Módosított Pöschl-Teller potenciál

A módosított Pöschl-Teller- potenciál egy elektrosztatikus tér potenciális energiájának függvénye , amelyet Hertha Pöschl és Edward Teller fizikusok [1] egy kétatomos molekula energiájának közelítéseként javasoltak , a Morse-potenciál alternatívájaként.

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

A potenciális kútmélységet általában a következőképpen paraméterezzük: $U_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

A Schrödinger-egyenlet potenciális energiájú megoldását egy módosított Pöschl-Teller kút formájában a Legendre függvények segítségével ábrázoljuk .

Schrödinger egyenlet módosított Pöschl-Teller potenciállal

A módosított Pöschl-Teller potenciállal rendelkező stacionárius Schrödinger-egyenlet a következőképpen alakul:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Ha beírja a jelölést , akkor az a következő formában jelenik meg: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\right)\Psi(x)=0.

Megoldás hipergeometrikus függvényekkel

A változók változása után

y=\mathrm {ch^{2}}ax

kapunk

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Ha a megoldást a formában helyettesítjük

\Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)

akkor az egyenletet a hipergeometrikus formára redukáljuk

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v '(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

jelölve

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ left(\lambda -i{\frac {k}{a}}\right)

az általános megoldás formát ölt

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \ frac {3}{2}};1-y\right)

Az eredeti egyenlet alapvető megoldási rendszereként célszerű páros és páratlan megoldást választani, vagyis a paritás operátor sajátfüggvényeit :

{\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),

Páros megoldás felel meg és $A=1$ $B=0$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}ax\jobbra)

A páratlan megoldás megfelel a és $A=0$ $B=1$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\jobbra)

Kötött állapotok energiája

A kényelem kedvéért jelöljük , ekkor az energiát így írjuk $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.

A hipergeometriai függvények paraméterei alakot öltenek

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ left(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\right).

A normalizált függvények eléréséhez ki kell küszöbölni az aszimptotikumok végtelenben korlátlan tagjait, páratlan függvényeknél ez a feltétel a következőt ölti

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k

méghozzá

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k

Ezeket a feltételeket kombinálva megkapjuk az energiaszinteket:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}

Reflexiós és átviteli együtthatók

A reflexiós és átviteli együtthatók a következőképpen alakulnak:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

ahol a jelölés

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).

Amikor megkapjuk, hogy és ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Így a módosított Pöschl-Teller potenciál reflektívvé válik. $\lambda \in \mathbb {N}$

Megoldás Legendre függvényeken keresztül

Behelyettesítéssel a Schrödinger-egyenlet az egyenletre redukálható $u=\mathrm {th} ax$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ jobbra)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

Ennek az egyenletnek a megoldása a Legendre függvényekkel ábrázolható

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu}(u),

ahol . $\mu=ik/a$

Lásd még

Pöschl-Teller potenciál

Jegyzetek

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (német) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , sz. 3-4 . – S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Irodalom

Z. Flügge. Problémák a kvantummechanikában. - LKI Kiadó, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Intermolekuláris kölcsönhatások . – 2006.

Paul Harrison. Kvantumkutak, vezetékek és pontok . – 2005.

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom