Renormalizációs csoport

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A renormalizációs csoport módszer (más néven renormalizációs csoport módszer , RG módszer ) a kvantumtérelméletben egy iteratív renormalizációs módszer , amelyben az alacsonyabb energiájú régiókból a magasabb energiájú régiókba való átmenetet a számítási skála változása okozza. a rendszer.

Az elméleti fizikában a renormalizációs csoport módszer ( renormalization group method , RG is ) olyan matematikai berendezésre utal, amely lehetővé teszi egy fizikai rendszer változásainak szisztematikus tanulmányozását, ha a rendszert különböző térbeli léptékekben vizsgáljuk. Az elemi részecskefizikában a kölcsönhatási törvények függését tükrözi attól az energiaskálától, amelyen a fizikai folyamatok megváltozni kezdenek.

A léptékváltozást "skálázásnak" vagy skálázásnak nevezik . A renormalizációs csoport szorosan összefügg a szimmetria „ skálainvarianciájával ” és „konformális invarianciájával” , amelyekben a rendszer minden szinten ugyanúgy néz ki (úgynevezett önhasonlóság ) [1] . (Megjegyzendő azonban, hogy a skálázó transzformációk általában a konform transzformációk csoportjába tartoznak: ez utóbbiak a speciális konform transzformációk szimmetriájához kapcsolódó további generátorokat tartalmaznak).

A lépték változásával a kölcsönhatás ereje is megváltozik, mintha egy feltételes mikroszkóp nagyítása, amely alatt a rendszert nézzük, megváltozna. Az úgynevezett renormalizálható elméletekben az egy léptékű rendszer jellemzően önhasonló másolatokból áll, ha kisebb léptékben nézzük, és különböző paraméterekkel írják le a rendszer összetevőit. A komponensek vagy alapváltozók összefüggésbe hozhatók atomokkal , elemi részecskékkel , atomi spinekkel stb. Az elmélet paraméterei a komponensek kölcsönhatását írják le. Ezek változó kapcsolódási paraméterek lehetnek, amelyektől különböző erők vagy tömegek hatása függ. Előfordulhat, hogy maguk a rendszerelemek is hasonló alkatrészekből állnak, de kisebbek.

Például a kvantumelektrodinamikában (QED) úgy tűnik, hogy az elektron elektronokból, pozitronokból és fotonokból áll , ha nagyobb felbontásban, nagyon rövid távolságra nézzük. Egy ilyen kis távolságra lévő elektron elektromos töltése kissé eltér, mint a nagy távolságra lévő "öltözött elektron", és ezt az elektromos töltés változását a renormalizációs csoportegyenlet határozza meg.

Érdemes megjegyezni, hogy a renormalizációs csoport módszerének két különböző megközelítése alakult ki: a Wilson megközelítés és a Bogolyubov megközelítés . Az első esetben a renormalizációs csoport nem a szigorú matematikai értelemben vett csoport, mivel nincs inverz elem a csoportrenormálási művelethez képest. Nagyjából úgy tekinthetjük a rendszert, mintha ugyanazon kisebb rendszerekből állna össze, de ez nem jelenti azt, hogy a kezdeti "nagy" rendszert "kis" rendszerek keverésével kapjuk meg. Ez annak a következménye, hogy sok testből álló rendszer vizsgálatakor az átlagolt értékekre vagyunk kíváncsiak, átlagoláskor pedig az alrendszerek interakciójával kapcsolatos információk vesznek el. A második esetben a renormalizációs csoport már teljes mértékben megfelel a szoros értelemben vett csoportnak . Ezek a megközelítések a cselekvések sorrendjében különböznek egymástól: a Wilson-féle megközelítésben a cselekvésben részt vevő mennyiségeket renormalizáljuk , majd azonnal átlagoljuk, míg a Bogolyubov-megközelítésben először a Zöld függvényeit keressük, majd renormalizáljuk.

Történelem

A renormalizációs csoport ötletét eredetileg a részecskefizikában dolgozták ki , de mára széles körben elterjedt a szilárdtestfizikában , a folyadékdinamikában , a kozmológiában , sőt az ökonometriában is . Az első munkát ebben a témában Stückelberg és Peterman írta 1953-ban. Észrevették, hogy a renormalizáció átalakulások csoportját alkotja. Bevezették a h ( e ) függvényt a kvantumelektrodinamikában, amelyet ma béta-függvénynek neveznek (lásd alább).

Murray Gell-Man és Francis Low 1954-ben kezdett érdeklődni a kvantumelektrodinamika skálázási transzformációinak ötlete iránt, amelyek fizikailag a legjelentősebbek, és a fotonszaporító nagy energiájú aszimptotikus viselkedésére összpontosítottak. Meghatározták az elektromágneses kölcsönhatás variációit a kvantumelektrodinamikában úgy, hogy értékelték ezen elmélet szerkezetének skálázhatóságát. Így azt találták, hogy a g (μ) csatolási paramétert a μ energiaskálán a csoportegyenlet írja le.

g(\mu )=G^{-1}{\Big (}(\mu /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}

valamilyen G skálázófüggvényre és egy d állandóra egy g ( M ) csatolási paraméter tekintetében az M referenciaskálától függően .

Gell-Man és Low ezekben az eredményekben kimutatta, hogy a μ effektív skála tetszőlegesen választható, és változtatható az elmélet bármely más skálán történő meghatározásához:

g(\varkappa )=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /\mu )^{d}G{\big (}g(\mu ){\big )}{\Big )}=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}.

Az RG lényege a csoporttulajdonság: a μ skála függvényében az elmélet önhasonlónak tűnik, és csoporttranszformáció segítségével bármely más skála elméletéből hasonló módon előállítható az elmélet .

A béta funkciót K. Callan és K. Symansik vezette be az 1970-es évek elején. Mivel a béta-függvény g egyszerű függvénye , a perturbált béta-függvény g feletti integrálása lehetővé teszi, hogy részletesen leírjuk a csatolási paraméter renormalizációs pályáját, vagyis az energiával való változása megegyezik a G effektív függvény figyelembevételével ebben a perturbációban. közelítés. A renormalizációs csoportelmélet (Stueckelberg, Peterman és Gell-Mann, Low) előrejelzései 40 évvel később, LEP -en végzett kísérletekben beigazolódtak : a QED finomszerkezeti állandója körülbelül 1/127 volt 200 GeV körüli energiákon, ellentétben a az alacsony energiájú fizika értéke, egyenlő 1/137-tel. (A kvantumelektrodinamika korai alkalmazásait Nyikolaj Bogoljubov és Dmitrij Shirkov 1959-ben kiadott alapvető könyve tárgyalta).

A renormalizációs csoportot a kvantumtérváltozók renormalizálásával kapjuk, ami általában megszünteti a kvantumtérelmélet divergenciáinak problémáját (bár az RG a divergenciáktól függetlenül létezik). A kvantumtérelméletben a végtelenség szisztematikus elkerülésének problémáját, hogy véges fizikai mennyiségeket kapjunk , Feynman , Schwinger és Tomonaga oldotta meg a QED esetében , akik 1965-ben Nobel-díjat kaptak a kvantumtérelmélethez való hozzájárulásáért. Kidolgozták a tömeg- és töltésrenormalizáció elméletét, amelyben az impulzus-reprezentációban a végtelent egy nagy Λ regularizálóba helyezik át (amely végső soron végtelennek tekinthető - a végtelen a járulékok felhalmozódását tükrözi végtelen számú szabadsági fokon végtelenül nagyon. energia skála). A fizikai mennyiségek, mint például az elektron elektromos töltése vagy tömege, függése a Λ skálán rejtőzik, amelyet egy nagy távolságú skála vált fel, amelyben a fizikai mennyiségek mérhetők, és ennek következtében minden megfigyelhető. a mennyiségek még végtelen Λ esetén is végesek. Gell-Man és Low kimutatta, hogy a fenti RG egyenlet által biztosított kis változást g - ben a ψ( g ) függvény adja; Az önhasonlóság abban fejeződik ki, hogy ψ( g ) kifejezetten csak az elmélet paramétereitől függ, és nem a μ skálától. Ezért a fenti RG egyenlet megoldható g (μ)-re.

A renormalizációs módszer fizikai jelentésének mélyebb megértése és általánosítása, amely túlmutat a hétköznapi renormalizálható elméletek csoportjának bővítésén, a kondenzált anyag fizikából származott. Leo Kadanov egy 1966-os tanulmányában a "blokk-pörgés" renormalizációs csoportot javasolta. A blokkolás gondolata egy módja annak, hogy egy elmélet komponenseit nagy távolságra definiáljuk, mint kis távolságú komponensek gyűjteményét.

Ezt a megközelítést alkalmazta Kenneth Wilson a régóta fennálló Kondo-probléma megoldására és a második típusú átmenetek leírására. 1982-ben Nobel-díjat kapott "a fázisátalakulással kapcsolatos kritikus jelenségek elméletéért".

Eközben az elemi részecskefizika RG-jét K. Callan és K. Symansik 1970-ben újrafogalmazta. A fent említett béta függvény, amely a skálaparaméter változásával leírja a futó csatolási állandókat, szintén egyenlőnek bizonyult a "kanonikus nyomkövetési anomália" értékével, amely a térelméletben egy kvantummechanikai skálatörés. Az RG részecskefizikai alkalmazásai az 1970-es években a Standard Modell megalkotásához vezettek.

1973-ban a kölcsönhatásban lévő színkvarkok elméletéről , amelyet kvantumkromodinamikának neveznek, negatív béta-függvényt találtak . Ez azt jelenti, hogy a nagy energiájú csatolási paraméter kezdeti értéke egy μ szinguláris pont megjelenéséhez vezet, amelynél a csatolási paraméter meredeken növekszik (eltér). Ez a konkrét érték az erős kölcsönhatás skálája, μ = Λ QCD, és körülbelül 200 MeV energiánál jelentkezik. Ezzel szemben a kötés nagyon nagy energiáknál gyengül (aszimptotikus szabadság), és a kvarkok pontrészecskékként válnak megfigyelhetővé. Így a QCD-t kvantumtérelméletként kaptuk, amely leírja a részecskék erős kölcsönhatását.

Az impulzustérben lévő RG a szilárdtestfizika igen fejlett eszközévé is vált, de sikerét hátráltatta a perturbációelmélet széles körű alkalmazása, amely megakadályozta az erősen korrelált rendszerek elméletének sikerét. Az erősen korrelált rendszerek tanulmányozására a variációs elv bizonyult a legjobb alternatívának. Az 1980-as években több RG technikát fejlesztettek ki valós térben történő alkalmazásokhoz, a legsikeresebb a C. R. White és R. M. Noack által 1992-ben kifejlesztett Density Matrix Renormalization Group (DMRG) módszer .

A konformális szimmetria a béta funkció eltűnésével jár. Ez akkor fordulhat elő, ha a csatolási állandót egy fix ponthoz vonzzuk, ahol β( g ) = 0. A QCD-ben a fix pont kis távolságokban jelenik meg, ahol g → 0, és ezt (triviális) ultraibolya fixpontnak nevezzük. Nehéz kvarkoknál, például a felső kvarknál , a számítások szerint a tömeget adó Higgs -bozonnal való kötés egy fix, nullától eltérő infravörös fix pontra hajlamos.

Példa a Wilson-séma szerinti számításra

Tekintsük az euklideszi d - dimenziós tér elméletét . Állapodjunk meg, hogy ugyanazokat a megnevezéseket használjuk a függvényekhez és Fourier-transzformációikhoz , csak a függvény argumentumát változtatjuk meg: x a koordinátaábrázoláshoz, p az impulzusábrázoláshoz. Integrálok felvételénél a koordináta-ábrázolást használjuk. A Lagrange ebben az elméletben így van írva $\phi^4$

{\mathcal {L}}(\phi )={\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

A partíciófüggvény ebben az esetben funkcionális integrálként van ábrázolva

Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}\ phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!)}}\phi ^{4 } \jobbra)\jobbra].

Ismeretes, hogy egy renormálható kvantumelméletben az energiával járó szabadsági fokok csak közvetve hatnak a ~ M energiájú folyamatokra : az elméleti állandók renormálásán keresztül. Ezért tanácsos az impulzust valamilyen értékkel "levágni" : $\Lambda \gg M$ $\lambda$

[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)

Ekkor a rendszeresített partíciófüggvény a következőképpen írható fel

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac { m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda } {4!}}\phi ^{4}\right)\right].

Az integrációs változókat két csoportra osztjuk ( ): $0<b<1$

{\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\0,&|p|<b\ Lambda .\end{cases}}

\phi (p)={\begin{cases}0,&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\\phi (p),&|p|<b\Lambda .\end{cases }}

És helyettesítse a kifejezésben a szabályos partíciós függvényt:

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[ -\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{\frac { 1}{2}}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\frac {\lambda }{4!)} } (\phi +{\hat {\phi )))^{4}\jobbra)\jobbra].

Kinyitjuk a zárójeleket és átcsoportosítjuk a kifejezéseket, figyelembe véve, hogy a Fourier-transzformációk tulajdonságai miatt eltűnnek a járulékok (a műveletintegrál megtétele előtt érdemes áttérni az impulzustérre), valamint a függvények definíciója és a lendületforma. $\phi {\hat {\phi ))$ $\phi$ ${\kalap {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}( \phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2)) {2}}{\hat {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\ lambda ({\frac {1}{6}}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{\frac {1}{4}}\phi ^{2}{\hat {\phi } }^{2}+{\frac {1}{6}}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{\frac {1}{4!)}}{\hat {\phi } } ^{4})\jobbra)\jobbra].

Itt a Lagrange -nak ugyanaz a formája, mint a kezdeti Lagrange-nak. Integráljunk a terepen : ${\mathcal {L}}(\phi )$ ${\kalap {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L }}_{\text{eff}}(\phi )\right]},

ahol a hatványokkal és azok származékaival arányos korrekciókkal tér el . A helyesbítések diagramos formában is bemutathatók. Vizsgáljuk meg a kapott hatásos hatást a renormalizációs csoport módszerével. Ehhez megváltoztatjuk a távolságok és az impulzusok skáláját a szabály szerint . ${\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ ${\mathcal {L}}(\phi )$ $\lambda ,\phi$ $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ $x'=bx,\ p'=p/b,\ |p|<\Lambda$

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d} \left[{\frac {1}{2}}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{\frac {1}{2 }}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4} +\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+\ldots \right].

Végezzünk helyettesítéseket, amelyekben a művelet az eredeti formáját veszi fel:

\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi ,

m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2},

\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4},

B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d},

C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}.

Következésképpen

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{\frac {1}{2}}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{\frac {1}{2}}m'^{2}\phi '^{2}+{ \frac {1}{4!}}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{ 6}+\ldots\right].

Mint látható, a mérettől való függést átvittük a modell paramétereibe. Elemezzük őket. A fix pont egy kis szomszédságában a paraméterek növelése figyelmen kívül hagyható . A statisztikus fizikában ez megfelel egy rendszer dinamikájának egy kritikus pont közelében való figyelembevételének. $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$

m'^{2}=m^{2}b^{-2},\ \lambda '=\lambda b^{d-4},\ B'=Bb^{d},\ C' =Cb^{2d-6}.

Mivel , akkor a negatív hatványokkal szorzott paraméterek nőnek, és fordítva. $b<1$ $b$

Az ismertetett eljárás során megnövekedett modellparamétereket alapvetőnek nevezzük .
A leírt eljárással csökkentett modellparamétereket jelentéktelennek nevezzük .
Azokat a modellparamétereket, amelyek a leírt eljárás során nem változnak, marginálisnak nevezzük .

Nyilvánvaló, hogy az utolsó két paraméter nem lényeges, és a at elmélet renormálható. Ez a kép természetesen mindaddig érvényes, amíg a tömegoperátor nem válik dominánssá. $\phi^4$ $d=4$

Renormalizációs csoport a szilárdtestfizikában

A szilárdtestfizikában a renormalizációs csoportot a fázisátalakulások matematikai modelljeinek felépítésére használják. Bővítsük ki az energianövekményt Taylor sorozatban a lokális mágnesezettség függvényében . A kritikus tartományban a b együttható fontos szerepet játszik, mivel a nullára hajlik. A lokális mágnesezettséget Fourier-sorral bővítjük, végtelen számú szinuszos hullám összegeként, különböző hullámvektorokkal és frekvenciákkal. A mágnesezettségi hullámok kvantumát fluktuonoknak nevezzük . A fényhullámok fotonjaihoz hasonlóan az ingadozásoknak is van energiájuk és lendületük . A ferromágnesekben lévő fluktuációk egymásra szórva lépnek kölcsönhatásba. Kényelmes a fluktuonszórási folyamatok kiszámítása Feynman diagramok segítségével . Ezeken az ábrákon a vonalak mozgó részecskéknek (fluktuonoknak), a pontok pedig azok ütközéseinek felelnek meg. A fluktuációk valós kölcsönhatási erejét g effektív csatolási állandónak nevezzük. A két-két szórási folyamat Feynman-diagramját levágtuk azon a helyen, ahol két köztes részecske áthalad. Tekintsük a jobb oldalon az összes lehetséges blokkot, amely két-két szórási folyamatot ábrázol. Összegzés után a jobb oldal az az összeg végtelen számú taggal, amelyek a g állandót reprezentálják. Tekintsük a bal oldalon az összes lehetséges blokkot, amely két-két szórási folyamatot ábrázol. Az összegzés után a bal oldal az az összeg végtelen számú taggal, amelyek a g állandót reprezentálják. Ennek eredményeként egy végtelen taghalmaz helyett, amelyek mindegyike a b csatolási állandótól függ, egy taghoz jutunk, amely a g állandótól függ. Ezt az eljárást az egyik csatolási állandó másikkal való helyettesítésére renormalizálásnak nevezzük. A renormalizációs csoport módszere lehetővé teszi a kritikus aszimptotikumok típusának függetlenségét a fázisátalakulás anyagi és fizikai természetétől. $\Delta E=a{\bar {m^{2}}}+b{\bar {m^{4}}}$ $\omega$ $\hbar {\bar {k))$

Renormalizációs csoport a statisztikai fizikában

A renormalizációs csoport módszere egy általánosan elismert eszköz a másodrendű fázisátalakulások és kritikus jelenségek tanulmányozására. A statisztikus fizika problémái közé tartoznak a végtelen számú szabadságfok problémái. Például: a kritikus viselkedés vagy a sztochasztikus dinamika elméletének problémái időfüggő klasszikus véletlen mezőkkel. Ennek megfelelően a rendszert Green függvények végtelen családja adja. Az ilyen problémákra általában nincs pontos megoldás. Ezért a tartományokban aszimptotikáról kell beszélnünk. Az RG technika csak megmutatja a megfelelő skálázás meglétét. És ha létezik, akkor explicit képleteket kapunk a kritikus kitevők kiszámításához az ε-kiterjesztésen keresztül ( d = 4 − ε). A kritikus exponensek a rendszer különböző termodinamikai jellemzőinek anomáliáit írják le a fluktuációs tartományban, azaz a fázisátmeneti pont közelében.

Vagyis az RG technika a Green-függvény aszimptotikájának kiszámítására szolgáló módszer a nagy (UV) és a kicsi (IR) momentum tartományában. Nemtriviális aszimptotikának tekintjük: a perturbációs sorozatnak vannak olyan tagjai, amelyeknek pillanatnyi szingularitása van. Így ilyen esetekben nem elég, ha összegezzük a sorozat egy darabját. A teljes sorozatot össze kell foglalni. Az ilyen műveleteket RG-technikával hajtják végre. Ennek eredményeként egy lineáris parciális differenciálegyenletet kapunk a Green függvényre. De, mint korábban említettük, két területünk van. És a kapott megoldás csak az egyikben helyes. Hogyan találhatjuk meg ezt az alkalmazhatósági területet? Tekintsük a β-függvényt, a derivált együtthatóját az RG operátorban. Általában úgy néz ki $\partial _{g}$

\beta (g)=\alpha g+\beta g^{2}+\gamma g^{3}+\delta g^{4}+\epsilon g^{5}+\phi g^{6 }\lpontok ,

\beta (g^{*})=0\quad \Rightarrow \quad g^{*}

egy fix pont.

Mindig létezik g * = 0 triviális megoldás. Így a β( g ) függvény viselkedésétől függően g * = 0 környezetében megkülönböztetjük az UV-vonzó és az IR-vonzó fix pontokat.

Érdemes megemlíteni az egyetemesség és a hasonlósági hipotézist is.

A rendszerek ugyanabba az osztályba tartoznak, ha a kritikus kitevők és a normalizált skálázási függvények ezekre a rendszerekre egybeesnek. Például a "gáz-folyadék átmenet" és a "ferromágnesek" rendszerek ugyanabba az osztályba tartoznak.
A hasonlósági hipotézis az, hogy a számunkra érdekes termodinamikai függvények aszimptotikája a kritikus pont közelében homogenitás tulajdonsággal rendelkezik.

Tekintsük az RG elemzési sémát bármely modellhez.

Érdemes megismételni, hogy az RG analízis feladata a kritikus skálázás igazolása és a kritikus indexek kiszámítása. Érdekes eredményekre vagyunk kíváncsiak, amelyek nem függnek a véges renormálás önkényességétől. Ezután csak a számítási sémát vesszük figyelembe.

Az akciófunkcionális összes mennyiség méretének meghatározása és az IR elutasítása a fő kölcsönhatáshoz képest jelentéktelen.
Az összes 1-reredukálhatatlan függvény diagramjainak ( d = d * esetén) eltéréseinek és a szükséges ellentagok szerkezetének meghatározása.
RG egyenletek beszerzése renormalizált objektumokhoz és RG függvényeket kifejező képletek Z renormalizációs állandókkal .
Számítás a Z renormalizációs állandók diagramjaiból g töltésű sorozat kezdeti szakaszai formájában .
A β és γ RG függvények kiszámítása g -beli sorozatok kezdeti szegmensei formájában olyan képletekkel, amelyek Z -ben fejezik ki őket . β az összes töltés függvénye, γ az anomális méretek.
A g * rögzített pontok koordinátáinak és a megfelelő ω indexeknek az ε-kiterjesztés kezdeti szegmensei formájában történő kiszámítása β-függvényekkel . Ha a g * pontok között nincsenek IR-stabil pontok, akkor nem lesz kritikus skálázás. Ha vannak ilyen pontok, akkor megtesszük a következő lépést.
Minden g * γ( g * ) és a megfelelő kritikus kitevő kiszámítása történik. Komplex modellekben lehetőség nyílik az indexek ε-terjedésének 1-2 nagyságrendű kiszámítására és a fázispályák viselkedésének általános képének megértésére.
Különféle skálázó függvények ε-kiterjesztésének kezdeti szegmenseinek kiszámítása.
Szingularitásaik elemzése az ε-bővítés keretein kívül az RG technikával és a Wilson-féle operátor-kiterjesztéssel.
Különféle összetett operátorrendszerek renormalizálásának elemzése és kritikus dimenzióinak számítása.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Renormalizációs csoport? Nagyon egyszerű // Természet . - 1984, 8. sz. - S. 3-13.

Linkek

Renormalizációs csoport az arxiv.org oldalon
Vergeles S. N. Előadások a kvantumelektrodinamikáról. - M. : Fizmatlit, 2006. - ISBN 5-9221-0634-1
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. 7 kiadás 4 nyelven. 4. kiadás - M .: Nauka, 1984.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvantummezők. (3. kiadás) - M. : Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0580-9 .
Shirkov DV A Bogoliubov Renormalizációs Csoport. (angol) .
Vasziljev AN Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - Szentpétervár. : PNPI kiadó, 1998.(angol fordításban)
Sokolov A. I. Kritikus fluktuációk és a renormalizációs csoport // Soros Educational Journal , 2000, 12. szám - 98. o.
Sokolov A.I. Renormalizációs csoport a fázisátmenetek elméletében // A PNPI FKS-2011 iskolája