Ortogonális polinomok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában az ortogonális polinomok sorozata valós polinomok végtelen sorozata

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

ahol minden polinomnak van foka , és ennek a sorozatnak bármely két különböző polinomja merőleges egymásra valamilyen térben adott skaláris szorzat értelmében . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Az ortogonális polinomok fogalmát a 19. század végén vezették be. P. L. Csebisev folyamatos törtekkel foglalkozó munkáiban , amelyeket később A. A. Markov és T. I. Stiltjes fejlesztett ki, és különféle alkalmazásokat talált a matematika és a fizika számos területén .

Definíció

Ortogonalitás súllyal

Legyen egy intervallum a valós tengelyen (véges vagy végtelen). Ezt a rést ortogonalitási intervallumnak nevezzük . Hadd $(a,b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

adott folytonos szigorúan pozitív függvény az intervallumon belül. Az ilyen függvényt súlynak vagy egyszerűen súlynak nevezik . A függvény a függvények teréhez kapcsolódik, amelyre az integrál konvergál $(a,b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty

A kapott mezőbe a képlet alapján megadhatja a skaláris szorzatot

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

valódi funkciókhoz,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

komplex értékű függvényekhez.

Ha két függvény skaláris szorzata nulla , akkor az ilyen függvényeket súllyal merőlegesnek nevezzük . Az ortogonális polinomok közül általában csak a valós függvényeket veszik figyelembe. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Klasszikus megfogalmazás

Polinom rendszer

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

ortogonálisnak nevezzük, ha

$p_n(x)$ fokszámú polinom , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , ahol a Kronecker szimbólum , a normalizációs tényező. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

Egy ortogonális alapot ortonormálisnak nevezünk , ha minden elemének egységnormája van . Az alábbiakban bemutatott klasszikus polinomok egy része más szabály szerint normalizálható. Az ilyen polinomoknál az értékek eltérnek az egységtől, és az alábbi táblázatban vannak felsorolva. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Ortogonális polinomok sorozatainak általános tulajdonságai

Ismétlődő kapcsolatok

Bármely ortogonális polinom megfelel a következő ismétlődő képletnek , amely a rendszer három egymást követő polinomjára vonatkozik:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

ahol

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}ó_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

és együtthatók a tagoknál és a polinomban

{\displaystyle k'_{n))

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Ez a képlet érvényes marad -ra is , ha tesszük . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Bizonyíték

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n -re vannak olyan a , b és c együtthatók, amelyekre az utolsó ismétlődési reláció érvényes.

Úgy választjuk ki , hogy az at együttható a polinomban eltűnjön $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

n- edik fokú polinom .

Úgy választjuk b -t, hogy az at együttható a polinomban eltűnjön $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polinom (n-1) -edik fok.

A polinomot sorozattá bővítjük (ez lehetséges, mivel az ortogonális polinomok rendszere kész)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Az eredményül kapott kifejezést skalárisan megszorozzuk a hatványokkal $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Csökkentse a kifejezést a polinomok ortogonalitásával és a skaláris szorzat permutációs tulajdonságával

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Ha , akkor a polinom foka még mindig kisebb, mint n , és ortogonális -ra . Ezért a . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Így a nullától eltérő együttható csak erre vonatkozik , és beállításával megkapjuk a kívánt összefüggést

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Darboux formula

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

vagy mikor $y\–x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\jobbra]$

Polinomok gyökerei

A polinom minden gyöke egyszerű, valós, és mindegyik az ortogonalitási intervallumon belül van . $p_n(x)$ $\left[a;b\right]$

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy az ortogonalitási intervallumon belül csak pontokban változtat előjelet. Ekkor van egy olyan fokú polinom , hogy . Másrészt egy polinom ábrázolható polinomok lineáris kombinációjaként , ami azt jelenti, hogy ortogonális , azaz . Az ebből eredő ellentmondás bizonyítja állításunkat. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

A polinom két egymást követő gyöke között pontosan egy gyöke van a polinomnak és legalább egy gyöke a polinomnak , mert . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

A norma minimálissága

Egy ortogonális sorozatban minden polinomnak megvan a minimális normája az azonos fokú és azonos első együtthatójú polinomok között. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Bizonyíték

Adott n , bármely n fokú , azonos első együtthatóval rendelkező p(x) polinom ábrázolható

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Az ortogonalitást használva a p(x) négyzetnorma teljesül

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Mivel a normák pozitívak, mindkét oldal négyzetgyökét kell vennie, és megkapja az eredményt.

A rendszer teljessége

Az ortogonális polinomok rendszere kész. Ez azt jelenti, hogy bármely n fokú polinom ábrázolható sorozatként $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

hol vannak a tágulási együtthatók. $\alpha$

Bizonyíték

Matematikai indukcióval bizonyított. Úgy választjuk , hogy egy fokú polinom kisebb, mint . Tovább az indukcióra. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Ortogonális polinomokhoz vezető differenciálegyenletek

Az ortogonális polinomok nagyon fontos osztálya a következő formájú differenciálegyenlet megoldása során merül fel :

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

ahol és adnak másodrendű, illetve elsőrendű polinomokat, és ismeretlen függvények és együtthatók. Ezt az egyenletet Sturm-Liouville-problémának nevezik , és átírható a szokásosabb formában $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

ahol ennek az egyenletnek a megoldása sajátértékek halmazához és sajátfüggvények halmazához vezet a következő tulajdonságokkal: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \pontok$ $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$

$P_n(x)$ n fokú polinom attól függően ${\lambda}_n$

a sorozat ortogonális a súlyfüggvénnyel $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ $W(x)$

Az ortogonalitási intervallum a Q polinom gyökétől függ, az L gyök pedig az ortogonalitási intervallumon belül van

A számok és polinomok képletekből nyerhetők $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \jobb)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ balra(W(x)[Q(x)]^{n}\jobbra)

Rodrigues formula .

Egy differenciálegyenletnek csak akkor vannak nem triviális megoldásai, ha az alábbi feltételek valamelyike teljesül. Mindezekben az esetekben a lépték megváltoztatásakor és/vagy a definíciós tartomány eltolásakor és a normalizálási módszer kiválasztásakor a megoldási polinomok korlátozott számú osztályra redukálódnak, amelyeket klasszikus ortogonális polinomoknak nevezünk.

1. Jacobi-szerű polinomok Q másodrendű polinom, L elsőrendű polinom . A Q gyökerei különállóak és valódiak, L gyöke szigorúan a Q gyökerei között található . Az első Q és L együttható előjele azonos. Lineáris transzformációt használva az egyenlet ortogonalitási intervallumra redukálódik . A megoldások Jacobi polinomok vagy speciális eseteik , mindkét típusú Gegenbauer , Legendre vagy Csebisev polinom , .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)}(x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Laguerre-szerű polinomok Q és L elsőrendű polinomok. Q és L gyökerei eltérőek. Az első Q és L együttható előjele megegyezik, ha L gyöke kisebb, mint Q gyöke, és fordítva. Csökkenti a és az ortogonalitás intervallumát . A megoldások általánosított Laguerre-polinomok vagy konkrét esetük, Laguerre-polinomok .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)}(x)

L_n(x)

3. Hermitiánus polinomok Q egy nem nulla állandó, L egy elsőrendű polinom. Az első Q és L együtthatók ellentétes előjelűek. Csökkenti a és az ortogonalitás intervallumát . A megoldások Hermite polinomok .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Ortogonális polinomok származékai

Jelölje a polinom m - edik deriváltjaként . A derivált fokszámú polinom , és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $P_n^{m}(x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $nm$

ortogonalitás

Adott m esetén a polinomok sorozata ortogonális a súlyfüggvénnyel

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \pontok

W(x)[Q(x)]^m

Rodrigue képlete

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\jobbra)

differenciálegyenlet

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, ahol

y(x)=P_n^{m}(x)

második típusú differenciálegyenlet

(R(x)[Q(x)]^m\y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, ahol

y(x)=P_n^{m}(x)

ismétlődési relációk (a kényelem kedvéért az a , b és c együtthatók elhagyják az n és m indexeket )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Klasszikus ortogonális polinomok

A klasszikus ortogonális polinomok, amelyek a fent leírt differenciálegyenletből származnak, számos fontos alkalmazással rendelkeznek olyan területeken, mint a matematikai fizika, a numerikus módszerek és sok más. Definícióikat és főbb tulajdonságaikat az alábbiakban közöljük.

Jacobi polinomok

A Jacobi-polinomokat jelöljük , ahol a paraméterek és a valós számok nagyobbak, mint -1. Ha és nem egyenlők, a polinomok már nem szimmetrikusak a ponthoz képest . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $x=0$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\béta$ $[-1,1]$

Differenciál egyenletek

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Sajátértékek

\lambda_n = n(n+1+\alpha+\béta)

Ismétlődő képlet

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( x),

ahol

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\béta )}}

Normalizálás

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Gegenbauer polinomok

A Gegenbauer-polinomokat jelöli , ahol a paraméter egy -1/2- nél nagyobb valós szám. Jacobi polinomokból származik egyenlő paraméterekre és $C_n^{(\alpha)}(x)$ $\alpha$ $\alpha$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2) \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

A fennmaradó Jacobi-szerű polinomok a Gegenbauer-polinomok speciális esetei egy kiválasztott paraméterrel és a megfelelő normalizálással. $\alpha$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Differenciál egyenletek

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Sajátértékek

\lambda_n = n(n+2\alpha)

Ismétlődő képlet

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizálás

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Egyéb tulajdonságok

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendre polinomok

A Legendre polinomokat jelöljük , és a paraméteres Gegenbauer-polinomok speciális esetei $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=1$ $[-1,1]$

Differenciál egyenletek

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Sajátértékek

\lambda_n = n(n+1)

Ismétlődő képlet

{\megjelenítési stílus (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)}

Normalizálás

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Az első néhány polinom

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1)/2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Csebisev polinomok

A Csebisev-polinomot gyakran használják függvények közelítésére fokszámú polinomként , amely az intervallumon belül a legkevésbé tér el nullától. $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

A paraméter normalizált Gegenbauer-polinomjának speciális esete $\alpha \-0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Differenciálegyenlet

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Sajátértékek

\lambda_n = n^2

Ismétlődő képlet

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalizálás

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{mátrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{mátrix}\jobbra. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

A második típusú Csebisev-polinomot polinomként jellemezzük, amelynek abszolút értékének integrálja a legkevésbé tér el nullától az intervallumon. $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Differenciálegyenlet

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalizálás

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Laguerre polinomok

A társított vagy általánosított Laguerre-polinomokat akkor jelöljük, ha a paraméter -1-nél nagyobb valós szám. Az általánosított polinomokat közönséges Laguerre-polinomokra redukáljuk $L_n^{(\alpha)}(x)$ $\alpha$ $\alpha = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Differenciál egyenletek

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Sajátértékek

\lambda_n = n

Ismétlődő képlet

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalizálás

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Egyéb tulajdonságok

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Hermite polinomok

Súlyfüggvény az ortogonalitási intervallumon $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Differenciál egyenletek

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Sajátértékek

\lambda_n = 2n

Ismétlődő képlet

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalizálás

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

Az első néhány polinom

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Ortogonális polinomok szerkesztése

Gram-Schmidt ortogonalizációs folyamat

Egy ortogonális polinomrendszert a Gram-Schmidt folyamat polinomrendszerre történő alkalmazásával állíthatunk össze az alábbiak szerint. Határozzuk meg a projektort úgy $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

akkor az ortogonális polinomokat a séma szerint egymás után számítjuk ki

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{igazítás}

Ez az algoritmus a numerikusan instabil algoritmusok közé tartozik. A bővítési együtthatók számításakor a kerekítési hibák és a numerikus integrációs hibák a polinomszám növekedésével halmozódnak fel.

A súlyfüggvény pillanatai szerint

Az intervallumon definiált súlyfüggvény egyedileg határozza meg az ortogonális polinomok rendszerét egy állandó tényezőig. Számokkal jelöljük $w(x)$ $\left[a;b\right]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

a súlyfüggvény momentumait, akkor a polinom a következőképpen ábrázolható: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{mátrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{mátrix} \jobbra]

Az ortogonális polinomok kiszámításának bonyolultságát a mátrixdetermináns számításának bonyolultsága határozza meg . A számítás meglévő algoritmikus megvalósításai minimális műveletet igényelnek. $O(n^{3})$

Bizonyíték

Bizonyítsuk be, hogy az így definiált polinom ortogonális minden n -nél kisebb fokú polinomra . Tekintsük a skaláris szorzatot . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{mátrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{mátrix} \jobbra] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {mátrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{mátrix} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{mátrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{mátrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{mátrix } \jobbra] \\ \\ & {} = 0. \end{igazítás}

Mivel a mátrixnak két egyező sora van . $k<n$

Ismétlődő képletekkel

Ha a polinom normalizálását úgy választjuk meg, hogy a főtag együtthatója eggyel egyenlő, akkor az ismétlődési relációt a következő formában írhatjuk át: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

ahol

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Ortogonális polinomok alkalmazásai

Az ortogonális polinomokat pontos kvadratúra képletek készítésére használják

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

ahol és a kvadratúra képlet csomópontjai és súlyai. A kvadratúra képlet minden polinomra pontos a fokig bezárólag. Ebben az esetben a csomópontok az n- edik polinom gyökerei a súlyfüggvénnyel merőleges polinomok sorozatából . A súlyokat a Christoffel-Darboux képlet alapján számítják ki. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x), p_1(x), ...$ $w(x)$ $w_{i}$

Ezenkívül az első és második típusú Chebisev-polinomokat gyakran használják a függvények közelítésére. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Jegyzetek

Linkek

Szego Gábor. Ortogonális polinomok (határozatlan) . - Kollokviumi kiadványok - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Fourier-sorozat és ortogonális polinomok . - New York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Speciális függvények és ortogonális polinomok . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Theodore Seio Chihara. Bevezetés az ortogonális polinomokba . - Gordon and Breach, New York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

További olvasnivalók

Ismail, Mourad EH Klasszikus és kvantum ortogonális polinomok egy változóban . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Totik Vilmos Ortogonális polinomok (határozatlan) // Felmérések a közelítéselméletben. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Bessel-függvények, parabolikus hengerfüggvények, ortogonális polinomok // Magasabb transzcendentális függvények. T. 2. / Per. angolról. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 p.

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok