Nyújtás (geometria)

A nyújtás poliéderen végzett művelet (bármilyen dimenzióban, nem csak háromdimenziós térben), melynek során a fazettákat szétválasztják és a középponttól sugárirányban elmozdítják, az elválasztott elemeken (csúcsok, élek stb.) új fazettákat alakítanak ki. .). Ugyanezek a műveletek olyan műveletekként is felfoghatók, amelyek a felületeket a helyükön tartják, de méretüket csökkentik.

A politóp alatt többdimenziós poliédert értünk, és a továbbiakban a cikkben ezeket a fogalmakat szinonimákként használjuk (a "többdimenziós" szó elhagyható, ha jelentésből feltételezzük) [1] .

Egy szabályos többdimenziós politóp nyújtása egységes politópot eredményez , de a művelet bármely konvex politópra alkalmazható , amint azt a " Conway-jelölés a politópokra " című cikk a politópokra vonatkozóan bemutatja . A 3D politópok esetében a feszített politópnak az eredeti politóp összes lapja, a kettős politóp összes lapja és további négyzet alakú lapok vannak az eredeti élek helyett.

Szabályos politópok nyújtása

Coxeter szerint ezt a nagydimenziós szilárdtestekre vonatkozó kifejezést Alicia Buhl Stott [2] határozta meg , hogy új, nagy dimenziójú poliédereket hozzon létre. Pontosabban, egységes többdimenziós poliéderek létrehozása szabályos többdimenziós poliéderekből .

A nyújtási művelet szimmetrikus a szabályos politópokra és azok kettős poliédereire. Az eredményül kapott test tartalmaz egy szabályos poliéder és annak kettős poliéder oldalait , valamint további prizmás oldalakat, amelyek kitöltik az alacsonyabb dimenziójú elemek közötti teret.

A nyújtás bizonyos mértékig eltérő jelentéssel bír a különböző dimenziók esetében . Wythoff konstrukciójában a nyújtást az első és az utolsó tükör visszaverődése hozza létre. Magasabb dimenziókban a nyújtás (al)indexszel írható, így e 2 bármely dimenzióban megegyezik t 0,2 -vel.

Megjegyzés : Az orosz nyelvű irodalomban a poliédereken végzett műveletek nevei nem dőltek el, ezért az alábbiakban az angol neveket fordítással közöljük .

Méretek szerint:

• Egy szabályos {p} sokszög szabályos 2p-szöggé bővül.
  • Sokszögeknél a művelet megegyezik a csonkítási művelettel , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p}, és Coxeter-Dynkin diagramja van .
• Egy szabályos {p,q} politóp (3-dimenziós politóp) a p.4.q.4 csúcsú politópmá bővül .
  • Poliédereknél ezt a műveletet "kantellációnak" nevezik , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0,2 {p,q} = rr{p,q}, és a műveletnek Coxeter diagramja van. Például egy rombikubotaéder nevezhető kitágított kockának , kitágult oktaédernek , valamint ferde kockának vagy ferde oktaédernek .
• Egy szabályos {p,q,r} 4D-politóp (4-politóp) új 4D-politóppá feszítve ugyanazokkal a {p,q} cellákkal, új {r,q} cellák jönnek létre a régi csúcsok helyén, p A régi (2 dimenziós) lapok helyén szög prizmák, a régi élek helyett r-szögű prizmák jönnek létre.
  • 4-dimenziós poliédereknél ezt a műveletet "futtatásnak" (gyalulás) nevezik, e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r}, és a műveletnek van Coxeter diagramja.
• Hasonlóképpen, egy szabályos {p,q,r,s} 5D politóp egy új 5D politópmá bővül {p,q,r}, {s,r,q} aspektusokkal, prizmákkal {p,q}× { }, prizmák {s,r}×{ } és duoprizmák {p} × {s}.
  • A műveletet "sterikációnak" (darabolás) nevezik, e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} és a műveletnek van egy Coxeter diagramja.

A szabályos n-dimenziós poliéder nyújtásának általános művelete t 0,n-1 {p,q,r,...}. Az egyes csúcsok helyére új szabályos fazettákat adnak hozzá, és új prizmás politópokat adnak hozzá minden osztott élhez, (2D) laphoz stb.

Lásd még

• Conway-jelölés a poliéderekhez

Jegyzetek

1. ↑ Az orosz nyelvű irodalomban a szabályos politópokat (3-nál nagyobb dimenziójú politópok) és a poliédereket általában konvex testekként értelmezik, az angol nyelvű irodalomban a csillagozott szabályos poliédereket is szabályos politópoknak (politópoknak) tekintik.
2. ↑ Coxeter, 1973 , p. 123.210.

Irodalom

• HSM Coxeter . Rendszeres politópok. - harmadik kiadás. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Első kiadás: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
• Weisstein, Eric W. Expansion  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
• Norman Johnson. Egységes politópok. - 1991. - (kézirat).
  • NW Johnson. Az egységes politópok és méhsejt elmélete. – Ph.D. Torontói Egyetem, 1966. - (Ph.D. értekezés).

Az alapítás	csonkítás	teljes csonka	Mély csonkítás	Kettősség _	nyújtás	Csonkolás	Alternatív
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}