Csebisev egyenlőtlensége

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Csebisev egyenlőtlensége (vagy Bieneme-Csebisev egyenlőtlensége ) egy egyenlőtlenség a mértékelméletben és a valószínűség-elméletben . Először Bieneme szerezte meg 1853-ban, később pedig Csebisev is (az 1867-es "Átlagértékek" című cikkben).

A mértékelméletben használt egyenlőtlenség általánosabb, a valószínűségszámításban ennek a következménye.

Csebisev egyenlőtlensége a mértékelméletben

A Csebisev-egyenlőtlenség a mértékelméletben leírja a Lebesgue-integrál és a mérték közötti kapcsolatot . Ennek a valószínűségszámítási egyenlőtlenségnek analógja a Markov-egyenlőtlenség . A Csebisev-egyenlőtlenséget arra is használják, hogy bizonyítsák a szóköz $L_{p}$ gyenge térbe való beágyazását .

Formulációk

Legyen szóköz mértékkel . Hadd is $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$
- $A\in {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ függvényen összegezhető _ _ $A$
- $c>0$ .

Akkor igaz az egyenlőtlenség:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\phi (x)\mu (dx)

Általánosabban:

Ha egy nemnegatív valós mérhető függvény , amely nem csökkenő a definíciós tartományban , akkor

g

\phi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{ A}g\circ \phi \,\mu (dx).

A teret tekintve : $L_{p}$

Hadd . Akkor

\phi (x)\in L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

A Csebisev-egyenlőtlenség a Markov-egyenlőtlenség következményeként érhető el .

Csebisev egyenlőtlensége a valószínűségszámításban

Csebisev egyenlőtlensége a valószínűségelméletben kimondja, hogy egy valószínűségi változó általában az átlagához közeli értékeket vesz fel . Pontosabban, becslést ad annak a valószínűségére, hogy egy valószínűségi változó olyan értéket vesz fel, amely messze van az átlagától.

Csebisev egyenlőtlensége Markov egyenlőtlenségének a következménye .

Formulációk

Legyen egy valószínűségi változó definiálva egy valószínűségi téren , és legyen véges a matematikai elvárása és szórása . Akkor $X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

ahol . $a>0$

Ha , hol van a szórás és , akkor azt kapjuk $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

Konkrétan egy véges szórással rendelkező valószínűségi változó nagyobb mértékben tér el az átlagtól, mint a szórások, és a valószínűsége kisebb, mint . A szórások átlagától kisebb valószínűséggel tér el . Más szóval, a valószínűségi változó szórásokba illeszkedik valószínűséggel és szórások valószínűséggel $2$ $25\%$ $3$ $11.12\%$ $2$ $75\%$ $3$ $88.88\%$

Az unimodális eloszlások legfontosabb esetére a Viszochanszkij-Petunin egyenlőtlenség jelentősen megerősíti a Csebisev-egyenlőtlenséget, beleértve a 4/9-es törtet is. Így a szórások korlátja tartalmazza a valószínűségi változó értékeit. Ellentétben a normál eloszlással , ahol a szórások egy valószínűségi változó értékeit tartalmazzák. $3$ $95.06\%$ $3$ $99,73\%$

Lásd még

Irodalom

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka, 1976. - 544 p.

szerzők csoportja. Moszkvai matematikai gyűjtemény. - M. , 1867. - T. 2.

Csebisev egyenlőtlensége

Csebisev egyenlőtlensége a mértékelméletben

Formulációk

Csebisev egyenlőtlensége a valószínűségszámításban

Formulációk

Lásd még

Irodalom

Linkek