Schrödinger operátor

A Schrödinger operátor a következő forma differenciális operátora :

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Ez egy elliptikus szinguláris határérték probléma operátora . A Schrödinger-operátorok matematikai elméletét a kvantummechanika [1] , a differenciálgeometria ( a Gauss-Bonnet-tétel bizonyítása [2] ), a topológia (a Morse-elméletben a Morse-egyenlőtlenség bizonyításakor [3] ) alkalmazza. Számos általánosítást tesz lehetővé [4] . Bizonyos feltételek mellett a potenciálokon és önadjungált operátor , mindenütt sűrű definíciós tartománnyal a négyzetbe integrálható függvények terén [5] [6] . Ez a tulajdonság ekvivalens a nem stacionárius Schrödinger-egyenlet [6] egyedi megoldhatóságával . Nagyon fontos a kvantummechanika alapjai szempontjából, mivel csak az önadjungált operátorok írják le a kvantummechanikai megfigyeléseket. A kvantummechanikában a Schrödinger-operátor egy töltött részecskék rendszerének energetikai operátora a koordinátaábrázolásban. Egy részecske viselkedésének hozzávetőleges leírásában egy külső mezőben vagy két kölcsönható részecskéből álló rendszerben a Schrödinger-operátor a négyzetbe integrálható függvények terében van definiálva, és a következő formában van: , ahol egy háromdimenziós térvektor [ 1] . $v_{ij}(x)$ $v_{j}(x)$ $\psi (x_{1},\dots ,x_{n}))$ $n$ $H=-\Delta +v(x)$ $x$

Egydimenziós Schrödinger operátor

Az egydimenziós Schrödinger operátor alakja:

H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)

ahol egy egydimenziós térvektor. Egy végtelenül növekvő potenciál esetén a spektruma diszkrét, egyszeres. Harmonikus oszcillátor esetén - . A sajátértékek és a sajátfüggvények , ahol , Hermite - polinomok . $z$ $v(z)\rightarrow \infty$ $\left|z\right|\rightarrow \infty$ ${\displaystyle v(z)=z^{2))$ $\lambda _{n}=2n+1$ $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$ $n=0,1,2,\pontok$ $H_{n}(z)$

Elégséges kritérium a Schrödinger-operátor önadjungáltságához

A Schrödinger-operátor számára egy sima véges függvényeken definiált részecskék rendszeréhez: $n$

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Az alapvető önilleszkedés elégséges feltételei a következő feltételek:

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty

és a következő feltételekkel: $\left|x\right|\geqslant R$

\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M

\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M

A Schrödinger-operátor zárásának definíciós tartománya ebben az esetben egybeesik az operátor zárásának definíciós tartományával [5] . ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j))$

Jegyzetek

↑ 1 2 Crane, 1972 , p. 430.
↑ Tsikon, 1990 , p. 291.
↑ Tsikon, 1990 , p. 265.
↑ Crane, 1972 , p. 435.
↑ 1 2 Crane, 1972 , p. 441.
↑ 1 2 Tsikon, 1990 , p. 9.

Irodalom

Kerin S. G. Funkcionális elemzés. - M. : Nauka, 1972. - 544 p.
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operátorok kvantummechanikai és globális geometriai alkalmazásokkal. — M .: Mir, 1990. — 408 p. — ISBN 5-03-001422-5 .