Napier emlékező szabálya

A Napier-féle mnemonikai szabály az alapvető arányok egy derékszögű gömbháromszögbe írható formája, amely könnyen megjegyezhető.

A szabály megfogalmazása és indoklása

Megfogalmazás

A Napier-féle mnemonikai szabály a következőképpen fogalmazható meg [1] :

Egy derékszögű gömbháromszög három szomszédos eleménél a középső elem koszinusza egyenlő a szomszédos elemek kotangenseinek szorzatával, három nem szomszédos elem koszinusza pedig a másik kettőtől különálló elem koszinusza egyenlő szinuszuk szorzatával. Ebben az esetben a lábak helyett a komplementereiket 90 fokig veszik, és a derékszöget egyáltalán nem tekintik elemnek.

Két példa:

\cos B=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c))

\cos B=\sin {\overline {b))\sin A=\sin(90^{\circ }-b)\sin A=\cos b\sin A

A szabály alkalmazásának kényelmesebbé tétele érdekében rajzoljon egy kört, ossza fel öt részre sugárral, és írja be a derékszögű gömbháromszög összes elemét, a derékszög kivételével, abban a sorrendben, hogy a háromszögben helyezkednek el. Mindegyik lábat vízszintes vonallal jelölik felette, vagy egy aposztrófot mellette - ez a láb komplementerének jele 90 fokig. Könnyű megtalálni a megfelelő három elemet a körön, és alkalmazni rájuk a mnemonikus szabályt.

Indoklás

Bizonyítsunk be egy képletet egy derékszögű gömbháromszög három szomszédos elemére, és egy képletet két szomszédos és egy különálló elemre [2] , majd a Napier-féle mnemonikai szabály alátámasztására (és egyben bizonyítsuk be magukat a képleteket is), amely megadja mind a tíz ilyen képletet egy derékszögű gömbháromszögre, alkalmazzuk erre a két képletre, Lambert nyomán a csillagozott ötszög [3] .

Vegyünk két lábat a és b (szomszédos elemek) és c hipotenuszt (külön elem). Ezeket a gömb alakú Pitagorasz-tétel köti össze , amit az erről szóló cikk bizonyít. Ezért ebben az esetben gyakorlatilag nincs mit bizonyítani. Csak azt jegyezzük meg

\cos c=\cos a\cos b=\sin(90^{\circ }-a)\sin(90^{\circ }-b)=\sin {\overline {a))\sin {\overline {b)),

vagyis erre a három elemre érvényes Napier mnemonikai szabálya. Most levezetünk egy képletet három szomszédos elemre. Vegyük a c hipotenúzust, az a lábszárat és a B szöget. A gömbi Pitagorasz-tétel bizonyításához hasonlóan tekintsük az OA 1 B 1 C 1 háromszöget , amelynek oldalai (sugarak) OA 1 , OB 1 , OC 1 és csúcsa a adott ABC derékszögű gömbháromszögnek megfelelő O pont.

vegye észre, az

{\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle A_{1}OB_{1}=\mathrm {tg} \, c,

{\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle B_{1}OC_{1}=\mathrm {tg} \, a,

{\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\cos \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\cos B.

Innen

\mathrm {tg} \,a={\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}={\frac {A_{1}B_{1}}{B_{ 1}O}}\cdot {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\mathrm {tg} \,c\cos B,

\cos B={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c}}=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c,

vagyis erre a három elemre érvényes Napier mnemonikai szabálya. Mindkét képlet bevált. Marad a csillagötszög alkalmazása.

Az ábrán az elemek hozzáadását 90 fokig aposztrófokkal jelöljük. Ez a csillagozott ötszög a következőképpen épül fel. A gömbre egy adott ABC gömbháromszöget rajzolunk, melynek A és B csúcsai az ötszög első két csúcsa. Ezután megrajzoljuk az A és B pontok polusait, a metszéspontjuk a c hipotenusz másik oldalán található a C csúcstól, az ötszög harmadik csúcsa lesz, és ezeknek a sarkoknak a két metszéspontja. az a és b oldalak folytatásával lesz az ötszög másik két csúcsa. Az ötszög oldalainak kiterjesztései metszik egymást, és öt gömb alakú háromszöget alkotnak. Könnyen belátható, hogy az ötszög minden csúcsa egy-egy pólus az ellenkező oldalához. Ezért mind az öt gömbháromszög derékszögű lesz. Innen az ábrán feltüntetett összes elemük értékét is megkapjuk.

Az ABC gömbháromszögre fentebb bebizonyítottuk a Napier-féle mnemonikus szabály két képletét. Minden következő, az óramutató járásával megegyező irányú derékszögű gömbháromszög elemei megfelelnek az előző elemeinek, teljes fordulat 2/5-ével elforgatva, vagy azok komplementerei 90 fokig. Ezért a kapott két képletet egymás után az egyes háromszögek megfelelő elemeire alkalmazva megkapjuk mind a 10 formulát és mindegyikre ugyanazt a Napier-féle mnemonikai szabályt.

Történelem

Napier mnemonikai szabálya John Napier nevéhez fűződik , aki "A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása" (1614) című híres munkájában publikálta, és az általa ebben a munkában meghatározott új matematikai fogalom alkalmazásának demonstrációjaként idézte. logaritmus , és a mnemonikus Napier-szabályokban az egyenlőség mindkét része prologaritmikus. Napier mnemonikus szabályának elegáns és vizuális matematikai indoklását a csillagozott ötszög segítségével Johann Lambert adta meg "Additions to the Application of Mathematics and Their Applications" című, 1765-ben megjelent munkájában [3] . Később a gömbön lévő csillagozott ötszöget Carl Gauss használta ugyanennek (valószínűleg Lambert művében nem olvasott róla) és más tulajdonságok alátámasztására, Gauss "csodálatos pentagramnak" ( lat. pentagramma mirificum ) nevezte [4] . .

A derékszögű gömbháromszög összefüggéseinek csillagozott ötszögével való igazítás kissé univerzális módszernek bizonyult: Nyikolaj Lobacsevszkij öt derékszögű háromszögből álló sorozatot használt, hogy egy derékszögű háromszög elemei közötti összefüggést származtassa. az általa vizsgált térben később S. Mukopadiaya indiai matematikus ugyanabban a térben kapcsolta össze ezt a sorozatot egy ötszöggel, majd később Alexander Norden orosz matematikus teremtett kapcsolatot a gömbön lévő csillag alakú ötszög és az említett ötszög között. Lobacsevszkij tér [3] .

Jegyzetek

↑ Sztyepanov N.N. Napier-féle mnemonikus szabály // Szférikus trigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 48 -49. — 154 p.
↑ Sztyepanov N.N. Szférikus trigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.
↑ 1 2 3 B.L. Laptev. Lambert egy geometria. // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1980. - 25. sz . - S. 248-252 .
↑ Magnus J. Weninger. Poliéder modellek . - Cambridge University Press , 1974. - C. xi. — 228 p.

Szférikus trigonometria
Alapfogalmak	gömb alakú háromszög poláris háromszög Felesleg Bigon
Képletek és arányszámok	Koszinusz tételek Szinusztétel Öt elem képlet Féloldalas képlet Napier emlékező szabálya Gömb alakú Pitagorasz-tétel Delambre képletek Napier-féle analógia képletek Legendre tétele Háromszögek megoldása
Kapcsolódó témák	Gömbös koordinátarendszer gömbgeometria háromszögű