Hölder egyenlőtlensége

Hölder egyenlőtlensége a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó diszciplínákban a terek alapvető tulajdonsága . $L^{p}$

Megfogalmazás

Legyen tér mértékkel , és véges integrálható -edik fokú forma függvényeinek tere . Ekkor a szeminormát az utóbbiban határozzuk meg : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \to \mathbb{R}$ $p$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\jobbra)^{{1/ p}}

ahol általában természetes számnak tekintik. $p\geq 1$

Hadd , és , hol . Aztán , és $f \in L^p$ $g\in L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Bizonyítás

Fogalmazzuk meg újra a Hölder-féle egyenlőtlenséget úgy, hogy a normákat a megfelelő integrálokkal fejezzük ki.
Legyen olyan tér, amelynek mértéke , , mérhető. Ezután: A bizonyításhoz a következő állítást használjuk ( Young egyenlőtlensége ): $x$ $\mu$ $E\X részhalmaz$ $E$
$f\in L^{{p}},g\in L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Jobbra nyíl \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{{1/p}}b^{{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Tegyük fel
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Az egyenlőtlenséget alkalmazva a következőket kapjuk:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\jobbra)$

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenség jobb oldala egy halmazon összegezhető (tehát a bal oldal összegezhetősége is következik). Az egyenlőtlenséget a -ba integrálva azt kapjuk, hogy a Hölder-egyenlőtlenség bebizonyosodott. Megjegyzés: Ha a vagy egyenlő 0-val, akkor ez azt jelenti, hogy vagy ekvivalens nullával , és Hölder egyenlőtlensége nyilvánvalóan érvényes. $E$ $E$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 }{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$I_1$ $én_{2}$ $f$ $g$ $E$

Különleges esetek

A Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség

A beállítással megkapjuk a tér Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségét . $p=q=2$ $L^{2}$

Euklideszi tér

Tekintsük az euklideszi teret vagy . -A norma ezen a téren a következő formában van: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}

és akkor

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\right)^{{1/q}},\;\forall x,y\in E

Space l p

Legyen megszámlálható mérték a . Ekkor az összes sorozat halmaza a következő: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty

hívott . A Hölder-féle egyenlőtlenség erre a térre a következőképpen alakul: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }} |y_{n}|^{q}\jobbra)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

Valószínűségi tér

Legyen egy valószínűségi tér . Ekkor olyan valószínűségi változókból áll , amelyek végső pillanata : , ahol a szimbólum a matematikai elvárást jelöli . A Hölder-féle egyenlőtlenség ebben az esetben a következőképpen alakul: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $p$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\jobbra)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

Lásd még

Irodalom

Sobolev S.L. A funkcionális elemzés néhány alkalmazása a matematikai fizikában. — 3. kiadás, átdolgozva és kiegészítve. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. Egy valós változó függvényének elméletének rövid kurzusa. - 2. kiadás, átdolgozva és kiegészítve. — M .: Nauka , 1973. — 352 p.