Berezinsky - Kosterlitz - Taules átkelés

Kosterlitz-Thouless átmenet vagy Berezinsky-Kosterlitz-Thouless átmenet (BKT-átmenet) vagy topológiai fázisátmenet - fázisátmenet kétdimenziós XY-modellben. Ez egy átmenet az alacsony hőmérsékleten kapcsolt örvény-antivortex párok állapotából a párosítatlan örvények és antivortexek állapotába valamilyen kritikus hőmérsékleten. Az átmenet Vadim Lvovich Berezinsky , John M. Kosterlitz és David J. Thouless kondenzált anyag fizikusairól kapta a nevét . A kondenzált anyag fizikában néhány 2D rendszerben BKT átmenetek figyelhetők meg, amelyeket az XY modell segítségével közelítünk (az anyag topológiai fázisában ), beleértve a Josephson-csomópontok sorát és a vékony szupravezető szemcsés filmeket. Ezt a kifejezést a Cooper-párok rögzítésének elnevezéseként is használják elválasztó módban, a szokásos BKT örvény átmenethez való hasonlóság miatt.

XY modell

Az XY modell egy kétdimenziós vektor spin modell, amelynek U(1) szimmetriája van . Ettől a rendszertől várhatóan nem lesz normális másodrendű fázisátmenet . Ennek az az oka, hogy a rendszer várható rendezett fázisát tönkreteszik a keresztirányú rezgések, vagyis a folytonos szimmetria megtöréséhez társuló Goldstone-módusok (lásd Goldstone-bozon ) , amelyek logaritmikusan eltérnek a rendszer méretének növekedésével. Ez a Mermin-Wagner-tétel spinrendszerekre vonatkozó speciális esete .

Ezt az átmenetet nem vizsgálták szigorúan, de két fázis létezését megerősítette McBryan és Spencer (1977), valamint Fröhlich és Spencer (1981).

BKT átmenet: rendezetlen fázisok különböző korrelációkkal

A kétdimenziós XY-modellben a másodrendű fázisátalakulás nem figyelhető meg. Létezik azonban egy alacsony hőmérsékletű, kvázi-rendezett fázis korrelációs függvénnyel (lásd: Statisztikai mechanika ), amely a hatványtörvényben a távolsággal csökken, és a hőmérséklettől függ. Az exponenciális korrelációjú magas hőmérsékletű rendezetlen fázisból az alacsony hőmérsékletű, kvázi rendezett fázisba való átmenetet BKT-átmenetnek nevezzük. Ez egy végtelen sorrendű fázisátalakulás .

Az örvények szerepe

A kétdimenziós XY modellben az örvények topológiailag stabil konfigurációk. Megállapítást nyert, hogy a magas hőmérsékletű rendezetlen fázis exponenciális korrelációval az örvényképződés következménye. Az örvényképződés a BKT átmenet kritikus hőmérsékletén válik termodinamikailag kedvezővé . Ez alatt a hőmérséklet alatt a korreláció hatványtörvény formájában jelentkezik. $T_{c}$

Sok BKT átmenettel rendelkező rendszerben a kapcsolt anti-parallel örvénypárok, úgynevezett örvény-antivortex párok, nem örvényképződés helyett nem csatolt örvényekké bomlanak. [1] [2] Az ilyen rendszerekben az örvények termikus generálása páros számú ellentétes előjelű örvény esetén történik. A kötött örvény-antivortex pároknak kisebb az energiája és az entrópiája, mint a kötetlen örvényeknek. A szabad energia minimalizálása érdekében a rendszer kritikus hőmérsékleten átmeneten megy keresztül . Alul csak párosított örvény-antivortex párok vannak. Szabad örvények láthatók fent . $F=E-TS$ $T_{c}$ $T_{c}$ $T_{c}$

Informális leírás

Van egy elegáns termodinamikai leírás a BKT átmenetről. Egyetlen örvény energiája alakja , ahol egy paraméter attól függően, hogy az örvény melyik rendszerben található, a rendszer mérete és az örvénymag sugara. Feltételezhető, hogy . A rendszerben bármely örvény lehetséges pozícióinak száma megközelítőleg . Boltzmann törvénye szerint az entrópia egyenlő , ahol a Boltzmann -állandó . Így a Helmholtz-szabad energia az $\kappa \ln(R/a)$ $\kappa$ $R$ $a$ $R\gg a$ $(R/a)^{2}$ $S=2k_{B}\ln(R/a)$ $k_B$

F=E-TS=(\kappa -2k_{B}T)\ln(R/a).

A rendszerben nem lesznek örvények. Ha azonban , akkor ez a feltétel elegendő az örvények létezéséhez. Határozzuk meg az átmeneti hőmérsékletet . Kritikus hőmérséklet $F>0$ $F<0$ $F=0$ $T_{c}$

T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{B))}.

E kritikus hőmérséklet felett örvények keletkezhetnek, alatta azonban nem. A BKT átmenet kísérletileg megfigyelhető Josephson átmenetek 2D-s tömbjében, áram és feszültség mérésével. A fenti összefüggés lineáris lesz . Kicsit lejjebb a feszültség és az áram közötti kapcsolat formát ölt , míg a szabad örvények száma növekszik . Ez az ugrás lineárisról köbösre BKT átmenetet jelez, és felhasználható a . Ezt a megközelítést Reznik és munkatársai [3] használták a BKT-átmenet megerősítésére egy csatolt tömbben a Josephson csomópontok közelségi hatása miatt. $T_{c}$ $V\sim I$ $T_{c}$ $V\sim I^{3}$ $én^{2}$ $T_{c}$

Szigorú elemzés

Legyen a síkon adott egy φ mező, amely S 1 -ben vesz fel értékeket . A kényelem kedvéért az univerzális R fedőjével dolgozunk , azonosítva a φ( x ) bármely két értékét, amelyek egy egész számszor 2π-vel különböznek egymástól.

Az energiát az adja

E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x.

A Boltzmann-tényező egyenlő exp(− βE ).

Ha a kontúrintegrált bármely zárt γ kontúrra vesszük, akkor azt várhatjuk, hogy nulla legyen, ha a γ görbe összehúzható, ahogy az egy lapos görbétől várható. De van itt egy sajátosság. Tegyük fel, hogy az XY elméletnek van UV határértéke, ami megköveteli az UV bizonyos korlátozását. Ekkor a síkban vannak defektek, tehát ha γ egy zárt út, amely csak egyszer kerüli meg a szúrást, akkor az érték csak 2π-vel szorzott egész szám lehet. Ezeket a lyukasztásokat örvényeknek nevezzük, és ha γ egy zárt körvonal, amely csak egyszer kerül meg az óramutató járásával ellentétes irányban a szúrás körül, és bármely más szúrás sorrendje ehhez a görbéhez képest nulla, akkor egész számú multiplicitás rendelhető az örvényhez. Tegyük fel, hogy a mezőkonfigurációnak N áttörése van az x i , i = 1, …, n pontokban n i multiplicitásokkal . Ekkor φ felbomlik a φ 0 és lyukasztás nélküli mezőkonfiguráció összegére , ahol a kényelem kedvéért a síkon összetett koordinátákra tértünk át. Az utolsó tagnak vannak elágazásai, de mivel φ csak modulo 2π definíciója, ezek nem fizikaiak. $\oint _{\gamma }d\phi$ $\oint _{\gamma }d\phi$ $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})$

További,

E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}d^{2}x+\int {\frac {1}{ 2}}\nabla \sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})\cdot \nabla \sum _{j=1}^{n}n_{j }\arg(z-z_{j})d^{2}x.

Ha , akkor a második tag pozitív és végtelen, így a kiegyensúlyozatlan számú örvényű konfigurációk soha nem figyelhetők meg. $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\neq 0$

Ha , akkor a második tag egyenlő . $\sum _{i=1}^{n}n_{i}=0$ $\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}-2\pi n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)$

Ez a pontos képlet a Coulomb-gáz energiájára; az L skála nem járul hozzá máshoz, mint egy állandó hozzájáruláshoz.

Tekintsük azt az esetet, amikor csak egy 1-es multiplicitású örvény és egy -1 multiplicitású örvény. Alacsony hőmérsékleten, azaz nagy β-nál az örvény-antivortex pár rendkívül közel kerül egymáshoz. Ezek szétválasztása az UV vágási energia nagyságrendjében lévő energiát igényelne. Nagyobb számú örvény-antivortex párral örvény-antivortex dipólusok halmazát kapjuk. Magas hőmérsékleten, azaz kis β-nál örvényekből és antivorticusokból álló plazmánk van. Az ezen állapotok közötti fázisátmenetet BKT-átmenetnek nevezzük.

Lásd még

Tömeg nélküli bozon
Ising modell
lambda átmenet
Potts modell
kvantumörvény
Szuperfolyékony film
Topológiai hiba

Jegyzetek

↑ Resnick; et al. (1981).
↑ Z. Hadzibabic et al.: "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a trapped atom gas", Nature 441 , 1118 (2006)
↑ DJ Resnick, JC Garland, JT Boyd, S. Shoemaker és RS Newrock. Kosterlitz-Thouless Transition in Proximity-Coupled Superconducting Arrays // Phys. Fordulat. Lett.. - Vol. 47. - doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542 . - .

Irodalom

Berezinsky, V. L. (1970), "A hosszú távú rend megsemmisítése egydimenziós és kétdimenziós rendszerekben folytonos szimmetriacsoporttal I. Klasszikus rendszerek", ZhETF (oroszul) 59 (3): 907-920 . Fordítás elérhető: Berezinskii, VL (1971), "A hosszú távú rend megsemmisítése egydimenziós és kétdimenziós rendszerekben, amelyek folytonos szimmetriacsoportja I. Klasszikus rendszerek" (pdf), Sov. Phys. JETP 32 (3): 493-500, Bibcode : 1971JETP…32..493B
Berezinsky, V. L. (1971), „A nagy hatótávolságú rend megsemmisítése egy- és kétdimenziós rendszerekben folyamatos szimmetriával, II. csoport. Kvantumrendszerek ”, ZhETF (oroszul) 61 (3): 1144-1156 . Fordítás elérhető: Berezinskii, VL (1972), „A hosszú távú rend megsemmisítése egydimenziós és kétdimenziós rendszerekben, amelyek folytonos szimmetriacsoportja II. Kvantumrendszerek" (pdf), Szov. Phys. JETP 34 (3): 610-616, Bibcode : 1972JETP…34..610B
Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), "Rendezés, metastabilitás és fázisátalakulások kétdimenziós rendszerekben", Journal of Physics C: Solid State Physics 6 : 1181–1203, Bibcode : 1973JPhC….6.1181K , doi : 10.019288/10.1928 /6/7/010
McBryan, O.; Spencer, T. (1977), Commun. Math. Phys. 53 :299, Bibcode : 1977CMaPh..53..299M , doi : 10.1007/BF01609854
B. I. Halperin, D. R. Nelson, Phys. Fordulat. Lett. 41, 121 (1978)
A. P. Young, Phys. Fordulat. B 19, 1855 (1979)
Resnick, DJ; Garland, JC; Boyd, JT; cipész, S.; Newrock, RS (1981), "Kosterlitz Thouless Transition in Proximity Coupled Superconducting Arrays", Phys. Fordulat. Lett. 47 :1542, Bibcode : 1981PhRvL..47.1542R , doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542
Frohlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), "A Kosterlitz-Thouless átmenet kétdimenziós Abel-spin rendszerekben és a Coulomb-gázban", Comm. Math. Phys. 81 (4): 527-602, Bibcode : 1981CMaPh..81..527F , doi : 10.1007/bf01208273
Z. Hadzibabic; et al. (2006), "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a trapped atom gas", Nature 41 : 1118, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode : 2006Natur.441.1118H , doi : 10110438 1011048.

Könyvek

JV Jose, 40 éves Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Theory , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5
H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", pp. 1-742, World Scientific (Szingapúr, 1989) ; Puhakötésű ISBN 9971-5-0210-0 (online is elérhető: I. kötet . Olvassa el a 618-688. oldalt);
H. Kleinert , Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics and Gravitation , World Scientific (Szingapúr, 2008) (online is elérhető: itt )

Linkek

Topológiai fázisátmenet – egy cikk a Physical Encyclopedia -ból (5. kötet, 142-143 . o . )
Ryzhov V. N. A Berezinsky-Kosterlitz- Thouless átmenetelmélet létrehozásának évfordulójára szentelt könyvről - a 2016-os fizikai Nobel-díj előfutára . 1, 125–128 (2017)