Vysochansky-Petunin egyenlőtlenség

A valószínűségelméletben a Vysochansky- Petunin egyenlőtlenség alsó korlátot ad annak valószínűségére , hogy egy véges varianciájú valószínűségi változó egy olyan intervallumon belül van, amelynek határai a valószínűségi változó átlagértékétől való szórás bizonyos részeként vannak megadva. Másrészt ez egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy az egyenlőtlenség felső korlátja annak a valószínűségnek, hogy a valószínűségi változó ezen az intervallumon kívül esik. A valószínűségi sűrűségfüggvény egyetlen megkötése az, hogy unimodálisnak kell lennie, és véges szórással kell rendelkeznie. (Ebből az következik, hogy egy ilyen eloszlássűrűség-függvény folytonos, kivéve a móduspontot, amelynek a valószínűsége nagyobb lehet, mint nulla). Ez az egyenlőtlenség az élesen ferde eloszlásokra is igaz, ezáltal határokat szabva egy valószínűségi változó értékkészletének, amely egy bizonyos intervallumon belülre esik.

Legyen X egy unimodális eloszlású, átlagértékkel és véges, nem nulla varianciával rendelkező valószínűségi változó . Akkor bármelyikhez , $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\lambda >{\sqrt {8 \over 3}}\approx 1,63299$

P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2))}.

Az is látható, hogy abban az esetben, amikor , vannak olyan aszimmetrikus eloszlások, amelyeknél a határ megsérül. $\lambda <{\sqrt {8 \over 3}}$ $4 \over {9\lambda ^{2}}$

Ez a tétel erősíti a Csebisev-egyenlőtlenséget , beleértve a törtet is, amiatt, hogy az unimodalitási kényszer a valószínűségi változó eloszlási sűrűségére vonatkozik. $4\over 9$

A matematikai statisztika alkalmazásaiban nagyon gyakran használnak egy heurisztikus szabályt, amelyben , amely megfelel a valószínűség felső korlátjának , és így egy olyan korlátot állítanak elő, amely a valószínűségi változó értékének 95,06%-át tartalmazza. Normális eloszlás esetén a pontszám 99,73%-ra javul. $\lambda =3$ ${4 \over 81}\approx 0,04938$

Lásd még

Gauss-egyenlőtlenség , hasonló eredmény, ahol a távolságot a módustól veszik, nem pedig az átlagot.

Források

Vysochansky D. F., Petunin Yu. I. A 3 szigma szabály alátámasztása unimodális eloszlások esetén. — Valószínűségszámítás és mat. statisztika, 1979, sz. 21. o. 23-35.