Newtoni potenciál

A newtoni potenciál egy általánosított függvény konvolúciójaként definiált függvény , amelyet a potenciálelméletben sűrűségnek neveznek, és a függvény | x | −1 : $\mathbb {R} ^{3}$

V={\frac {1}{|x|}}*\rho .

A V potenciál kielégíti a Poisson-egyenletet : Δ V = −4πρ.

Tömeges potenciál

Ha ρ egy integrálható függvény valamilyen G tartományon , és ρ( x ) = 0, , akkor a Newtoni-potenciál, amelyet térfogatpotenciálnak nevezünk , az integrállal fejezhető ki. $x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$

V(x)=\iiiint \limits _{G}{\frac {\rho (y)}{|xy|}}dy

A potenciál simaságáról a következők mondhatók el. Ha ρ ∈ C ( G ), akkor V ( x ) ∈ C 1 (ℝ 3 ) és Δ V ( x ) = 0 x ∈ esetén . $\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$

Egyszerű rétegpotenciál

A G tartomány helyett most egy korlátos, darabonként sima felületet tekintünk, ahol a normál n , μ folytonos függvény S- en . Egy egyszerű réteg newtoni potenciálját konvolúciónak nevezzük

V^{(0)}={\frac {1}{|x|}}*\mu \delta _{S}

vagy integrált formában:

V^{(0)}(x)=\iint \limits _{S}{\frac {\mu (y)}{|xy|}}dS_{y},

Egy egyszerű réteg potenciálja harmonikus az S tartományon kívül , mindenhol folytonos ℝ 3 -ban, és a végtelenben egy ponton nullára hajlik. Ezen túlmenően, ha S egy Ljapunov-felület , akkor az egyszerű rétegpotenciál normál deriváltjának szakadása figyelhető meg rajta:

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{+}=-2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{-}=2\pi \mu (S)+{\frac { \partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

ahol a "+" és "-" indexek az S külső és belső deriváltjait jelölik .

Állandó μ sűrűségű és Ljapunov-felület esetén egy egyszerű réteg potenciálja:

V^{(0)}(x)={\begin{cases}4\pi \mu {\frac {R^{2}}{|x|}},\ |x|\geqslant R, \\4\pi \mu R,\ |x|<R.\end{cases}}

Kétrétegű potenciál

Az egyszerű réteg potenciáljával teljesen analóg módon bevezetjük a kettős réteg newtoni potenciálját :

V^{(1)}(x)=-{\frac {1}{|x|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\iint \limits _{S}\nu (y){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} _{y))}{\frac {1}{|xy| }}dS_{y}=\iint \limits _{S}\mu {\frac {\cos \varphi }{|xy|^{2}}}dS_{y},

ahol φ az y pontban lévő S felület normális és az x pontból y pontba irányított sugárvektor közötti szög .

A kettős rétegpotenciál az S felület által határolt tartomány záródásában folytonos, ezen a tartományon kívül folytonos, magán az S felületen pedig folytonos, ha Ljapunov felületről van szó , azonban az S felületen áthaladva megszakadáson megy keresztül. :

V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),

V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).

A végtelenben a kettős réteg potenciálja nullára irányul.

Állandó ν sűrűség és Ljapunov felület esetén a kettős réteg potenciálja:

V^{(1)}(x)={\begin{cases}0,\ x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G)),\\-2\ pi \nu ,\ x\in S,\\-4\pi \nu ,\ x\in G.\end{cases}}

A newtoni potenciálok fizikai jelentése

Mivel a V potenciál kielégíti a Poisson-egyenletet , létrejöhet ρ sűrűségű térben eloszló tömegekkel vagy töltésekkel . Különösen a tömegek vagy töltések folyamatos eloszlása hoz létre térfogatpotenciált; ha a tömegek vagy töltések a felületen koncentrálódnak, akkor egy egyszerű réteg potenciálját hoznak létre; ha a dipólusok a felületen koncentrálódnak , akkor ez a kettős réteg potenciálja.

Lásd még

Irodalom

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Linkek

[bse.sci-lib.com/article091961.html Lehetséges a Nagy Szovjet Enciklopédia]