Voigt profil

Voigt (középen)
Mindegyik tok teljes szélessége félmagasságnál közel 3,6. A fekete és piros görbék a Gauss- (γ =0) és a Lorentzi- (σ =0) profilok határesetei.Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Lehetőségek	$\gamma ,\sigma >0$
Hordozó	$x\in (-\infty ,\infty )$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma { \sqrt {2}}}}}$
elosztási függvény	(komplex lásd a szöveget)
Várható érték	(meghatározatlan)
Középső	$0$
Divat	$0$
Diszperzió	(meghatározatlan)
Kurtosis együttható	(meghatározatlan)
Pillanatok generáló függvénye	(meghatározatlan)
jellemző funkció	${\displaystyle e^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2))$

A Voigt-profil vagy Voigt- eloszlás ( Woldemar Vogtról elnevezett ) a Cauchy-Lorentz-eloszlás és a Gauss -eloszlás összevonásával kapott valószínűségi eloszlás . Gyakran használják spektroszkópiai vagy diffrakciós adatok elemzésére .

Definíció

Az általánosság elvesztése nélkül csak a központosított profilok jöhetnek számításba, amelyek csúcsa nullán van. Ezután megtörténik a Voigt profil meghatározása

V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(xx';\gamma )\,dx',

ahol x az eltolás a vonalmaximum pozíciójához képest, a középpontos Gauss-eloszlás, amelyet az adott $G(x;\sigma )$

G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2))))){\sigma {\sqrt {2\pi )) } },

és a központosított Lorentz-eloszlás $L(x;\gamma )$

L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2))))).

A határozott integrál a következőképpen értékelhető:

V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),

ahol Re [ w ( z )] a Faddeeva függvénynek az összetett argumentumra számított valós része

z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2)))).

Az és korlátozó esetekben a és -re egyszerűsíti , ill . $\sigma=0$ $\gamma =0$ $V(x;\sigma ,\gamma )$ $L(x;\gamma )$ $G(x;\sigma )$

Előzmények és alkalmazások

A spektroszkópiában a Voigt-profil két szélesítő mechanizmus konvolúcióját írja le, amelyek közül az egyik Gauss-eloszlást ad (általában a Doppler-szélesítés eredményeként ), a másik pedig egy Lorentzi-eloszlást. A Voigt-profilok gyakoriak a spektroszkópiával és a diffrakcióval kapcsolatos számos területen . A Faddeev-függvény kiszámításának bonyolultsága miatt a Voigt -profilt néha pszeudo-Voigt eloszlással közelítik meg.

Jellemzők

A Voigt-profil normalizálva van, mint minden disztribúció:

\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,

mert normalizált valószínűségi eloszlások konvolúciója. A Lorentz-profilnak nincsenek momentumai (nulla momentumokon kívül), így a Cauchy-eloszlás momentumgeneráló függvénye nincs megadva. Ebből következik, hogy a Voigt-profilnak szintén nincs momentumgeneráló függvénye, de a Cauchy-eloszlás karakterisztikus függvénye jól definiált, csakúgy, mint a normál eloszlás karakterisztikus függvénye . Ekkor a (középre állított) Voigt-profil karakterisztikus funkciója két jellemző függvény szorzata lesz:

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t |}.

Mivel a normál eloszlások és a Cauchy-eloszlások stabil eloszlások , mindegyik zárva van a konvolúció során (az újraskálázásig), és ebből következik, hogy a Voigt-eloszlások is zártak a konvolúció során.

Kumulatív eloszlásfüggvény

A z fenti definícióját használva a kumulatív eloszlásfüggvény (CDF) a következőképpen található:

F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0)){\frac {\operátornév {Re} (w(z))}{\ sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operátornév {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )} ^{z(x_{0})}w(z)\,dz\jobb).

A Faddeev függvény (skálázott komplex hibafüggvény ) definíciójának behelyettesítése határozatlan integrált eredményez

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z ^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,

amely speciális funkciókkal fejezhető ki

{\frac {1}{\sqrt {\pi ))}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2))+{\frac { iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2)),2;-z^{2}\jobbra) ,

hol van a hipergeometrikus függvény . Ahhoz, hogy a függvény nullához közeledjen, amikor x közeledik a negatív végtelenhez (ahogyan a kumulatív eloszlásfüggvénynél kell), 1/2 integrációs állandót kell hozzáadni. Ez a Voigt-féle KFR-re: ${}_{2}F_{2}$

F(x;\mu ,\sigma )=\operátornév {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}} +{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{ 2}\jobbra)\jobbra].

Voigt nem központosított profilja

Ha a Gauss-profil középpontja a pontban van, a Lorentzi-profil középpontja pedig , akkor a konvolúció középpontja és a karakterisztikus függvény egyenlő $\mu _{G}$ $\mu _{L}$ $\mu _{G}+\mu _{L}$

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{ \mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

A medián is itt található . $\mu _{G}+\mu _{L}$

Származékos profil

Az első és a második derivált profilja a Faddeeva függvény segítségével a következőképpen fejezhető ki

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatorname {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^ {2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma { \sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2))}{\frac {\operátornév {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt { 2\pi }}}};

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2 }-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{ \frac {2x\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {\operátornév {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {1}{\pi )),

a fenti definíciót használva z -re .

Voigt függvények

Az U , V és H Voigt -függvények (amelyeket néha vonalszélesítési függvénynek is neveznek ) a következőképpen definiálhatók:

U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t))}e^{z^{2))\operátornév {erfc} (z)= {\sqrt {\frac {\pi }{4t))}w(iz),

H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi ))))),

ahol

z=(1-ix)/2{\sqrt {t)),

Az erfc a hibafüggvény , a w ( z ) pedig a Faddeeva függvény .

Kapcsolat a Voigt-profillal

A vonalszélesítés funkció a kifejezés segítségével a Voigt-profilhoz kapcsolható

V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),

ahol

a=\gamma /({\sqrt {2))\sigma )

és

u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).

Numerikus közelítések

A Tepper-Garcia függvény

A Tepper-Garcia függvény, amelyet Thor Tepper-Garcia német-mexikói asztrofizikusról neveztek el , egy exponenciális függvény és racionális függvény kombinációja, amely paramétereinek széles tartományában közelíti a vonalszélesítési függvényt [1] . A pontos vonalszélesítési függvény csonka teljesítménysoros kiterjesztésével kapjuk. $H(a,u)$

Számítási szempontból a Tepper-Garcia függvény írásának leghatékonyabb formája a következő

T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+ Q)-Q-1\jobbra]\,,

ahol , , és . $P\equiv u^{2}$ $Q\equiv 3/(2P)$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P))$

Így a vonalszélesítési függvény első sorrendben tiszta Gauss-függvénynek tekinthető, plusz egy korrekciós tényezőnek, amely lineárisan függ az abszorbeáló közeg mikroszkopikus tulajdonságaitól (a paraméterben kódolva ); azonban a sorozat korai csonkítása következtében egy ilyen közelítés hibája még mindig nagyságrendi , azaz . Ennek a közelítésnek relatív pontossága van $a$ $a$ $H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)$

\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}

a teljes hullámhossz-tartományban , feltéve, hogy . A nagy pontosság mellett a függvény könnyen írható és gyorsan is számolható. Széles körben használják a kvazárok abszorpciós vonalainak elemzése terén [2] . $H(a,u)$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4))$ $T(a,u)$

Közelítés a Voigt pszeudo-eloszláshoz

A Voigt-féle pszeudoeloszlás közelítése a V ( x ) Voigt-profil közelítése a G ( x ) Gauss-görbe és az L ( x ) Lorentzi-görbe lineáris kombinációjával konvolúciójuk helyett .

A Voigt pszeudo-eloszlási függvényt gyakran használják a spektrumvonalak kísérleti profiljának kiszámítására .

A normalizált Voigt pszeudo-eloszlás matematikai definícióját a képlet adja meg

V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)

-val .

0<\eta <1

ahol a teljes szélesség fél magasságban (FWHM) paraméter függvénye. $\eta$

A [3] [4] [5] [6] paraméter kiválasztására több lehetőség is van . Egy egyszerű képlet 1%-os pontossággal [7] [8] adható meg $\eta$

\eta =1,36603(f_{L}/f)-0,47719(f_{L}/f)^{2}+0,11116(f_{L}/f)^{3},

ahol Lorentz ( ), Gauss ( ) és teljes szélesség ( ) függvénye a maximum felénél (FWHM). A teljes szélességet ( ) a képlet írja le $\eta$ $f_{L}$ $f_{G}$ $f$ $f$

f=[f_{G}^{5}+2,69269f_{G}^{4}f_{L}+2,42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4,47163f_{ G}^{2}f_{L}^{3}+0,07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.

Voigt profilszélesség

A Voigt-profil teljes szélessége félmaximumnál (FWHM) a Gauss- és Lorentzi-eloszlás megfelelő szélességének szélességeiből határozható meg. A Gauss-profil szélessége a

f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2))).

A Lorentzi-profil szélessége egyenlő

f_{\mathrm {L} }=2\gamma .

A Voigt-, Gauss- és Lorentz-profilok szélességének arányának durva közelítése a következőképpen írható:

f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.

Ez a közelítés pontosan igaz egy tisztán Gauss-eloszlásra.

A legjobb közelítés 0,02%-os pontossággal adja a kifejezést [9]

f_{\mathrm {V} }\kb. 0,5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0,2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^ {2}}}.

Ez a közelítés pontosan helyes egy tiszta Gauss-profilra, de körülbelül 0,000305% a hibája egy tiszta Lorentzi-profilra.

Jegyzetek

↑ Tepper-García, Thorsten (2006). „Voigt profil illesztése kvazár abszorpciós vonalakhoz: a Voigt-Hjerting függvény analitikai közelítése”. A Royal Astronomical Society havi közleményei . 369 (4): 2025-2035. DOI : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ A SAO/NASA Astrophysics Data Systemben (ADS) található idézetek listája: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations Archiválva 2020. december 13-án a Wayback Machine -nél
↑ "Kísérleti vonalalak Gauss- és Lorentzi-tartalmának meghatározása". Tudományos eszközök áttekintése . 45 (11): 1369-1371. 1974. Bibcode : 1974RScI...45.1369W . DOI : 10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F. (1997. augusztus). „A pszeudo-voigt függvény használata a röntgensugaras vonalszélesítő elemzés variancia-módszerében”. Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427-430. DOI : 10.1107/S0021889896015464 .
↑ "Egyszerű empirikus analitikai közelítés a Voigt-profilhoz". JOSA B. 18 (5): 666-672. 2001. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364/ josab.18.000666 .
↑ "A Voigt-profil mint egy Gauss- és egy Lorentzi-függvény összege, amikor a súlytényező csak a szélességi aránytól függ". Acta Physica Polonica A. 122 (4): 666-669. 2012. DOI : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ "Kibővített pszeudo-Voigt funkció a Voigt-profil közelítéséhez" . Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311-1316. 2000. doi : 10.1107/ s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D. E. Cox és J. B. Hastings (1987). „Az Al 2 O 3 Debye-Scherrer szinkrotron röntgen adatainak Rietveld finomítása ”. Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79-83. DOI : 10.1107/S0021889887087090 .
↑ Olivero, JJ (1977. február). „Empírikus illeszkedés a Voigt-vonalszélességhez: egy rövid áttekintés”. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233-236. Irodai kód : 1977JQSRT..17..233O . DOI : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .

Irodalom

A http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf egy C numerikus könyvtár az összetett hibafüggvényekhez, amely egy voigt(x, sigma, gamma) függvényt biztosít körülbelül 13-14 számjegy pontossággal.
Eredeti cikk: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (lásd még: http://http://http://www.publication.de57068339)