Rendszer azonosítás

A rendszerazonosítás a megfigyelési adatokon alapuló dinamikus rendszer  matematikai modelljének megalkotására szolgáló módszerek összessége . A matematikai modell ebben az összefüggésben egy rendszer vagy folyamat viselkedésének matematikai leírását jelenti a frekvencia- vagy időtartományban, például fizikai folyamatok (mechanikai rendszer mozgása gravitáció hatására), gazdasági folyamat ( a készlet reakciója). idézetek külső zavarokra), stb. Jelenleg az irányításelmélet ezen területe jól tanulmányozott és a gyakorlatban széles körben használatos.

Történelem

A rendszerek azonosításának kezdete a megfigyeléseken alapuló matematikai modellalkotás tárgyaként Carl Friedrich Gauss "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium" című munkájához köthető, amelyben az általa kidolgozott legkisebb négyzetek módszerét alkalmazta. megjósolni a bolygók pályáját. Ezt a módszert később számos más alkalmazásban is alkalmazták, beleértve az automatizálásban használt vezérelt objektumok (motorok, kemencék, különféle aktuátorok) matematikai modelljeinek megalkotását. A rendszerazonosítással kapcsolatos korai munka nagy részét statisztikusok, ökonometrikusok végezték (különösen az idősorokhoz kapcsolódó azonosítási alkalmazások iránt érdeklődő), és létrehozták a statisztikai becslésnek nevezett területet. A statisztikai becslés szintén Gauss (1809) és Fisher (1912) [1] munkáján alapult .

A 20. század 50-es éveiig az automatizálásban az azonosítási eljárások többsége a vezérelt objektumok reakcióinak megfigyelésén alapult bizonyos vezérlési műveletek (leggyakrabban lépcsős ( ), harmonikus ( ), generált színek) jelenlétében. vagy fehér zaj ), és attól függően, hogy milyen típusú információt használtak az objektumról, az azonosítási módszereket gyakorisági és időbeli kategóriákra osztották. A probléma az volt, hogy ezeknek a módszereknek a hatóköre leggyakrabban skalárrendszerekre korlátozódott (SISO, Single-input, single-output). Rudolf Kalman 1960-ban bemutatta egy állapottér formájú vezérelt rendszer leírását, amely lehetővé tette a többdimenziós (MIMO, Many-input, many-output) rendszerekkel való munkát, és megalapozta az optimális szűrést és az optimális. vezérlés az ilyen típusú leírás alapján.

Kifejezetten a szabályozási problémákra a rendszerek azonosítására szolgáló módszereket 1965-ben dolgoztak ki Ho és Kalman [2] , Ostrom és Bolin [3] munkáiban . Ezek a munkák megnyitották az utat két, ma is népszerű azonosítási módszer: az altér-módszer és a predikciós hiba módszerének. Az első az euklideszi térben lévő vetületek használatán, a második pedig egy olyan kritérium minimalizálásán alapul, amely a modell paramétereitől függ.

Ho és Kalman munkája az impulzusválaszra vonatkozó információk alapján a vizsgált objektum olyan állapottér modelljének a megtalálására irányul, amely a legkisebb állapotvektorral rendelkezik. Ezt a problémát, de már egy véletlenszerű folyamat implementációinak jelenlétében, ahol a Markov-modell kialakul , a 70-es években Forre [4] és Akaika [5] munkáiban megoldották . Ezek a munkák alapozták meg az 1990-es évek elején a szubtér-módszer megalkotását.

Åström és Bolin munkája bemutatta az azonosítási közösségnek a maximum likelihood módszert, amelyet idősoros szakértők fejlesztettek ki a modellparaméterek differenciálegyenletek formájában történő becslésére [6] [7] . Ezek a modellek, amelyeket a statisztikai irodalom ARMA (autoregresszív mozgóátlag) és ARMAX (autoregresszív mozgóátlag bemenettel) néven ismer, később a predikciós hiba módszer alapját képezték. 1970-ben Box és Jenkins kiadott egy könyvet [8] , amely jelentős lendületet adott az azonosítási módszerek alkalmazásának minden lehetséges területen. Ez a munka más szóval teljes receptet adott az azonosításhoz attól a pillanattól kezdve, amikor elkezdődik az információgyűjtés az objektumról, egészen a modell átvételéig és ellenőrzéséig. 15 éve ez a könyv a rendszerazonosítás fő forrása. Az akkori idő fontos munkája volt a rendszerazonosításról és idősorelemzésről szóló áttekintés [9] is, amelyet az IEEE Transactions on Automatic Control 1974 decemberében tettek közzé. Az egyik nyitott kérdés ezután a zárt rendszerek azonosításának kérdése volt, amelyeknél a keresztkorreláción alapuló módszer nem kielégítő eredményre vezet [10] . Az 1970-es évek közepe óta az újonnan feltalált előrejelzési hibamódszer uralja az elméletet, és ami még fontosabb, az azonosítási alkalmazásokat. A kutatási tevékenység nagy része a többdimenziós és zárt rendszerek azonosításának problémáira összpontosult. E két rendszerosztály számára a legfontosabb feladat az volt, hogy megtalálják a kísérlet feltételeit és a probléma paraméterezésének módjait, amelyek mellett a talált modell megközelíti a valós rendszer egyetlen pontos leírását. Minden akkori tevékenységről elmondható, hogy ez volt az "igazi modell" keresésének, az azonosíthatóság, az egzakt paraméterekhez való konvergencia, a becslések statisztikai hatékonyságának és a becsült paraméterek aszimptotikus normalitása problémáinak megoldása. 1976-ra történt az első kísérlet arra, hogy a rendszerek azonosítását közelítési elméletnek tekintsék, amelyben a probléma egy valós rendszer lehető legjobb közelítése egy adott modellosztályon belül [11] [12] , [13] . Az azonosítási szakemberek körében uralkodó nézet tehát megváltozott a valódi rendszer leírásának kereséséről a lehető legjobb közelítés leírására. Szintén fontos áttörés történt, amikor L. Ljung bevezette a torzítás és a varianciahiba fogalmát az objektumok átviteli függvényeinek becslésére [14] . Az 1980-as években végzett torzítással végzett munka és a kapott modellek varianciájának elemzése elvezetett ahhoz a perspektívához, hogy az azonosítást szintézis problémának tekintsük. A kísérleti feltételek befolyásának, a modell felépítésének, valamint a torzításon és hibavariancián alapuló azonosítási kritérium megértése alapján lehetséges ezeknek a szintézisváltozóknak a tárgyra illesztése oly módon, hogy a legjobb modellt kapjuk. ebben a modellosztályban [15] [16] . Lennart Ljung könyve [17] , amely nagy hatással van az azonosítási specialisták közösségére, át van itatva ezzel az ideológiával.

Az az elképzelés, hogy a modell minősége megváltoztatható a szintézisváltozók megválasztásával, az 1990-es években a mai napig tartó tevékenység kitöréséhez vezetett. Az új paradigma fő alkalmazása az MBC (Model Based Control) azonosítása. Ennek megfelelően a kontrollproblémák azonosítása a kezdetek óta soha nem látott erővel virágzik, és az azonosítási módszerek alkalmazása a kontrollra új életet lehelt olyan már ismert kutatási területekre, mint a kísérletek tervezése, zárt hurkú azonosítás, frekvencia azonosítás, robusztus szabályozás. a bizonytalanság jelenléte.

Rendszerek azonosítása a Szovjetunióban és Oroszországban

A Szovjetunióban a rendszerazonosítás fejlesztésének fő eseménye a 41. számú laboratórium („Vezérlőrendszerek azonosítása”) megnyitása volt az Automatizálási és Telemechanikai Intézetben (jelenleg az Orosz Tudományos Akadémia Irányítási Problémák Intézete). N. S. Raibman közreműködésével. Naum Semenovich Raibman az országban az elsők között ismerte fel a rendszerazonosítás gyakorlati előnyeit és elméleti érdekeit. Kidolgozta a diszperziós azonosítás elméletét nemlineáris rendszerek azonosítására [18] , és könyvet is írt "Mi az azonosítás?" [19] az új tantárgy alapelveinek ismertetésére és a rendszerazonosítással megoldható feladatok körének ismertetésére. Ugyancsak ezt követően Yakov Zalmanovich Cypkin , aki kidolgozta az információazonosítás elméletét, érdeklődött az azonosítás elmélete iránt [20]

Általános megközelítés

A matematikai modell felépítéséhez 5 alapvető dologra van szükség:

A bemeneti-kimeneti információkat általában egy előre megtervezett azonosítási kísérlet során rögzítik, amely során a kutató kiválaszthatja, hogy mely jeleket mérje, mikor mérje, és mely bemeneti jeleket használja. A "Kísérletek tervezése" tudományág javaslatot tehet arra, hogy a kísérleti információkat hogyan lehet a leginformatívabbá tenni, figyelembe véve a kísérletre szabható korlátozásokat. De sajnos nem ritka az a helyzet, amikor a kutatónak nincs lehetősége kísérletet végezni, hanem a rendelkezésére bocsátott információkkal dolgozik. A jelölt modellek halmazát a modellek osztályára vonatkozó döntés alapján kapjuk meg, amelyben a keresést végezzük. Kétségtelenül ez a választás a legfontosabb és legnehezebb az azonosítási eljárásban. Ebben a szakaszban kell minden a priori információt, a mérnöki intuíciót kombinálni a valószínű modellek formális tulajdonságaival a döntés meghozatalához. Emellett számos javasolt modell felállítható az ismert fizikai törvények alapján, vagy lehetséges a szabványos lineáris modellek használata a fizikára való támaszkodás nélkül. Az ilyen, nem ismert fizikai törvények alapján felépített, paraméterekkel rendelkező modelleket, amelyek megváltoztatásával közelítést lehet elérni a vizsgált objektumhoz, fekete doboz modelleknek nevezzük. Azokat a modelleket, amelyek állítható paraméterekkel rendelkeznek és ismert fizikai törvényekre támaszkodnak, szürke dobozoknak nevezzük. Általánosságban elmondható, hogy a modellstruktúra egy paraméterezett leképezés a bemenetek és kimenetek halmazától egészen az aktuális idő kimeneteinek halmazáig : A modell kiválasztásának kritériuma az, hogy képes-e megismételni a kísérletből nyert adatokat, vagyis hogy megfeleljen a vizsgált objektum viselkedésének. De emlékeznünk kell arra, hogy a modell soha nem fogadható el egy tárgy "valódi" vagy "igazi" leírásaként a veleszületett közelítés miatt.

Az azonosítási eljárás zárt rendszerként

Az azonosítási eljárásnak természetes logikai sorrendje van: először adatokat gyűjtünk, majd modelleket alkotunk, majd kiválasztjuk a legjobb modellt. Gyakran előfordul, hogy az elsőként kiválasztott modell megbukik a kísérleti adatoknak való megfelelés tesztjén. Ezután menjen vissza és válasszon másik modellt, vagy módosítsa a keresési feltételeket. A modell a következő okok miatt lehet nem megfelelő:

Az azonosítás megközelítései

Az azonosítás során a bemeneti és kimeneti folyamatok kísérleti vizsgálatát, összehasonlítását feltételezzük, az azonosítási feladat pedig a megfelelő matematikai modell kiválasztása. A modellnek olyannak kell lennie, hogy a reakciója és az objektum reakciója ugyanarra a bemeneti jelre bizonyos értelemben szoros legyen. Az azonosítási probléma megoldásának eredményei a kiindulási adatok a vezérlőrendszerek tervezéséhez, optimalizáláshoz, rendszerparaméterek elemzéséhez stb.

Jelenleg a következő módszereket használják a szabályozott objektumok dinamikus tulajdonságainak meghatározására:

  1. Nem periodikus jel által a rendszerre gyakorolt ​​mesterséges hatáson alapuló módszerek, amelyek ereje nagy a rendszer interferencia szintjéhez képest. Cselekvésként általában a vezérlési művelet hirtelen megváltoztatását választják, és ennek eredményeként meghatározzák az időbeli jellemzőket.
  2. Különböző frekvenciájú periodikus jelek által a rendszerre gyakorolt ​​mesterséges hatáson alapuló módszerek, amelyek amplitúdója nagy a rendszer interferencia szintjéhez képest. Ennek eredményeként a frekvenciakarakterisztika meghatározásra kerül.
  3. A rendszer zajával arányos szinuszos jelek által a rendszerre gyakorolt ​​mesterséges hatáson alapuló módszerek. Ennek eredményeként a frekvenciakarakterisztika is meghatározásra kerül.
  4. Mesterséges behatást nem igénylő módszerek, a normál működés során előforduló zavarok felhasználásával. [23]

A rendszerek statikus matematikai modelljeit háromféleképpen állíthatjuk elő: kísérleti-statisztikai, determinisztikus és vegyes.

A kísérleti-statisztikai módszerek aktív vagy passzív kísérleteket igényelnek a működő objektumon. A sztochasztikus modelleket különféle kutatási és folyamatszabályozási problémák megoldására használják. A legtöbb esetben ezeket a modelleket lineáris regressziós egyenletek formájában kapjuk meg.

A valós folyamatok tulajdonságai alapján kijelenthető, hogy a folyamatváltozók kapcsolatának egyenleteinek eltérő, esetleg bonyolultabb szerkezetűnek kell lenniük. Minél „távolabb” van a regressziós egyenletek szerkezete az „igaztól”, annál kisebb lesz az előrejelzés pontossága a folyamatváltozók változási tartományának növekedésével. Ez rontja a vezérlés minőségét, következésképpen rontja az objektum optimális üzemmódban történő működésének minőségét.

A determinisztikus modellek „fizikai törvényeken és folyamatokról alkotott elképzeléseken alapulnak”. Ezért a folyamat tervezési szakaszában beszerezhetők. Jelenleg a determinisztikus megközelítés alapján számos módszert dolgoztak ki a folytonos folyamatok matematikai modelljének megalkotására. Így például a kémiai technológia számos folyamatának matematikai modellezésekor a többdimenziós fázistér módszerét alkalmazzák. A módszer lényege abban rejlik, hogy a szimulált technológiai folyamat áramlását néhány "reprezentáló pont" elmozdulásának tekintjük egy többdimenziós fázistérben. Ezt a teret a derékszögű koordinátarendszer tereként definiáljuk, amelynek tengelyei mentén az apparátus térbeli koordinátáit és a reagáló szilárd részecskék belső koordinátáit ábrázoljuk. A többdimenziós fázistér minden pontja a szimulált folyamat egy bizonyos állapotát írja le. Ezen pontok száma megegyezik a készülékben lévő részecskék számával. A technológiai folyamat lefolyását a reprezentatív pontok áramlásának változása jellemzi.

A többdimenziós fázistér -módszert legszélesebb körben használják matematikai modellek felépítésére. Ennek a módszernek azonban vannak hátrányai is, amelyek korlátozzák alkalmazási körét:

Így a többdimenziós fázistér-módszer fenti sajátosságai miatt nagyon nehéz vele a technológiai folyamatok matematikai modelljeit felépíteni az ipari létesítményekben végzett kísérletek elvégzése nélkül nyert információk alapján.

Általános szabály, hogy a folyamat elméleti elemzésének eredményeként olyan matematikai modellt kaphatunk, amelynek paramétereit a technológiai objektum vezérlése során finomítani kell. ábrán. Az 1. ábra egy általános sémát mutat be azonosítási problémák megoldására.

A dinamikus objektumok parametrikus azonosításával foglalkozó publikációk nagy száma ellenére nem fordítanak kellő figyelmet a nem stacionárius paraméterek azonosítására. Ha a nem stacionárius parametrikus azonosítás ismert megközelítéseit vizsgáljuk, két csoport különíthető el [1] .

Az első csoportba azok a munkák tartoznak, amelyek jelentős mértékben hasznosítják az azonosított paraméterekkel kapcsolatos előzetes információkat. E csoport első megközelítése azon a hipotézisen alapul, hogy az azonosított paraméterek ismert homogén differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai, vagy egy Markov-modell által generált véletlenszerű folyamatként vannak ábrázolva, azaz ismert differenciál- vagy differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai. fehér zaj típusú perturbációkkal, amelyeket Gauss-eloszlás, ismert átlagok és intenzitás jellemez. Ez a megközelítés indokolt, ha nagy mennyiségű előzetes információ áll rendelkezésre a kívánt paraméterekről, és ha az elfogadott modell valós paraméterei nem egyeznek, az az algoritmus konvergenciájának elvesztéséhez vezet.

Az első csoportba tartozó második megközelítés nem stacionárius paraméterek paraméterezésén alapul, és azt a hipotézist alkalmazza, hogy a nem stacionárius azonosítható paraméterek a teljes azonosítási intervallumon vagy az egyes részintervallumokon keresztül pontosan reprezentálhatók Ismert időfüggvények véges, általában lineáris kombinációja ismeretlen állandó súlyegyütthatókkal, különösen a Taylor-sor , a harmonikus Fourier-sor , az általánosított Fourier-sor tagok véges összege formájában az ortogonális rendszerekhez képest függvények Laguerre , Walsh .

A paraméterezés legegyszerűbb esete a nem stacionárius paraméterek állandó értékekkel való megjelenítése az azonosító intervallumot lefedő egyedi részintervallumok sorozatán.

Az aktuális azonosítással javasolt egy T időtartamú [ t  -  T, t ] csúszó időintervallumra lépni, és a szükséges paramétereket ezen az intervallumon állandónak vagy pontosan reprezentálhatónak tekinteni véges fokú interpolációs polinomnak, vagy meghatározott véges lineárisnak. kombináció. Ez a megközelítés magában foglalhatja az iteratív legkisebb négyzetek módszerén alapuló munkákat. Ezekben a munkákban a minimalizálandó másodfokú függvény exponenciális (negatív kitevőjű) súlytényezőjének használata miatt, az aktuális [0,  t ] időintervallumban definiált , az objektum koordinátáira vonatkozó régi információ „törlődik” túlóra. Ez a helyzet lényegében megfelel az azonosított paraméterek állandóságának gondolatának egy bizonyos csúszó időintervallumban, figyelembe véve az objektum ezen az intervallumon lévő állapotára vonatkozó információkat exponenciális súllyal.

Ez a megközelítés lehetővé teszi a stacionárius paraméterek azonosítására szolgáló módszerek közvetlen kiterjesztését a nem stacionárius paraméterek azonosításának esetére. A gyakorlatban azonban ennek a megközelítésnek az alaphipotézise nem teljesül, és csak a kívánt paraméterek közelítő ábrázolásáról (közelítéséről) beszélhetünk ismert időfüggvények véges lineáris kombinációjával, ismeretlen állandó súlyegyütthatókkal. Ez a helyzet egy módszertani azonosítási hiba kialakulásához vezet, ami alapjaiban változtatja meg a tárgyalt megközelítés lényegét, hiszen ebben az esetben a közelítési intervallum T időtartama és a lineáris kombináció tagszáma válik regularizációs paraméterekké. Ezt a módszertani hibát általában nem veszik figyelembe. Különösen, ha feltételezzük, hogy a kívánt paraméterek változásának egyenes vonalú törvénye az idő nagy részintervallumán keresztül T,

A második csoportba azok a módszerek tartoznak, amelyek sokkal kisebb mennyiségű információt használnak a kívánt paraméterekről, és ezt az információt csak az azonosítási algoritmus paramétereinek kiválasztásának szakaszában használjuk fel.

Az ebbe a csoportba tartozó első megközelítés a gradiens önbeállító modellek alkalmazásán alapul. Ezt a megközelítést a lineáris és nemlineáris dinamikus objektumok parametrikus azonosításával foglalkozó munkákban tárgyalták. Ennek a megközelítésnek a fő előnye, hogy zárt azonosítási rendszerhez vezet, és így bizonyos előnyökkel rendelkezik a zajtűrés tekintetében a nyílt azonosítási módszerekkel szemben. Ennek a megközelítésnek a hátrányai a hangolási kritérium gradiens komponenseinek mérésének szükségességével kapcsolatosak, amelyek funkcionális deriváltak, és az azonosított paraméterek kezdeti értékeiről (a kezdeti értékek kiválasztásához) kellően pontos a priori információ igénye. az azonosító rendszer stabilitását garantáló modellparaméterek) és az adott típusú azonosító rendszer dinamikájának teljes elméleti elemzésének hiánya. Ez utóbbit az önhangoló hurok folyamatait leíró integro-differenciálegyenlet-rendszer bonyolultsága magyarázza, aminek következtében az elméleti elemzés csak az objektum paramétereinek lassú változásának feltételezése mellett történik. és modell. Ebben a tekintetben nem lehet teljes mértékben felmérni a gradiens önbeállító modellek stabilitási területét, sebességét és működésének pontosságát, és ezáltal egyértelműen meghatározni az ilyen típusú rendszerek alkalmazhatósági területét a jelenlegi nem-azonosítással. stacionárius paraméterek. Megjegyzendő azonban, hogy a kívánt paraméterek nem-stacionaritási fokának növekedésével a hangolási kritérium gradiens komponenseinek meghatározásában jelentősen megnőnek a módszertani hibák, aminek következtében az azonosítási hiba a zónán túl nő. a kritérium globális szélsőértéke minimalizálva van.

Ezt a hatást különösen fokozza az azonosított paraméterek számának növekedése az azonosító csatornák összekapcsolása miatt. Ezért a gradiens önbeállító modellek alkalmazása alapvetően a kívánt paraméterek lassú változásának esetére korlátozódik.

A második megközelítés a Kaczmarz-algoritmus használatán alapul. Ismeretes, hogy az ilyen típusú fő algoritmusnak gyenge a zajvédelme és alacsony a sebessége. Ez a helyzet késztette ennek az algoritmusnak a megnövekedett sebességgel jellemezhető különféle módosításainak létrehozását. Ennek ellenére ezeknek a módosításoknak a teljesítménye még mindig alacsony, ami eleve korlátozza a második megközelítés alkalmazhatóságát a lassan változó paraméterek azonosítására.

A második csoportba tartozhatnak azok a módszerek is, amelyeket csak lineáris dinamikus objektumok azonosítására terveztek, és további megszorítások jellemzik (a tesztbemeneti jelek harmonikushalmaz vagy pszeudo-véletlen periodikus bináris jel formájában történő használatának szükségessége, az azonosítás végessége intervallum, a teljes információ rendelkezésre állása az objektum bemeneti és kimeneti jeleiről a teljes azonosítási intervallumon, valamint a differenciálegyenlet csak bal oldalán lévő együtthatók azonosításának lehetősége). Emiatt az egyes véges idejű részintervallumokon jelentős azonosítási hibák lehetségesek, és egy komplex határérték-probléma megoldása is szükséges.

Az automatizálásban a tipikus tesztbemeneti jelek a következők:

Számos módszer (paraméterek ábrázolása ismert differenciál- vagy differenciálegyenletrendszerek megoldásai formájában) csak meghatározott esetekben használható, míg más módszerek (gradiens önbeállító modellek, Kachmarz algoritmus) eleve szignifikánsak a kívánt paraméterek nem-stacionaritási fokára vonatkozó korlátozások. A megállapított hiányosságok az említett módszerek természetéből fakadnak, ezért aligha van lehetőség e hiányosságok észrevehető csökkentésére. A nem stacionárius paraméterek paraméterezésén alapuló módszerek, amint azt fentebb említettük, teljesen feltáratlanok, és a bemutatott formában korlátozott gyakorlati alkalmazásra találnak. Más módszerektől eltérően azonban ez utóbbi megközelítés nem tartalmaz belső korlátozásokat az azonosított paraméterek nem-stacionaritási fokára vonatkozóan, és alapvetően alkalmazható dinamikus objektumok széles osztályának azonosítására normál működési módjukban hosszú időintervallumon keresztül. .

A valós működő rendszerek azonosításának felsorolt ​​nehézségei határozzák meg a nemlineáris objektumok modellezésének legszélesebb körben használt megközelítését, amely a matematikai modell típusának evolúciós egyenlet formájában történő kiválasztásából és a paraméterek ezt követő azonosításából, vagy a modell nem paraméteres azonosításából áll. A modell akkor tekinthető megfelelőnek, ha az adott adekvátsági kritérium becslése, a modell maradékának a kísérleti adatoktól való függéseként számolva, elfogadható határokon belül van.

Megjegyzés

  1. ↑ R. A. Fisher.   A frekvenciagörbék illesztésének abszolút kritériumán. - Statisztikai tudomány, 12. évf. 1 (1997. február). - pp. 39-41. 
  2. ↑ BL Ho és RE Kálmán.   Lineáris állapotváltozó modellek hatékony felépítése bemeneti-kimeneti függvényekből. - Regelungstechnik, 12. kötet, 1965. - pp. 545-548. 
  3. ↑ KJ Astrom és T. Bohlin.   Lineáris dinamikus rendszerek numerikus azonosítása normál működési rekordokból. — Proc. IFAC Symp. Self-Adaptive System, 1965. - pp. 96-111. 
  4. ↑ P. Faurre,   Realizations markoviennes de processus stationnaires. – Rapport La-boria No.13, IRIA, Rocquencourt, Franciaország, Tech. Ismétlés. 1973. 
  5. ↑ H. Akaike,   A minimális realizáció sztochasztikus elmélete. — IEEE Trans. automata. Control, vol. 26., 667-673. o., dec. 1974. 
  6. ↑ TC Koopmans, H. Rubin és RB Leipnik,   Measuring the Equation Systems of Dynamic Economics. – (Cowles Commission Monograph, 10. kötet, TCKoopmans, szerk.). New York: Wiley, 1950. 
  7. ↑ EJ Hannan,   Time Series Analysis. – New York: Methuen, 1960  
  8. ↑ GEP Box és GM Jenkins idősoros   elemzés, előrejelzés és ellenőrzés. – Oakland, CA: Holden-Day, 1970. 
  9. ↑ KJ Astrom és P. Eykhoff   Rendszerazonosítás – felmérés. Automatica, vol. 7, pp. 123-162, 1971. 
  10. ↑ H. Akaike   Néhány probléma a keresztspektrális módszer alkalmazásában, - in Spectral Analysis of Time Series, B. Harris, Ed. New York: Wiley, 1967, pp. 81-107.  
  11. ↑ L. Ljung   A következetességről és az azonosíthatóságról, Math. program. Tanulmány, vol. 5, pp. 169-190, 1976.  
  12. ↑ BDO Anderson, JB Moore és RMHawkes,   Modell közelítés előrejelzési hiba azonosításával, - Automatica, vol. 14, 615-622, 1978. 
  13. ↑ L. Ljung és P. E. Caine,   Asymptotic normality of predikciós hibabecslők közelítő rendszermodellekhez, - Stochastics, vol. 3, 1979. 29-46. 
  14. ↑ L. Ljung,   Aszimptotikus varianciakifejezések azonosított feketedoboz-átviteli függvény modellekhez, "IEEE Trans. Automat. Contr., AC-30, 834-844, 1985.  
  15. ↑ B. Wahlberg és L. Ljung   Tervezési változók torzításeloszláshoz az átviteli függvény becslésében, IEEE Trans. automata. Contr., vol. AC-31, 134-144, 1986. 
  16. ↑ M. Gevers és L. Ljung,   Optimális kísérlettervek a tervezett modellalkalmazáshoz képest, Automatica, vol. 22, pp. 543-554, 1986. 
  17. ↑ L. Ljung,   Rendszer azonosítás Elmélet a felhasználó számára, 2. kiadás. - NJ: PTR Prentice Hall, 1999. - ISBN 0-13-656695-2  
  18. ↑ N. S. Raibman,   Diszperziós azonosítás, - Moszkva: Nauka, 1981.  
  19. ↑ N. S. Reibman,   Mi az azonosítás?. - Moszkva: Nauka, 1970. 
  20. ↑ Ya. Z. Tsypkin,   Az azonosítás információelmélete, M., Nauka, 1995, 336 p.  
  21. ↑ Rastrigin, 1977 , p. 17.
  22. ↑ Rastrigin, 1977 , p. 33.
  23. ↑ Shidlovsky S.V. Technológiai folyamatok és gyártás automatizálása: Tankönyv. -Tomsk: NTL Kiadó, 2005. -p. tizenegy
  24. ↑ A.V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Szmirnov. Menedzsment és innováció a hőenergia-technikában. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 p. - ISBN 978-5-38300539-2 .

Irodalom