A Klee poliéder egy olyan konstrukció, amely lehetővé teszi, hogy egy adott poliéderből új poliédert kapjunk. Nevét Victor Klee amerikai matematikusról kapta [1]
Legyen P konvex poliéder tetszőleges méretű térben. Ezután a P politóp P K Klee -politópját úgy alakítjuk ki, hogy P minden lapjához egy alacsony piramist adunk , amelynek alapja ezen a lapon [2] [3] .
A triakisztetraéder a Klee - tetraéder poliédere , a triakiszoktaéder a Klee - oktaéder poliédere , a triakizikosaéder pedig a Klee - ikozaéder poliédere . Mindezekben az esetekben a Klee poliéder úgy jön létre, hogy az eredeti poliéder minden lapjához egy háromszög alakú piramist adunk. Conway ehhez a művelethez a Kepler által bevezetett kis előtagot használta ( Conway kis operátora ), amely a Klee poliéderek nevében is látható.
A triakisztetraéder a Klee- tetraéder poliédere . |
A tetrakisexaéder a Klee - kockapoliéder . |
A triakizikosaéder a Klee- oktaéder poliédere . |
A pentakis dodekaéder a Klee dodekaéder politópja . |
A triakizikosaéder az ikozaéder Klee-politópja . |
A tetrakisexaéder a kocka Klee-poliédere , amelyet négyzet alakú piramisok hozzáadásával alakítanak ki minden laphoz, míg a pentakis dodekaéder a dodekaéder Klee-poliédere , amelyet ötszögletű piramisok hozzáadásával alakítanak ki.
A hexakizoktaéder a rombikus dodekaéder Klee poliédere . |
A hexakizikosaéder |
A tripentakisikozidodekaéder az ikozidodekaéder Klee poliédere. |
A Klee politóp alappolitópjának nem kell szabályosnak lennie . Például a hexakiszoktaéder a rombikus dodekaéder Klee-politópja , amelyet úgy alakítanak ki, hogy a dodekaéder minden rombuszlapját rombikus piramisra cserélik, a hexakizikosaéder pedig a rombikus triakontaéder Klee-politópja . Valójában az alappoliédernek nem kell fazetta-tranzitív szilárdtestnek lennie , amint az a fenti tripentakizikozidodekaéder példában látható.
A Goldner–Harari gráf egy háromszög alakú bipiramis Klee poliéderének csúcs- és élgráfjaként ábrázolható .
A kis csillag alakú pentakisz dodekaéder a kis csillagú dodekaéder Klee poliédere . |
A nagy csillag alakú pentakisz dodekaéder a nagy csillagképű dodekaéder Klee poliédere. |
A nagy pentakisz dodekaéder a nagy dodekaéder Klee poliédere. |
A nagy triakizikosaéder a nagy ikozaéder Klee poliédere. |
Ha P -nek a dimenziójához képest elegendő csúcsa van, akkor P Klee-politópja egyértelmű a dimenzió szempontjából – az élei és csúcsai által alkotott gráf nem egy másik dimenzióban lévő politóp gráfja. Pontosabban, ha egy d -dimenziós P politóp csúcsainak száma legalább d 2 /2 , akkor P K egyértelmû a [2] [5] dimenzió tekintetében .
Ha egy d-dimenziós P politóp bármely i - dimenziós oldala szimplex , és ha i ≤ d − 2 , akkor bármely ( i + 1) -dimenziós P K fazetta is szimplex. Konkrétan, bármely 3D-politóp Klee-politópja egy egyszerű politóp , egy olyan politóp, amelynek lapjai mind háromszögek.
A Klee-politóp használható olyan politópok generálására, amelyek nem tartalmaznak Hamilton-ciklusokat – a Klee-politóp konstruálásakor hozzáadott csúcsok egyikén áthaladó útvonalnak be kell lépnie a csúcsba, és az eredeti politóphoz tartozó szomszédain keresztül kell kilépnie belőle, és ha vannak Ha több új csúcsot hoz létre, mint az eredeti poliéder csúcsai, akkor nem lesz elég csúcs az út létezéséhez. A háromszög alakú bipiramis Klee-politópjának, a Goldner–Harari gráfnak hat csúcsa van a Klee-politóp megalkotásakor, és csak öt csúcsa van abban a bipiramisban, amelyből a Klee-politóp létrejött, tehát a gráf nem Hamilton-féle. Ez a legegyszerűbb nem hamiltoni egyszerűsített politóp [6] [7] . Ha egy n csúcsú poliédert egy tetraéderből kiinduló Klee-poliéder ismételt megszerkesztésével hozunk létre, akkor a leghosszabb útja O ( n log 3 2 ) hosszú . Azaz ezeknek a grafikonoknak a rövidségi indexe log 3 2 , megközelítőleg 0,630930. Ugyanez a technika azt mutatja, hogy bármely magasabb d dimenzióban vannak egyszerű poliéderek log d 2 közelségi indexszel [8] . Plummer [9] a Klee-politóp konstrukcióját használta, hogy végtelen számú példát hozott létre egyszerű politópokra, páros számú csúcsokkal, amelyeknek nincs tökéletes illeszkedése .
A Klee poliédereknek van néhány szélsőséges tulajdonsága a csúcsfokozatukhoz kapcsolódóan - ha egy síkgráf bármely éle legalább hét másik élre esik, akkor legfeljebb öt fokos csúcsnak kell lennie, de az egyik szomszédja 20 vagy 20 fokos lesz. több. Az ikozaéderes Klee-politóp Klee-politópja olyan példát ad, amelyben a magas fokú csúcsok foka pontosan 20 [10] .