Pólus és sarki

Egy P pont polárisa egy nem degenerált másodrendű görbéhez képest azon N  pontok halmaza , amelyek harmonikusan konjugálnak a P ponthoz a másodrendű metszéspont M 1 és M 2 pontjaihoz képest. görbe a P ponton áthaladó szekánsokkal [1] .

A polár egy egyenes. A P pontot a poláris pólusának nevezzük . Bármely nem degenerált 2. rendű egyenes meghatározza a projektív sík pontjainak bijekcióját és vonalainak halmazát - polaritás vagy poláris transzformáció .

Tulajdonságok

• Ha a P pont a másodrendű egyenesen "kívül" van (azaz a P ponton keresztül két érintője húzható az egyenesnek ), akkor a polár ennek a másodrendű egyenesnek a 2 érintkezési pontján halad át egyenesen. a P ponton keresztül húzott vonalak . Például a 2. ábrán. a jobb oldalon látható a P pont poláris felépítése a piros körhöz képest kék húr NN' formájában . A képen 1 zöld érintő PN látható .
• Ha a P pont egy másodrendű görbén fekszik, akkor a polár az adott görbét érintő egyenes vonala ebben a pontban.
• A P pont polárisa átmegy annak inverzióján a megfelelő görbéhez képest. Sőt, ha a polár két pontban metszi ezt a görbét, akkor az inverzió az ezekben a pontokban végződő húr felezőpontja. Például a 2. ábrán. a jobb oldalon P' a P pont megfordítása a piros körhöz képest.
• A megfelelő görbe középpontján átmenő egyenesen fekvő összes pont polárisai párhuzamosak egymással. Parabola esetén a középpontot a végtelennek tekintjük, az egyenesnek párhuzamosnak kell lennie a tengelyével.
• Ha a P pont polárisa átmegy a Q ponton , akkor a Q pont polárisa a P ponton .

Trilineáris háromszög polárisok

Ha folytatjuk egy pont cevian háromszögének oldalait, és a metszéspontjaikat a megfelelő oldalakkal vesszük, akkor a kapott metszéspontok egy egyenesen fognak feküdni, amelyet az eredeti pont trilineáris polárisának nevezünk.

• Ortocentrikus tengely - az ortocentrum  trilineáris polárisa
• A beírt kör középpontjának trilineáris polárisa a külső felezők tengelye .
• A körülírt kúpon fekvő pontok háromvonalas polárisai egy pontban metszik egymást (a körülírt körnél ez a Lemoine-pont , a körülírt Steiner-ellipszisnél  a súlypont ) .
• A cevian háromszög  olyan háromszög, amelynek három csúcsa az eredeti háromszög három cevian alapja .

Történelem

A sarki kifejezést Gergonne vezette be .

Változatok és általánosítások

Hasonlóképpen definiáljuk egy bizonyos pont poláris (poláris síkját) egy 2. rendű nem degenerált felülethez képest.

A poláris fogalma egy másodrendű vonalhoz képest n -edrendű vonalakra általánosítható . Ebben az esetben a sík adott pontjához n -1 polár tartozik az n-edrendű egyeneshez képest . Az első poláris egy n -1 rendű egyenes, a második, amely egy adott pont polárisa az első polárishoz képest, n -2 rendű stb., végül az ( n -1) a polár egy egyenes.

• Az Y pont háromvonalas polárisát , amely izogonálisan konjugált az X ponthoz , az X pont középvonalának nevezzük .
• Az X pont középvonalának fogalmát Clark Kimberling vezette be cikkeiben [2] [3] .

Lásd még

• Trilineáris háromszög polárisok
• Középvonal (geometria)

Jegyzetek

1. ↑ Savelov A. A. Figyelemre méltó görbék. Tomszk: Kr. zászló, 1938
2. ↑ Kimberling, Clark. Középpontok és középvonalak a háromszög síkjában  // Matematikai Magazin  : magazin  . - 1994. - június ( 67. évf. , 3. sz.). - 163-187 . o . - doi : 10.2307/2690608 .
3. ↑ Kimberling, Clark. Háromszög középpontjai és középső háromszögei  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - 285. o.

Irodalom

• S. Ts. Kharalampiev, Pólus és poláris egy kör tekintetében ,  Kvant . - 1986. - 7. sz . - S. 32-34 .
• Efimov N.V., Higher Geometry , 6. kiadás, M., 1978;
• Postnikov M. M., Analitikai geometria , M., 1973