Nilvariety

A nilmanifold egy sima sokaság , amelyen a difeomorfizmusok tranzitív , nilpotens csoportja hat erre a sokaságra. A nilmanifold egy példa egy homogén térre , és különbözik egy hányadostérrel , egy nilpotens Lie csoport N hányadoscsoportjával egy zárt H alcsoporttal . A kifejezést Anatolij I. Malcev vezette be 1951-ben. $N/H$

A Riemann-féle kategóriában a nulla sokaságnak is kimerítő definíciója van. A Riemann-sokaságot homogén nilmanifoldnak nevezzük , ha létezik egy nilpotens izometriás csoport, amely tranzitív módon hat rá. Az a követelmény, hogy egy tranzitív nilpotens csoport izometriák szerint működjön, a következő jellemzéshez vezet: bármely homogén nilvariáció izometrikus egy nilpotens Lie-csoportra, bal-invariáns metrikával (lásd Wilson cikkét [1] ).

A nilmanfoldok fontos geometriai objektumok, és gyakran konkrét tulajdonságokkal rendelkező konkrét példákban jelennek meg. A Riemann-geometriában ezek a terek mindig vegyes görbületűek [2] , szinte lapos sokaságok keletkeznek a nilmannifoldek hányadostereként [3] , és a kompakt nilmanifoldek alapján elemi példákat konstruáltak a Riemann-metrikák összeomlására Ricci áramlásokban [4] .

A nilmanifold geometriájában betöltött fontos szerepük mellett egyre nagyobb az érdeklődés irántuk, mint az aritmetikai kombinatorikában (lásd Green és Tao [5] cikkét ) és az ergodikus elméletben (lásd például a cikket). Host és Cra [6] ).

Kompakt csővezetékek

A kompakt csővezeték egy kompakt csővezeték. Az ilyen terek létrehozásának egyik módja egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoport N és egy diszkrét alcsoport . Ha egy részcsoport kokompaktan (jobboldali szorzással) hat N -re, akkor a hányadosfajta egy kompakt nilvaritás. Mint Malcev megmutatta, ilyen módon bármilyen kompakt csővezeték előállítható [7] . $\gamma$ $\gamma$ $N/\Gamma$

A fentihez hasonló részcsoportot rácsnak nevezünk N -ben . Egy nilpotens Lie-csoport csak akkor enged rácsot, ha Lie algebrája racionális szerkezeti állandókkal rendelkező alapot fogad be – ez a Maltsev-kritérium. Nem minden nilpotens hazugságcsoport ismeri be a rácsot. A részletekért lásd M. S. Raunathan cikkét [8] . $\gamma$

A kompakt Riemann-nilmanifold egy kompakt Riemann-féle sokaság, amely egy bal-invariáns metrika szerint lokálisan izometrikus a nilpotens Lie-csoporthoz. Ezeket a tereket a következő módon építjük fel. Legyen rács egy egyszerűen összekapcsolt nilpotens Lie csoportban , mint fent. N -t bal-invariáns (Riemanni) metrikával ruházzuk fel . Ekkor az alcsoport az N izometriáival hat balos szorzás útján. Ekkor a hányadostér egy kompakt tér, amely lokálisan N -re izometrikus . Vegye figyelembe, hogy ez a tér természetesen diffeomorf . $\gamma$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash N$ $N/\Gamma$

A kompakt csővezetékek fő kötegként is felmerülnek . Például vegyünk egy kétlépéses nilpotens hazugságcsoportot N , amely beenged egy rácsot (lásd fent). Legyen az N alcsoport kommutátora . Jelölje p-vel a Z kommutátor dimenzióját, q-val pedig Z kóddimenzióját , azaz N dimenziója egyenlő p+q-val. Ismeretes (lásd Raghunathan cikkét), hogy Z -ben egy rács . Ezért egy p - dimenziós kompakt tórusz. Mivel Z központi helyet foglal el N -ben, a G csoport egy kompakt nilmanredre hat hányadostérrel . Ez az M alapelosztó egy q - dimenziós kompakt tórusz. Kimutatták, hogy a tórusz feletti bármely fő tori köteg ilyen formában van, lásd Police és Stewart [9] cikkét . Általánosabban fogalmazva, a kompakt nilmanfold egy köteg tori egy köteg tori egy köteg tori felett... egy tórusz felett. $Z=[N,N]$ $Z\cap \Gamma$ $G=Z/(Z\cap \Gamma )$ $P=N/\Gamma$ $M=P/G$

Mint fentebb említettük, a majdnem lapos fajták lényegében kompakt, nulla elosztók. További információért tekintse meg a kapcsolódó cikket.

Komplex nilmanfolds

Történelmileg a komplex nilmanifold egy komplex, nilpotens Lie-csoport és egy kokompakt rács hányadosát jelenti . Ilyen nulla fajtára példa az Iwasawa fajta . Az 1980-as évek óta egy másik (általánosabb) képzet az összetett nilmanfoldról fokozatosan kiszorította ezt a fogalmat.

A g valós Lie-algebrán egy majdnem összetett szerkezet egy endomorfizmus, amelynek négyzete −Id g . Ezt az operátort komplex struktúrának nevezzük , ha a sajátértékeknek megfelelő sajátterei algebrák -ben . Ebben az esetben egy bal- invariáns komplex struktúrát definiálok a megfelelő Lie csoporton. Az ilyen fajtát ( G , I ) komplex csoportváltozatnak nevezzük . Így bármely összekapcsolt komplex homogén sokaságot , amely szabad tranzitív holomorf hatással van egy valós Lie csoportra, így kapjuk meg. $I\colon \;g\rightarrow g$ $\pm {\sqrt {-1}}$ $g\otimes {\mathbb {C} }$

Legyen G egy igazi nilpotens Lie csoport. A komplex nilmanifold egy komplex csoport ( G , I ) sokaságos tényezője, amelyet egy jobboldali hatású diszkrét kokompakt rács bal-invariáns komplex szerkezettel ruház fel.

Az összetett csővezetékek általában nem homogének, mint a komplex csővezetékek.

A 2. komplex dimenzióban az egyetlen összetett nilmanfold a komplex tórusz és a Kodaira felület [10] .

Tulajdonságok

A kompakt nilmanfoldok (a tórusz kivételével) soha nem formálisak [11] [12] . Ez azonnal azt jelenti, hogy a kompakt nilmanfoldok (a tórusz kivételével) nem engednek be Kähler-struktúrát (lásd még Benson és Gordon cikkét [13] ).

Topológiailag az összes nilmanfold megkapható iterált tori kötegként egy tórusz felett. Ez jól látható a leszálló középső sorból [14] .

Példák

Nilpotent Lie csoportok

A fenti definícióból egy homogén nilvariációra egyértelmű, hogy bármely nilpotens Lie-csoport, amelynek bal-invariáns metrikája homogén nilvariáció. A legismertebb nilpotens Lie-csoportok azok a mátrixcsoportok, amelyek átlós elemei 1-gyel egyenlőek, és minden szubdiagonális elem nulla.

Például a Heisenberg-csoport egy kétlépcsős, nilpotens hazugság-csoport. Ez a nilpotens Lie csoport azért is különleges, mert lehetővé teszi a kompakt hányadost. A csoport felső háromszög alakú mátrixok lehetnek egész elemekkel. A kapott nilmanifold háromdimenziós. Az egyik lehetséges alapvető tartomány a (izomorf a) [0,1] 3 -mal, az arcok megfelelően azonosítva. Ennek az az oka, hogy a nilvariáció egy eleme az alapvető tartomány egy elemével reprezentálható. Itt az x "padló" függvényét jelenti , és a tört részét jelenti . A "floor" függvény megjelenése itt utal a nilmanifoldek és az additív kombinatorika kapcsolatára – az úgynevezett zárójeles polinomok vagy általánosított polinomok fontosak a magasrendű Fourier-analízisben [5] . $\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}$ $\lfloor x\rfloor$ ${\displaystyle \{x\))$

Abelian Lie csoportok

A legegyszerűbb példa bármelyik Abelian Hazugság csoport. Ennek az az oka, hogy minden ilyen csoport egy nilpotens hazugságcsoport. Például felvehetjük a valós számok csoportját összeadással és az egész számok diszkrét kokompakt alcsoportját. Az így kapott egylépcsős gyűrű egy ismerős gyűrű . Egy másik jól ismert példa a kompakt 2-tórusos vagy euklideszi tér hozzáadásával. $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

Általánosítások

infranilis elosztó
Solvmanifold . A megoldható Lie-csoporton alapuló párhuzamos konstrukció a terek egy osztályát adja, amelyet solvmanifolds-nak (vagy megoldható sokaságnak) neveznek. A megoldható sokaságok fontos példái a komplex geometriában ismert Inoue felületek .

Jegyzetek

↑ Wilson, 1982 .
↑ Milnor, 1976 , p. 293–329.
↑ Gromov, 1978 , p. 231–241.
↑ Chow, Knopf, 2004 , p. xii+325.
↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , p. 1753–1850
↑ Házigazda, Kra, 2005 , p. 397–488.
↑ Maltsev, 1949 , p. 9-32.
↑ Raghunathan, 1972 .
↑ Palais, Stewart, 1961 , p. 26–29.
↑ Hasegawa, 2005 , p. 749–767.
↑ A minimális differenciális fokozatos A - algebra formális , ha létezik A -tól -ig differenciális fokozatos algebrák olyan morfizmusa, amely a d = 0 antiderivatívával azonosságot generál a kohomológián (Hasegawa, 68. o.). $\psi$ $H^{\ast }(A\;K)$ $\psi$ $H^{\ast }(A\;K)$
↑ Hasegawa, 1989 , p. 65–71.
↑ Benson és Gordon 1988 , p. 513–518.
↑ Rollenske, 2009 , p. 425–460.

Irodalom

Edward N. Wilson. Izometriacsoportok homogén nilmanfoldokon // Geometriae Dedicata . - 1982. - T. 12 , sz. 3 . - doi : 10.1007/BF00147318 .
John Milnor. Bal oldali invariáns metrikák görbületei Lie-csoportokon // Advances in Mathematics . - 1976. - T. 21 , sz. 3 . - doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 .
Mihail Gromov. Majdnem lapos elosztók // Journal of Differential Geometry . - 1978. - T. 13 , sz. 2 . - doi : 10.4310/jdg/1214434488 .
Bennett Chow, Dan Knopf. A Ricci-folyam: bevezetés. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - V. 110. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-3515-7 .
Benjamin Green, Terence Tao. Lineáris egyenletek prímszámokban // Annals of Mathematics . - 2010. - T. 171 , sz. 3 . - doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . - arXiv : math.NT/0606088 .
Bernard Host, Bryna Kra. Nem konvencionális ergodikus átlagok és nilmanifolds // Annals of Mathematics . - 2005. - T. 161 , sz. 1 . doi : 10.4007 / annals.2005.161.397 .
A. I. Malcev. A homogén terek osztályán . - Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat.. - 1949. - T. 13.

Raghunathan MS II. fejezet // Lie-csoportok diszkrét alcsoportjai. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1972. - V. 68. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-3-642-86428-5 .
Palais RS, Stewart TE Torus kötegek egy tórusz fölött // Proc. amer. Math. Szoc.. - 1961. - T. 12 .
Keizo Hasegawa. Komplex és Kähler-struktúrák Compact Solvmanifolds-on // J. Symplectic Geom.. - 2005. - V. 3 , No. 4 .
Keizo Hasegawa. A csővezetékek minimális modelljei // Proc. amer. Math. Szoc .. - 1989. - T. 106 , 1. sz .
Chal Benson, Carolyn S. Gordon. Kähler és szimplektikus struktúrák nilmanfoldokon // Topológia . - 1988. - T. 27 , sz. 4 . - doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 .
Sonke Rollenske. A bal-invariáns komplex szerkezetű nilmanfold geometriája és deformációi a nagy . — Proc. London Math. Soc.,, 2009. - T. 99.