Monoid (kategóriaelmélet)

A kategóriaelméletben a monoid kategóriába tartozó monoid egy M objektum két morfizmussal együtt $(M,\mu ,\eta )$ $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$

$\mu :M\otimes M\to M$ (úgynevezett szorzás ),
és ( egységnek hívják ), $\eta :I\to M$

úgy, hogy a következő ötszögletű diagram

valamint egy diagramot

kommutatívak . A jelölés megegyezik a Monoid kategória cikkben leírtakkal : I a kategória egysége , és a bal és jobb eggyel való szorzásnak megfelelő asszociátor és morfizmusok. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$

Duálisan a C monoid kategóriájú komonoid a kettős kategóriába tartozó monoid . $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$

Legyen a C kategóriának szimmetriatranszformációja is . Ekkor egy monoidot szimmetrikusnak mondunk, ha $\gamma$ $M$

\mu \circ \gamma =\mu

Példák

A Set kategóriába tartozó monoid (amelyet a közvetlen szorzathoz képest monoid kategóriának tekintünk ) az általános algebrai értelemben vett monoid .
Az Abel-csoportok kategóriájába tartozó monoid ( tenzorszorzat -modulokkal ) egy gyűrű . $\mathbb {Z}$
Az Eckmann-Hilton-tételből következik, hogy a gyűrűk kategóriájába tartozó monoid (egységgel) kommutatív gyűrű .
Az R kommutatív gyűrű feletti modulok kategóriájába tartozó monoid egy R - algebra .
Monoid a vektorterek kategóriájában egy mező felett k - k - algebra , illetve komonoid - k - coalgebra .
Bármely C kategória esetében az endofunktorok [C,C] kategóriája ( önmagukba funkcionálók) [C,C] monoid szerkezetű, amelyet a kompozíciós művelet indukál. Az endofunktorok kategóriájába tartozó monoid [C,C] egy monád a C -ben .

A monoidok kategóriája

Legyen és két monoid egy C monoid kategóriában , a morfizmus monoid morfizmus , ha $(M,\mu ,\eta )$ $(M',\mu ',\eta ')$ $f:M\to M'$

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

A fent meghatározott morfizmusokkal rendelkező C - beli monoidok kategóriáját a következőképpen írjuk: . $\mathbf {hétfő} _{\mathbf {C} }$

Irodalom

McLane S. Kategóriák egy dolgozó matematikus számára - M .: Fizmatlit, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin - ISBN 3-11-015248-7