Carleman egyenlőtlensége

A Carleman-egyenlőtlenség egy matematikai egyenlőtlenség , amelyet Thorsten Carleman svéd matematikusról neveztek el , aki 1923-ban publikálta és bebizonyította ezt az egyenlőtlenséget [1] . A Carleman-féle egyenlőtlenség a számtani átlag és a geometriai átlag közötti klasszikus egyenlőtlenség variációjaként fogható fel . Carleman ezzel az egyenlőtlenséggel bizonyította a kvázianalitikus függvényekre vonatkozó Denjoy-Carleman tételt [2] [3] .

Megfogalmazás

Legyen nemnegatív valós számok sorozata . Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn: ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3}\dots \))$

\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n))}\leqslant e\sum _{n= 1}^{\infty }a_{n}.

Az egyenlőtlenségben az e együttható (Euler-szám) optimális, vagyis az egyenlőtlenség nem mindig teljesül, ha e -t kisebb számmal helyettesítjük. Az egyenlőtlenség szigorúvá válik ("kisebb, mint", nem "kisebb vagy egyenlő" előjellel), ha legalább egy nem egyenlő nullával [4] . $a_n$

Integrált verzió

A Carleman-egyenlőtlenségnek van egy integrál változata, amely bármilyen nem negatív függvényre alkalmas : $f(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t) dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx

Carleson egyenlőtlensége

1954-ben Lennart Carleson javasolta a Carleman-féle integrál egyenlőtlenség általánosítását [5] :

Legyen egy konvex függvény , és akkor bármely számra teljesül a következő egyenlőtlenség: $g(x)$ $g(0)=0.$ $p>-1$

\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0} ^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.

A Carleman-egyenlőtlenség a Carleson-féle egyenlőtlenségből adódik $p=0.$

Bizonyítás

Az elemi bizonyítást az alábbiakban vázoljuk. Alkalmazzuk a sorozatra a számtani és a geometriai átlag közötti klasszikus egyenlőtlenséget : $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots$

M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^ {-1/n}\leqslant M_{arithm}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}

ahol a geometriai és a számtani átlag . Ezután kiírjuk a Stirling-képletből kapott egyenlőtlenséget : $M_{geom}$ $M_{arithm}$

n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}

vagy a következőre cserélve : $n$ $n+1$

(n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1))

bárkinek

n\geqslant 1.

Innen:

M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)))\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,

vagy:

\sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg ( }\sum _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geqslant 1 }\,a_{k}\,,

ami befejezi a bizonyítást.

Carleman egyenlőtlenségét Hardy egyenlőtlenségéből is levezethetjük :

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}

nem negatív számokhoz és ; ehhez a végtelenbe kell cserélnünk , és hajlamosak vagyunk a végtelenre. $a_n$ $p>1$ $a_n$ ${\displaystyle a_{n}^{1/p))$ $p$

Jegyzetek

↑ T. Carleman . Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
↑ Duncan, John. Carleman egyenlőtlensége (angol) // Amer. Math. Havi : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 110 , sz. 5 . - P. 424-431 . - doi : 10.2307/3647829 .
↑ Pecaric, Josip. Carleman egyenlőtlensége: történelem és új általánosítások // Aequationes Mathematicae : folyóirat. - 2001. - 20. évf. 61 , sz. 1-2 . - P. 49-62 . - doi : 10.1007/s000100050160 .
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , 334. tétel.
↑ Carleson, L. Carleman egyenlőtlenségének bizonyítéka // Proc . amer. Math. szoc. : folyóirat. - 1954. - 1. évf. 5 . - P. 932-933 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3 .

Irodalom

Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia D. Inequalities = Inequalities. - M. : KomKniga, 2006. - 458 p. — ISBN 5-484-00363-6 .
Rassias, Thermistocles M., szerkesztő. Felmérés a klasszikus egyenlőtlenségekről (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X . CS1 maint: Extra szöveg: szerzők listája (link) Rassias, Thermistocles M., szerkesztő. Felmérés a klasszikus egyenlőtlenségekről (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X .
Hormander, Lars. Lineáris parciális differenciáloperátorok elemzése I : eloszláselmélet és Fourier-analízis, 2. kiadás . — Springer, 1990. - ISBN 3-540-52343-X .

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Carleman-egyenlőtlenség , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4