rm d}r$ $a$ $\alpha$ $|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Az ív mentén történő párhuzamos transzláció megváltoztatja mind a koordinátákat , mind a ( 2. ábra ). Nyilvánvalóan , , és ezért: $a$ $\alpha$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Ráadásul mivel , , és , akkor $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alpha$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Párhuzamos fordítás tetszőleges irányban

A vektor tetszőleges kis elmozdulásához (amikor a és a és a kettő is változik), a komponensek változásait össze kell adni : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

Az így kapott kifejezések szerkezete közös: a vektorkomponensek változása arányos a vektor összes komponensével és arányos a vektoreltolódás nagyságával. Az arányossági együtthatókat (közös mínusz nélkül) Christoffel-szimbólumoknak nevezzük .

Általánosabb jelöléssel a , , és felírható (szem előtt tartva az ismétlődő indexek összegét ): $x^1=r$ $x^2=\varphi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alpha$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Itt a Christoffel szimbólumok , , és az összes többi egyenlő nullával. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben minden Christoffel-szimbólum egyenlő nullával, mivel a vektorkomponensek nem változnak a párhuzamos fordítás során. Ebből arra lehet következtetni, hogy a Christoffel-szimbólumok nem alkotnak tenzort : ha egy tenzor bármely koordinátarendszerben nulla, akkor az összes többi koordinátarendszerben nulla.

Christoffel első és második típusú szimbólumok

A második típusú Christoffel-szimbólumok a koordinátavektorok kovariáns deriváltjának a bázishoz viszonyított kiterjesztésének együtthatóiként definiálhatók : $\Gamma^{k}_{ij}$ $\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$

\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.

Az első típusú Christoffel szimbólumok : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in} }{\partial x^{j))}+{\frac {\partial g_{jn)){\partial x^{i))}-{\frac {\partial g_{ij)){\partial x^ {n}}}\jobbra).

Kifejezés a metrikus tenzorban

A Levi-Civita kapcsolat Christoffel-szimbólumait egy térképhez a torzió hiányából, azaz $x^i$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

és az a feltétel, hogy a metrikus tenzor kovariáns deriváltja egyenlő nullával: $g_{{ik}}$

0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik)){\partial x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

A jelölés rövidítése érdekében a nabla szimbólumot és a részleges származékos szimbólumokat gyakran kihagyják, helyettük pontosvesszőt ";" tesznek a megkülönböztetést szolgáló index elé. kovariáns és vessző esetén "," részleges származék esetén. Tehát a fenti kifejezést úgy is fel lehet írni $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell }.

A második típusú Christoffel-szimbólumok kifejezett kifejezéseit úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk ezt az egyenletet és a másik két egyenletet, amelyeket az indexek ciklikus permutációjával kapunk:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell ))}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

ahol a metrika kontravariáns ábrázolása, amely a mátrix inverze , a lineáris egyenletrendszer megoldásával megtalálható . $g^{ij}$ $g_{ij}$ $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$

Invariáns jelölés

A konnektivitásra vonatkozó invariáns jelöléseket egy adott koordinátarendszertől vonják el, ezért előnyösebb matematikai tételek bizonyításakor.

Legyen X és Y vektormezők és komponensekkel . _ Ekkor az Y mező kovariáns deriváltjának X -re vonatkoztatott k -edik komponensét adjuk meg $X^{i}$ $Y^{k}$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).

A csatlakozás csavarodásmentes feltétele :

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

megegyezik a Christoffel-szimbólumok szimmetriájával két alsó indexben:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Koordináták változása

Annak ellenére, hogy a Christoffel-szimbólumok ugyanazzal a jelöléssel vannak felírva, mint a tenzorok komponensei , nem tenzorok , mert új koordináta-rendszerre váltáskor nem alakulnak át tenzorként. Különösen, ha bármely pont közelében koordinátákat választunk, a Christoffel-szimbólumok lokálisan nullával (vagy visszafelé nem nullával) tehetők egyenlővé, ami egy tenzor esetében lehetetlen.

Ha a változókat bázisvektorokra cseréljük, azok kovariánsan transzformálódnak : $(x^{1},\pontok ,x^{n})\$ $(y^{1},\pontok ,y^{n})$

{\frac {\partial }{\partial y^{i))}={\frac {\partial x^{k)){\partial y^{i))}{\frac {\partial } {\részleges x^{k))},

ahonnan a Christoffel-szimbólum transzformációs képlet a következő:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\ frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\ részleges x^{r))}+{\frac {\partial y^{k)){\partial x^{r))}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r)){ \partial y^{i}\partial y^{j}}}.

A kötőjel az y koordinátarendszert jelenti . Így a Christoffel-szimbólumok nem alakulnak át tenzorként. Egy bonyolultabb geometriai objektumot ábrázolnak érintő térben , az egyik koordinátarendszerből a másikba való transzformáció nemlineáris törvényével.

Megjegyzés . Látható például a definícióból, hogy az első index tenzoriális, vagyis eszerint a Christoffel-szimbólumok tenzorként transzformálódnak.

Christoffel szimbólumok különböző koordinátarendszerekben

A szimbólum metrikus tenzoron keresztüli kifejezésével vagy koordináták transzformációjával bármely koordinátarendszerben megkaphatja az értékeket. A mechanikában és a fizikában az ortogonális görbe vonalú koordinátarendszereket használják leggyakrabban . Ebben az esetben az egyenlő együtthatójú Christoffel-szimbólumok a Lamé-együtthatókkal (a metrikus tenzor átlós elemeivel) vannak kifejezve, a többi pedig nulla. $H_\béta$

Az első típusú Christoffel-szimbólumok a következőképpen fejezhetők ki:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}

nál nél

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta )){\partial x^{\gamma ))}.

A második típusú Christoffel szimbólumok:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\ béta }}{\partial x^{\gamma }}}

nál nél

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.

A közös koordinátarendszerek értékei:

A derékszögű koordinátarendszerben : , tehát a kovariáns derivált megegyezik a parciális deriválttal. $\{x,y,z\}$ $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$
Hengeres koordinátarendszerben : , . A többi nulla. $\{r,\phi ,z\}$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
A gömbkoordináta-rendszerben : , , , , . A többi nulla. $\{r,\theta ,\phi \}$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operátornév {ctg} \theta$

Változatok és általánosítások

Két affin kapcsolat különbsége

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y

egy tenzor. Ha a térképen olyan kapcsolatként definiáljuk, amelyben az állandó komponensű tenzormezők párhuzamosak, akkor a Christoffelek a kapott tenzor összetevői . Ebben az esetben a torzió hiánya mindkét kapcsolatnál a tenzor szimmetriáját jelenti ${\tilde {\nabla ))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Gamma$

\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X

Választhat más alapcsatlakozást is . Például az ortonormális keretek tetszőleges mezőjének párhuzamos deklarálásával; így történik ez a mozgó keret módszerben . Mivel ebben az esetben a kapcsolatnak lehet nullától eltérő torziója , akkor általában . Mivel azonban mindkét kapcsolat Riemann-féle, egy másik, hasonlóan hasznos reláció érvényesül: ${\tilde {\nabla ))$ ${\tilde {\nabla ))$ $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

Más szóval, ez egy 1-forma egy elosztón, amelynek értékei az érintőtér antiszimmetrikus operátoraiban vannak. $\Gamma$ $\Gamma _{X}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 A 19. század matematikája. II. kötet: Geometria. Az analitikus függvények elmélete / Szerk. Kolmogorova A. N. , Juskevics A. P .. - M. : Nauka, 1981. - S. 89. - 270 p.

Irodalom

Dimitrienko Yu. I. Tenzorszámítás. - M . : Felsőiskola, 2001. - 575 p. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Előadások a tenzoranalízisről. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1974. - 206 p.

Csernavszkij A. V. Differenciálgeometria, 2 tantárgy .