Optimális vezérlés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Optimális vezérlés

Az optimális vezérlés egy olyan rendszer tervezésének feladata, amely egy adott vezérlési objektumot biztosít, vagy folyamat egy vezérlési törvényt vagy egy olyan vezérlési műveletsort, amely egy adott rendszerminőségi kritériumrendszer maximumát vagy minimumát biztosítja [1] .

Definíció

Az optimális szabályozási probléma magában foglalja az optimális szabályozási program kiszámítását és az optimális szabályozási rendszer szintézisét. Az optimális vezérlőprogramokat általában numerikus módszerekkel számítják ki egy függvény szélsőértékének megtalálásához vagy egy differenciálegyenlet-rendszer határérték-probléma megoldásához [2] . Matematikai szempontból az optimális vezérlőrendszerek szintézise nemlineáris programozási probléma a funkcionális terekben [3] .

Az optimális vezérlőprogram meghatározásának problémájának megoldására egy vezérelt objektum vagy folyamat matematikai modelljét készítik , amely leírja annak időbeli viselkedését a vezérlési műveletek hatására és saját aktuális állapotát [4] .

Ha a vezérelt objektum vagy folyamat matematikai modellje nem ismert előre, akkor annak meghatározásához el kell végezni a vezérelt objektum vagy folyamat azonosítására szolgáló eljárást [5]

Az optimális szabályozási probléma matematikai modellje a következőket tartalmazza: az ellenőrzési cél megfogalmazása, az ellenőrzés minőségi kritériumán keresztül; differenciál- vagy differenciálegyenletek meghatározása [6] , amelyek leírják a vezérlőobjektum lehetséges mozgási módjait ; a felhasznált erőforrásokra vonatkozó korlátozások meghatározása egyenletek vagy egyenlőtlenségek formájában [7] .

Minden optimális vezérlési feladat matematikai programozási feladatnak tekinthető, és ebben a formában numerikus módszerekkel megoldható. [8] [9]

A hierarchikus többszintű rendszerek optimális kezelésével például nagy vegyipart, kohászati és energetikai komplexumokat, többcélú és többszintű, optimális vezérlésű hierarchikus rendszereket használnak. A matematikai modell az irányítás minőségére vonatkozó kritériumokat vezet be minden egyes vezetési szintre és a teljes rendszer egészére, valamint a vezetési szintek közötti cselekvések összehangolására [10] [11] .

Ha egy vezérelt objektum vagy folyamat determinisztikus, akkor differenciálegyenleteket használnak a leírására. A leggyakrabban használt közönséges differenciálegyenletek a következő alakúak . A bonyolultabb matematikai modellekben (elosztott paraméterekkel rendelkező rendszerek esetében) parciális differenciálegyenleteket használnak az objektumok leírására . Ha a vezérelt objektum sztochasztikus, akkor sztochasztikus differenciálegyenleteket használunk a leírására . ${\pont {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$

A differenciáljátékok elméletét az optimális irányítási problémák megoldására használják konfliktus vagy bizonytalanság körülményei között . [12]

Ha az adott optimális szabályozási probléma megoldása nem függ folyamatosan a kiindulási adatoktól ( rosszul ábrázolt probléma ), akkor egy ilyen feladatot speciális numerikus módszerekkel oldanak meg. [13]

Az optimális szabályozási problémák megoldására hiányos kezdeti információk és mérési hibák esetén a maximum likelihood módszert alkalmazzuk [14] .

Egy optimális irányítási rendszert, amely képes a tapasztalatok felhalmozására és ez alapján javítani a munkáját, tanulási optimális vezérlőrendszernek nevezzük [15] .

Egy objektum vagy rendszer tényleges viselkedése mindig eltér a programtól a kezdeti feltételek pontatlansága, az objektumra ható külső zavarok hiányos információi, a programvezérlés végrehajtásának pontatlansága stb. miatt. Ezért az objektum eltérésének minimalizálása érdekében. viselkedését az optimálistól, általában automatikus vezérlőrendszert alkalmaznak . [16]

Néha (például összetett objektumok, például kohászati nagyolvasztó kezelésekor vagy gazdasági információk elemzésekor) az optimális szabályozási probléma beállításakor a kiindulási adatok és ismeretek a vezérelt objektumról olyan bizonytalan vagy homályos információkat tartalmaznak, amelyeket hagyományosan nem lehet feldolgozni. kvantitatív módszerek. Ilyen esetekben a fuzzy halmazok matematikai elméletén ( fuzzy control ) alapuló optimális vezérlési algoritmusok használhatók. A felhasznált fogalmakat és ismereteket fuzzy formává alakítjuk, meghatározzuk a döntésekre következtető fuzzy szabályokat, majd végrehajtjuk a fuzzy döntések inverz transzformációját fizikai vezérlőváltozókká. [17] [11]

A gazdasági folyamatok optimális irányításához a gazdasági kibernetika , a játékelmélet , a gráfelmélet módszereit alkalmazzák [18]

Determinisztikus rendszerek optimális vezérlése

Összevont rendszerek

A közönséges differenciálegyenletekkel leírt, csomózott paraméterekkel rendelkező determinisztikus objektumok vezérlőrendszereinek tervezésénél legszélesebb körben a következő módszereket alkalmazzák: variációszámítás , Pontrjagin maximumelve és Bellman dinamikus programozása [1] .

Optimális szabályozási probléma

Megfogalmazzuk az optimális szabályozási problémát:

Állapotegyenletek: (1). ${\pont {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$
Peremfeltételek , (2). $x(t_{0})=x_{{0}}^{{*}}$ $x(t_{1})=x_{{1}}^{{*}}$
Minimalizált funkcionális: . $\eta =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}F[x(\tau ),{\pont {x}}(\tau ),\tau ]d\tau,$

itt — állapotvektor — vezérlés, — kezdeti és végső időpillanat. $x(t)$ $u(t)$ $t_{{0}}, t_{{1}}$

Az optimális szabályozási probléma az, hogy meg kell találni az állapotot és az időhöz tartozó vezérlési függvényeket , amelyek minimalizálják a funkciót. $x(t)$ $u(t)$ $({t_{0}}\leq {t}\leq {t_{1}})$

Változatszámítás

Tekintsük ezt az optimális szabályozási problémát a variációszámítás Lagrange-problémájának [19] . Az extrémum szükséges feltételeinek megtalálásához az Euler-Lagrange tételt [19] alkalmazzuk . A Lagrange függvény alakja: , hol vannak a peremfeltételek. A Lagrange -féle alakja: , ahol , , a Lagrange-szorzók n-dimenziós vektorai . $\lambda$ $\Lambda =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}(F[x(t),{\pont {x}}(t),t]+\lambda _{1 }^{T}(t)({\pont {x}}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l$ $l=\lambda _{2}^{T}(x(t_{0})-x_{{0}}^{{*}})+\lambda _{3}^{T}(x(t_{ 1})-x_{{1}}^{{*}})$ $L$ $L[x(t),{\pont {x}}(t),u(t),\lambda (t),t]=F[x(t),{\pont {x}}(t), t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\pont {x}}(t)-a[x(t),u(t),t])$ $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ $\lambda _{3}$

E tétel szerint a szélsőséghez szükséges feltételek a következők:

stacionaritás u-ban: , (3) ${\hat {L}}_{{u}}=0$
stacionaritás x-ben, Euler-egyenlet: (4) ${\hat {L}}_{x}-{\frac {d}{dt}}{\hat {L}}_{\pont {x}}=0$
keresztirányúság x-ben: , (5) ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pont {x}}(t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0}})))$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pont {x}}(t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1}}})))$

A szükséges feltételek (3-5) képezik az alapot az optimális pályák meghatározásához. Ezeket az egyenleteket felírva egy kétpontos peremfeladatot kapunk, ahol a peremfeltételek egy része a kezdeti időpillanatban, a többi pedig a végső pillanatban van beállítva. Az ilyen problémák megoldásának módszereit a könyv részletesen tárgyalja [20]

Pontrjagin maximális elve

A Pontrjagin-maximum elvi igénye akkor merül fel, ha a vezérlőváltozó megengedett tartományában sehol sem lehet teljesíteni a szükséges feltételt (3), nevezetesen . ${\hat {L}}_{{u}}=0$

Ebben az esetben a (3) feltétel helyébe a (6) feltétel lép:

{\begin{aligned}\min _{{u\in U}}L(t,x(t),{\pont {x}}(t),u)&=L(t,{\hat {x }}(t),{\pont {x}}(t),{\hat {u}})\Longleftrightarrow \\&\Longleftrightarrow \min _{{u\in U}}\left(F(t, x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda (t)a(t).\end{igazított}}

(6)

Ebben az esetben a Pontryagin maximum elv szerint az optimális szabályozás értéke megegyezik a megengedett tartomány egyik végén lévő vezérlés értékével. A Pontryagin-egyenletek a Hamilton-függvénnyel vannak felírva , amelyet a reláció határoz meg . Az egyenletekből az következik, hogy a Hamilton-függvény a következőképpen kapcsolódik a Lagrange -függvényhez : . Az utolsó egyenletet a (3-5) egyenletekre behelyettesítve megkapjuk a szükséges feltételeket a Hamilton-függvényben kifejezve : $H$ $H=F(t,x(t),u)-\lambda(t)a(t,x(t),u)$ $H$ $L$ $L=H+\lambda (t){\pont {x}}(t)$ $L$

u vezérlőegyenlet: , (7) ${\hat {H}}_{{u}}=0$
állapotegyenlet: , (8) ${\pont {x}}=-{\hat {H}}_{{\lambda }}$
adjunkt egyenlet: , (9) ${\dot {\lambda }}=-{\hat {H}}_{x}$
keresztirányúság x-ben: , (10) $\lambda (t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0}})}$ ${\displaystyle \lambda (t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1}}))))$

Az ilyen formában felírt szükséges feltételeket Pontrjagin-egyenleteknek nevezzük. A Pontryagin maximum elvét részletesebben elemzi a könyv [19] .

Példa

Legyen szükséges a funkcionális minimalizálás problémájának megoldása:

\int _{0}^{1}(u^{2}-4x)dt

, ahol , , .

{\frac {dx}{dt}}=u

0\leqslant u\leqslant 1

x(0)=0

A Hamilton-függvény ebben az esetben a következő formában van:

H=\lambda uu^{2}+4x

A 9) és 10) feltételből azt találjuk, hogy:

\lambda =4-4t

, .

t\in [0,1]

Kapunk:

H=(4-4t)uu^{2}+4x

Ennek a függvénynek a maximumát , , vonatkozásában a , ahol elérjük $u$ $0<u<1$ $u=u^{*}(t)$

u^{*}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2t, &{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Feltétel szerint ,. Eszközök: ${\frac {dx^{*}(t)}{dt))=u^{*}(t)$

x^{*}(t)={\begin{cases}t+c_{1},&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\ \2t-t^{2}-c_{2},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

-tól kapunk . A pontban lévő folytonossági feltételből megtaláljuk az állandót . $x^{*}(0)=0$ $c_{1}=0$ $x^{*}(t)$ $t={\frac {1}{2}}$ $c_{2}=-{\frac {1}{4))$

Ilyen módon:

x^{*}(t)={\begin{cases}t,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^ {2}-{\frac {1}{4)),&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Igazolható, hogy megtaláltuk és alkotják ennek a problémának az optimális megoldását [21] $x^{*}(t)$ $u^{*}(t)$

Adott esetben

A maximum elv különösen fontos a maximális fordulatszámú és minimális energiafogyasztású vezérlőrendszerekben, ahol relé típusú vezérléseket használnak, amelyek a megengedett szabályozási intervallumban szélsőséges, nem pedig közbenső értékeket vesznek fel.

Történelem

Az optimális irányítás elméletének kidolgozásáért L. S. Pontrjagin és munkatársai , V. G. Boltyanszkij , R. V. Gamkrelidze és E. F. Miscsenko Lenin-díjat kapott 1962-ben .

Dinamikus programozási módszer

A dinamikus programozási módszer a Bellman optimalitás elvén alapul, amely a következőképpen fogalmazódik meg: az optimális szabályozási stratégia azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy bármilyen legyen is a kezdeti állapot és a vezérlés a folyamat elején, a későbbi szabályozásoknak kell alkotniuk az optimális szabályozási stratégiát a a folyamat kezdeti szakasza után kapott állapot [22] . A dinamikus programozási módszert részletesebben a [23] könyv ismerteti.

Elegendő optimalitási feltételek

V. F. Krotov 1962-ben megfelelő feltételeket teremtett a szabályozott folyamatok optimalitásához, ezek alapján szukcessziós javítás iteratív számítási módszereit konstruálta meg, lehetővé téve a globális optimum megtalálását a szabályozási problémákban [24] [25] [26] .

Rendszerek optimális vezérlése elosztott paraméterekkel

Olyan objektumok optimális szabályozási feladatainál, mint a folyamatos fűtésű kemence, hőcserélő , bevonatoló berendezés, szárítóegység, vegyi reaktor , keverékleválasztó üzem, nagyolvasztó vagy nyitott kandallóval ellátott kemence , kokszolókemence akkumulátor, hengerlő malom , indukciós hevítő kemence stb. A szabályozott folyamatot parciális differenciálegyenletek, integrálegyenletek és integro-differenciálegyenletek írják le.

Az optimális szabályozás elmélete ebben az esetben csak bizonyos típusú egyenletekre került kidolgozásra: elliptikus, parabolikus és hiperbolikus típusokra.

Néhány egyszerű esetben beszerezhető a Pontryagin maximum elvének analógja. [27] [28]

Ha az egyenletrendszerek megoldásaiban vannak instabilitások, szakadási pontok, bifurkációs pontok, többszörös megoldások, akkor ezek megszerzésére számos speciális módszert alkalmaznak [29] .

Optimális szabályozási probléma

Felügyelt folyamat hatálya alá tartozik $0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b$
A szabályozott folyamatot leíró egyenletek: , ahol — a szabályozott folyamatot leíró dimenzióvektor, — a vektor deriváltjainak dimenzióvektora a koordinátához viszonyítva , — a vektor deriváltjainak dimenzióvektora a koordinátához képest koordináta , — a méretvezérlő vektor. ${\frac {\partial ^{{2}}Q_{{i}}}{\partial x\partial y}}=f_{i}(x,y,Q,{\frac {\partial Q}{\ részleges x)),{\frac {\partial Q}{\partial y)),u);(1)$ $K$ $n$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $n$ $K$ $x$ ${\frac {\partial Q}{\partial y))$ $n$ $K$ $y$ $u$ $r$
A szabályozott folyamat határfeltételei: $Q_{{i}}(0,y)=\phi _{{i}}(y);Q_{{i}}(x,0)=\psi _{{i}}(x);i= 1,...,n;(2)$
Az optimális szabályozás feladata olyan vezérlés megtalálása, amelyre az egyenletek által megengedett megoldás a funkcionális maximumához vezet . $u(x,y)$ $(1), (2)$ $Q(x,y)$ $J=\sum _{{i=1}}^{{n}}c_{{i}}Q_{{i}}(a,b)$

Az elosztott paraméterekkel rendelkező rendszerek maximális elve

Az elosztott paraméterű rendszerek maximális elvének megfogalmazásához bevezetjük a Hamilton-függvényt: , ahol a segédfüggvényeknek teljesíteniük kell a , for , egyenleteket és peremfeltételeket . $H(N,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)=\sum _{{i=1}}^{{n}}N_{{ i}}f_{{i}}(x,y,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)$ $N_{{1}}(x,y),...,N_{{n}}(x,y)$ ${\frac {dN_{i}}{dxdy}}={\frac {dH}{dQ_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {dH}{dQ_{ ix}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {dH}{dQ_{iy}}}(2)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dx}}=-{\frac {dH}{dQ_{{iy}}}}$ $y=b(3)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dy}}=-{\frac {dH}{dQ_{{ix}}}}$ $x=a(4)$ $N_{{i}}(a,b)=-c_{{i}}(5)$

Ha az optimális vezérlés és az optimális vezérlés mellett kapott függvények kielégítik-e az egyenleteket , akkor az argumentum függvényének tekintett függvény eléri a maximumot a tartományban , azaz szinte minden pontra az egyenlőség $u^{{0}}(x,y)$ $Q^{{0}}(x,y),N^{{0}}(x,y)$ $(1), (2), (3), (4), (5)$ $H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}}, {\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)$ $u$ $\omega$ $u=u^{{0}}(x,y)$ $(x,y)\D-ben$ $\max _{{u\in \omega }}H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0} }(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)=H(N^{{0}}(x,y) ),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x ,y)}{dy}},u)$

Ha a rendszer az alak lineáris rendszere , akkor a tétel $(egy)$ ${\frac {d^{{2}}Q_{{i}}}{dxdy}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}{\Bigl [}m_{{ik}} (x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dx}}+p_{{ik}}(x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dy}}+q_{ {ik}}(x,y)Q_{{k}}{\Bigr ]}+f_{{i}}(u)$

A lineáris esetben az optimális szabályozáshoz szükséges és elégséges, hogy a maximális elv teljesüljön. $u(x,y)$

Lásd e két tétel bizonyítását a [28] könyvben .

Lineáris sztochasztikus rendszerek optimális vezérlése

Ebben az esetben a vezérelt objektumot vagy folyamatot lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek írják le . Ebben az esetben az optimális szabályozási probléma megoldása a Riccati-egyenlet [30] alapján történik .

Optimális szabályozási probléma

A rendszert lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek írják le , ahol egy -dimenziós állapotvektor, egy -dimenziós vezérlővektor, a megfigyelt változók -dimenziós vektora, független Wiener- folyamatok nulla átlagértékkel és adott növekményes kovarianciákkal mátrixok. $dx=Axdt+Budt+dv,dy=Cxdt+de$ $x$ $n$ $u$ $p$ $y$ $v$ $v(t),e(t)$ $ABC$
Meg kell találni az optimális szabályozást, amely minimalizálja a veszteségfüggvény matematikai elvárását . $x^{T}(t_{1})Q_{0}x(t_{1})+\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}[x^{T}( t)Q_{1}x(t)+u^{T}Q_{2}u(t)]dt]$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Samoylenko V.I., Puzyrev V.A., Grubrin I.V. "Technikai kibernetika", tankönyv. juttatás, M., MAI kiadó , 1994, 280 p. ill., ISBN 5-7035-0489-9 , ch. 4 "Optimális vezérlőrendszerek dinamikus objektumokhoz és folyamatokhoz", 4. o. 63-113.
↑ Moiseev, 1975 , p. 114.
↑ Moiseev, 1975 , p. 316.
↑ Rastrigin L. A. Ez a véletlenszerű, véletlenszerű, véletlenszerű világ. - M., Fiatal Gárda, 1969. - S. 47 - 50
↑ Rastrigin L. A. , Madzharov N. E. Bevezetés a vezérlőobjektumok azonosításába. - M . : Energia, 1977. - 216 p.
↑ Moiseev, 1975 , p. 79-89.
↑ Korshunov Yu. M. "A kibernetika matematikai alapjai", tankönyv. egyetemi pótlék, 2. kiadás, átdolgozva. és add., M., "Energia", 1980, 424 pp., ill., BBK 32.81 6F0.1, ch. 5 „Az optimális szabályozási problémák felépítése és matematikai leírása”, p. 202;
↑ Tobacco, 1975 , p. tizennyolc.
↑ Moiseev, 1975 , p. 304-368.
↑ Mesarovich M., Mako D., Tkahara I. Hierarchikus többszintű rendszerek elmélete - M., Mir, 1973. - p. 344
↑ 1 2 Moiseev, 1975 , p. 465-520.
↑ Krasovsky N. N., Subbotin A. I. Pozíciós differenciáljátékok. - M., Nauka, 1974. - p. 24
↑ Vasziljev F. P. Módszerek szélsőséges problémák megoldására. — M.: Nauka, 1981. — S. 159.
↑ Moiseev, 1975 , p. 351-368.
↑ Tsypkin Ya. Z. A tanulási rendszerek elméletének alapjai. - M .: Nauka, 1970. - S. 252.
↑ Alexandrov A. G. Optimális és adaptív rendszerek. - M .: Felsőiskola, 1989. - 263 p. ISBN 5-06-000037-0
↑ A robusztus, neuro-fuzzy és adaptív vezérlés módszerei: Tankönyv / Szerk. N. D. Egupova, szerk. 2nd, ster., M., Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, 2002, 744 pp., ISBN 5-7038-2030-8 , circ. 2000 példány, 2. rész "Fuzzy control"
↑ Teplov L. Mit számoljunk: Népszerű esszék a gazdasági kibernetikáról. - M., Moszkovszkij munkás, 1970. - 317 p.
↑ 1 2 3 E. M. Galeev, V. M. Tikhomirov „Optimalizálás: elmélet, példák, feladatok”, M., Szerkesztői URSS, 2000, 320 pp., ISBN 5-8360-0041-7 , ch. 3 „Változatok számítása”, 6. oldal „A Lagrange-probléma”, 3. o. 173-181;
↑ "Numerikus módszerek az optimális rendszerek elméletében", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 oldal illusztrációkkal, ch. 2 "Numerikus módszerek az optimális programok kiszámításához a szélsőséghez szükséges feltételekkel", 80-155. o.;
↑ Barbaumov V. E., Ermakov V. I., Kriventsova N. N. Matematika kézikönyve közgazdászok számára. - M., Felsőiskola, 1987. - p. 243
↑ Bellmann R. "Dinamikus programozás", IL, M., 1960;
↑ "Numerikus módszerek az optimális rendszerek elméletében", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 oldal illusztrációkkal, ch. 3 „Az optimális szabályozáselmélet közvetlen módszerei”, 156-265. o.;
↑ Voronov A. A. Az automatikus vezérlés elmélete. T. 1. - M .: Felsőiskola, 1986, 294-304.
↑ Vasziljev F. P. Numerikus módszerek extrém problémák megoldására. - M .: Nauka, 1988, 522-530.
↑ Krotov V. F. Variációs problémák megoldásának módszerei az abszolút minimumhoz elegendő feltételeken. I—IV // Automatizálás és telemechanika, 1962, 23. évf., 12. sz., 1571-1583. 1963, 24. kötet, 5. szám, 581-598. 1963, 24. kötet, 7. szám, 826-843. 1965, 26. kötet, 1. szám, 24-41.
↑ J.-L. Oroszlánok Parciális differenciálegyenletekkel leírt rendszerek optimális vezérlése, Moszkva, Mir, 1972, 412 pp.
↑ 1 2 Butkovsky A. G. Elosztott paraméterű rendszerek optimális szabályozásának elmélete, M., Nauka, 1965
↑ J.-L. Lions Control of Singuláris elosztott rendszerek, Moszkva, Mir, 1987, 367 p.
↑ K. Yu. Ostrem Bevezetés a sztochasztikus szabályozáselméletbe, M., Mir, 1973

Irodalom

Rastrigin L. A. Az összetett objektumok kezelésének modern elvei. — M.: Szov. rádió, 1980. - 232 p., BBC 32.815, lövöldözős galéria. 12000 példányban
Alekseev V. M., Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. Optimális szabályozás. - M .: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 p., lőcsarnok. 24000 példányban
Volgin LN A dinamikus rendszerek optimális diszkrét vezérlése. - M. : Nauka, 1986. - 240 p.
Tabak D., Kuo B. Optimális vezérlés és matematikai programozás. — M .: Nauka, 1975. — 279 p.
Moiseev NN Az optimális rendszerek elméletének elemei. — M .: Nauka, 1975. — 526 p.
Galeev E. M. , Tikhomirov V. M. Az extrém problémák elméletének rövid kurzusa. - M. : MGU, 1989. - 204 p. - ISBN 5-211-00313-6 .
Krotov VF, Gurman VI Az optimális szabályozás módszerei és problémái. - M .: Nauka, 1973.
Pontryagin L. S., Boltyansky V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Az optimális folyamatok matematikai elmélete. - M .: Nauka, 1976.
Boltyansky VG Különálló rendszerek optimális vezérlése. - M .: Nauka, 1973.
Butkovskiy AG Elosztott paraméterű rendszerek optimális szabályozásának elmélete. - M .: Nauka, 1965.
Butkovsky A.G. Vezérlési módszerek elosztott paraméterekkel rendelkező rendszerek számára. - M .: Nauka, 1975.
Budak BM, Vasiliev FP Hozzávetőleges módszerek az optimális szabályozási problémák megoldására. - M .: MGU, 1969.
Oleinikov V. A., Zotov N. S., Prishvin A. M. Az optimális és szélsőséges kontroll alapjai. - M . : Felsőiskola, 1969. - 296 p.
Degtyarev GL, Sirazetdinov TK Rugalmas űrjárművek optimális irányításának elméleti alapjai. - M . : Mashinostroenie, 1986. - 216 p.
Lerner A. Ya. , Rozenman E. A. Optimális kontroll. - M . : Energia, 1970. - 360 p.
Gurman V. I. , Tikhomirov V. N., Kirillova F. M. Optimális szabályozás. - M . : Tudás, 1978. - 144 p.
Boltyansky VG Az optimális szabályozás matematikai módszerei. — M .: Nauka, 1969. — 408 p.
Young L. Előadások a variációszámításról és az optimális szabályozás elméletéről. — M .: Mir, 1974. — 488 p.
Makarov I. M. , Lokhin V. M. Manko S. V. Mesterséges intelligencia és intelligens vezérlőrendszerek. — M .: Nauka , 2006. — 333 p. - 1000 példányban. — ISBN 5-02-033782-X .
Doncsev A. Az optimális szabályozás rendszerei. Perturbációk, közelítések és érzékenységelemzés. — M .: Mir, 1987. — 156 p. - 6700 példány.
V. A. Ivanov, A. S. Juscsenko. A diszkrét automatikus vezérlőrendszerek elmélete . - M .: N. E. Baumanról elnevezett Moszkvai Állami Műszaki Egyetem , 2015. - 352 p. — ISBN 978-5-7038-4178-5 .
Kuzin L. T. A kibernetika alapjai. - M . : Energia, 1973. - 504 p. — 30.000 példány.
Fursikov A. V. Az elosztott rendszerek optimális vezérlése. Elmélet és alkalmazások. - Novoszibirszk: Nauchnaya kniga, 1999. - 352 p. - 1000 példányban. - ISBN 5-88119-017-3 .
Lions JL Egyedi elosztott rendszerek kezelése. - Moszkva: Nauka, 1987. - 368 p. - 3600 példány.
Khazen EM Optimális statisztikai megoldások és optimális szabályozási problémák módszerei. - Moszkva: Szovjet Rádió, 1968. - 256 p. — 12.000 példány.
Leitman J. Bevezetés az optimális szabályozás elméletébe. - Moszkva: Nauka, 1968. - 190 p. - 14.000 példány.
Saridis J. Önszerveződő sztochasztikus vezérlőrendszerek. - Moszkva: Nauka, 1980. - 400 p. - 4000 példány.
A. A. AGRACHEV és Yu. L. Sachkov Geometriai szabályozáselmélet . - Moszkva: FIZMATLIT, 2004. - 391 p. — ISBN 5-9221-0532-9 .

Linkek

Gamkrelidze R. V. . Pontrjagin maximális elvének felfedezése

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph123771