Jensen egyenlőtlensége

A Jensen - egyenlőtlenség egy Johann Jensen által bevezetett egyenlőtlenség , amely szorosan kapcsolódik a konvex függvény definíciójához .

Formulációk

Befejező eset

Legyen a függvény konvex valamilyen intervallumon , és legyenek a számok olyanok, hogy $f\bal(x\jobb)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

és .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Ekkor, függetlenül attól, hogy milyen számok vannak az intervallumból , a következő egyenlőtlenség igaz: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

vagy

f\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Megjegyzések:

Ha a függvény konkáv (konvex felfelé), akkor az egyenlőtlenség előjele megfordul. $\f(x)$
Maga Johann Jensen egy sajátosabb kapcsolatból indult ki, nevezetesen

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, az esetnek felel meg .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}

Bizonyíték

A bizonyítást a matematikai indukció módszerével végezzük .

Ugyanis az egyenlőtlenség a konvex függvény definíciójából következik . $\n=2$
Tételezzük fel, hogy igaz valamilyen természetes számra , be fogjuk bizonyítani, hogy igaz -ra , azaz $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

Ennek érdekében a bal oldali utolsó két tag összegét egy tagra cseréljük $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\jobbra)

;

ez lehetővé teszi az egyenlőtlenség felhasználását és annak megállapítását, hogy a fenti kifejezés nem haladja meg az összeget $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\jobbra)

Már csak a függvény utolsó tagbeli értékére kell alkalmazni az egyenlőtlenséget . Így a matematikai indukció módszerével a Jensen-egyenlőtlenség teljes mértékben igazolt. $\n=2$

Geometriai értelmezés

A pont a pontok megfelelő konvex kombinációja . A konvex függvény definíciójából nyilvánvaló, hogy ennek a ponthalmaznak a konvex héja egybeesik magával a halmazzal. Ez azt jelenti, hogy a konvex kombináció tulajdonságaiból következik, hogy a kialakult pont a felsorolt pontokra épített sokszögön belül fog feküdni a jelzett sorrendben (ha az utolsót összekapcsoljuk az elsővel). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \pontok, (x_n, f(x_n))$

Geometriailag nyilvánvaló, hogy ebben az esetben a pont az alakzat egyik egyenese fölött lesz . De egy konvex függvény esetében a definíció szerint egy ilyen egyenes a függvény grafikonja felett helyezkedik el. Ez azt jelenti, hogy a pont a grafikon felett van, ami azt jelenti, hogy . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Integrál megfogalmazás

Konvex függvény és integrálható függvény esetén az egyenlőtlenség $\varphi \left(x\right)$ $f\bal(x\jobb)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Valószínűségi megfogalmazás

Legyen egy valószínűségi tér , és legyen rajta definiált valószínűségi változó . Legyen egy konvex (lefelé) Borel-függvény is . Aztán ha , akkor $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\ to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

ahol matematikai elvárást jelent . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Jensen egyenlőtlensége feltételes elvárásra

Legyen a fent felsorolt feltevéseken kívül események σ -algebrája . Akkor ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

ahol a feltételes várakozást jelöli a σ-algebrához képest . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Különleges esetek

Hölder egyenlőtlensége

Legyen , ahol (konvex függvény). Nekünk van $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, és

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Jelöljük , ahol tetszőleges pozitív számok vannak, akkor az egyenlőtlenség az alakba kerül $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\jobbra)^{{k-1}}\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Ha itt -ra és -re cseréljük , megkapjuk a jól ismert Hölder-egyenlőtlenséget : $\p_{i}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\jobbra)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\jobbra)^{{\frac {k-1}{k}}}

Cauchy-egyenlőtlenség

Legyen (konkáv függvény). Nekünk van $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\jobbra)

, vagy , potencírozva kapunk .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

Különösen, ha megkapjuk a Cauchy-egyenlőtlenséget ( a geometriai átlag nem haladja meg a számtani átlagot ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Egyenlőtlenség a harmonikus átlag és a geometriai átlag között

Legyen (konvex függvény). Nekünk van $\ f(x)=x\ln x$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Elhelyezés és potencírozás, kapunk

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ én}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( a harmonikus átlag nem haladja meg a geometriai átlagot )

Egyenlőtlenség a harmonikus átlag és a számtani átlag között

Legyen (konvex függvény). Nekünk van $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

Különösen, mert azt kapjuk, hogy a harmonikus átlag nem haladja meg a számtani átlagot : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Lásd még

Irodalom

Zorich V. A. Ch. V. Differenciálszámítás // Matematikai elemzés. I. rész – 6. kiadás. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 példányban. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Függvények vizsgálata deriváltak segítségével // Differenciál- és integrálszámítás menete. - 8. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 példány. — ISBN 5-9221-0156-0 .