Gépészeti munka

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Munka
$A,W$
Dimenzió	L 2 MT -2
Egységek
SI	J
GHS	erg
Megjegyzések
skalár

A mechanikai munka - fizikai mennyiség - egy erő (eredményes erő) testre vagy a testek rendszerére ható erők hatásának skaláris mennyiségi mértéke . Az erő (erők) számértékétől és irányától, valamint a test ( testrendszer) elmozdulásától függ [1] .

Egy anyagi pont állandó erővel és egyenes vonalú mozgásával a munkát az erő nagyságának és az elmozdulásnak, valamint az elmozdulás és az erővektorok közötti szög koszinuszának szorzataként számítjuk ki: . Bonyolultabb esetekben (nem állandó erő, görbe vonalú mozgás) ez az arány kis időintervallumra vonatkozik, és az összmunka kiszámításához az összes ilyen intervallumra vonatkozó összegzés szükséges. $A=Fs\cos(F,s)$

A mechanikában a testen végzett munka az egyetlen oka annak, hogy megváltoztassa az energiáját ; a fizika más területein az energia más tényezők hatására is változik (például a termodinamikában , hőátadás).

A munka meghatározása

Definíció szerint az „elemi” (végtelenül rövid idő alatt elvégzett) munka az anyagi pontra ható erő és az elmozdulás skaláris szorzata , azaz $\vec{F}$ $d{\vec {s))$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

A δ szimbólum használata (nem pedig ) annak a ténynek köszönhető, hogy a munkakülönbség nem feltétlenül teljes. A véges időtartamú munka az elemi munka szerves része : $d$

A=\int \delta A

Ha létezik anyagi pontrendszer, akkor az összesítést minden ponton elvégezzük. Több erő jelenlétében a munkájukat ezen erők eredőjének (vektorösszegének) munkájaként határozzuk meg.

Jelölés, méret

A munkát általában nagybetűvel ( német A rbeit - munka, munkaerő) vagy nagybetűvel ( angol w ork - munka, munkaerő) jelölik. $A$ $W$

A munka mértékegysége (dimenziója) a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a joule , a CGS - ergben . Ahol

1 J = 1 kg m² / s² = 1 Nm ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dyne cm ; 1 erg \ u003d 10–7 J.

Munkaszámítás

Egy anyagi pont esete

Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgása és a rá ható erő állandó értékével a munka (ennek az erőnek) egyenlő az erővektor mozgásirányra vetületének és az elmozdulásvektor hosszának szorzatával. pont tette:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Itt a " " skaláris szorzatot jelöli , az eltolási vektort . $\,\cdot \,$ ${\vec s}$

Ha a kifejtett erő iránya merőleges a test elmozdulására, vagy az elmozdulás nulla, akkor ennek az erőnek a munkája nulla.

Általános esetben, ha az erő nem állandó, és a mozgás nem egyenes vonalú, a munkát a pont pályája mentén egy második típusú görbe vonalú integrálként számítjuk ki [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(az összegzés a görbe mentén történik, ami az elmozdulásokból álló szaggatott vonal határértéke , ha először végesnek tekintjük őket, majd hagyjuk, hogy mindegyik hossza nullára csökkenjen). $d{\vec {s))$

Ha az erő függ a koordinátáktól [3] , akkor az integrált a következőképpen határozzuk meg [4] :

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\jobbra)\cdot d{\vec {r}}

ahol és a test kezdeti és végső helyzetének sugárvektorai . Például, ha a mozgás a síkban történik , és ( , - orts ), akkor az utolsó integrál a következőt veszi fel , ahol a derivált a görbe , amely mentén a pont mozog. ${\vec r}_{0}$ ${\vec r}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Ha az erő konzervatív (potenciális) , akkor a munka kiszámításának eredménye csak a pont kezdeti és végső helyzetétől függ, de nem attól, hogy milyen pályán haladt. $\vec{F}$

Pontrendszer vagy szilárd test esete

A rendszert az anyagi pontokból elmozdító erők munkáját az egyes pontok elmozdításához szükséges erők munkájának összegeként határozzuk meg (a rendszer egyes pontjain végzett munkát ezen erők rendszerre gyakorolt munkájában összegezzük): $N$

A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N

Ha a test nem diszkrét pontok rendszere, akkor (mentálisan) felosztható végtelenül kicsi elemek (darabok) halmazára, amelyek mindegyike anyagi pontnak tekinthető, és a munka a definíció szerint kiszámítható. felett. Ebben az esetben a diszkrét összeget egy integrál helyettesíti:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

ahol a testtérfogat egy végtelenül kicsi , a koordináta közelében (a test vonatkoztatási rendszerében) lokalizált töredékének mozgatása a kezdeti helyzetből a végső helyzetbe, (N/m 3 ) a hatás sűrűsége erőt, és az integráció a test teljes térfogatára kiterjed. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec {r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Ezek a képletek mind egy adott erő vagy erőosztály munkájának, mind pedig a rendszerre ható összes erő által végzett teljes munka kiszámítására használhatók.

Munka és mozgási energia

A mozgási energia a mechanikában a munka fogalmával közvetlenül összefüggésben kerül bevezetésre.

Newton második törvényét használva , amely lehetővé teszi az erő kifejeződését a gyorsulásban mint (hol van egy anyagi pont tömege), valamint az és összefüggéseket , az elemi munka átírható így: ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { v}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\jobbra)dt

Amikor a kezdeti pillanattól a végső pillanatig integrálunk, azt kapjuk

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

hol van a mozgási energia . Anyagi pont esetében ez a pont tömegének és sebességének négyzetének szorzatának a fele, és a következővel fejezhető ki [5 ] . A sok részecskéből álló összetett objektumok esetében a test mozgási energiája megegyezik a részecskék kinetikus energiáinak összegével. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Munka és potenciális energia

Egy erőt potenciálnak nevezünk, ha létezik a koordináták skaláris függvénye, amelyet potenciális energiának nevezünk , és jelöljük . $E_{p}$

{\vec {F}}=-\nabla E_{p}

Itt van a nabla operátor . Ha a részecskékre ható összes erő konzervatív, és az összes potenciális energia, amelyet az egyes erőknek megfelelő potenciális energiák összegzésével kapunk, akkor $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\jobbra d(E_{k}+E_{p})=0

Ezt az eredményt a mechanikai energia megmaradásának törvényeként ismerik, és kimondja, hogy a teljes mechanikai energia

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

zárt rendszerben, amelyben konzervatív erők hatnak, időben állandó. Ezt a törvényt széles körben használják a klasszikus mechanika problémáinak megoldására .

Egy erő munkája az elméleti mechanikában

Mozogjon egy anyagi pont egy folytonosan differenciálható görbe mentén , ahol s változó ívhosszúság , és a pályára tangenciálisan ható erő hat a mozgás irányában (ha az erő nem érintőlegesen irányul, akkor megértjük a az erő vetítése a görbe pozitív érintőjére, így ezt az esetet az alábbiakban tárgyaltra csökkentve). $M$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F(ek)$ $F(ek)$

Az értéket a helyszínen kifejtett erő elemi munkájának nevezzük, és az erő által előidézett munka hozzávetőleges értékének tekintjük, amely egy anyagi pontra hat, amikor az utóbbi áthalad a görbén . Az összes elemi munka összege a függvény Riemann-integrálösszege . $F(\xi _{i})\triangle s_{i},\triangle s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $GI}$ $F$ $GI}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\háromszög s_{i}$ $F(ek)$

A Riemann-integrál definíciójával összhangban munkát definiálhatunk:

Azt a határt , amelyre az összes elemi munka összege hajlik , amikor a partíció finomsága nullára hajlik , a görbe mentén ható erő munkájának nevezzük . $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\háromszög s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $G$

Így, ha ezt a művet betűvel jelöljük , akkor e meghatározás értelmében $A$

A=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}=\ int \limits _{0}^{s}F(s)ds

Ha egy pont helyzetét a mozgási pályán valamilyen más paraméterrel (például idővel) írjuk le, és ha a megtett távolság egy folyamatosan differenciálható függvény, akkor az utolsó képlet ad eredményt. $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Termodinamikai munka

A termodinamikában a gáz által a tágulás során végzett munkát [6] a nyomás és a térfogat integráljaként számítják ki:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

A gázon végzett munka abszolút értékben egybeesik ezzel a kifejezéssel, de ellentétes előjelű.

Ennek a képletnek a természetes általánosítása nemcsak azokra a folyamatokra vonatkozik, ahol a nyomás a térfogat egyértékű függvénye, hanem bármely folyamatra is (amelyet a síkban lévő bármely görbe ábrázol ), különösen a ciklikus folyamatokra. $PV$
A képlet elvileg nemcsak gázra alkalmazható, hanem bármire, ami nyomást képes kifejteni (csak az szükséges, hogy a nyomás az edényben mindenhol azonos legyen, amit a képlet implicit módon magában foglal).

Ez a képlet közvetlenül kapcsolódik a mechanikai munkához, bár úgy tűnik, hogy a fizika egy másik részéhez tartozik. A gáznyomás erő merőlegesen irányul minden elemi területre, és egyenlő a nyomás és a terület szorzatával . Amikor az edény kitágul, a gáz által végzett munka egy ilyen elemi terület kiszorítása érdekében lesz $P$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Ez a nyomás és a térfogatnövekedés szorzata az elemi terület közelében. Az összes összegzése után megkapjuk az eredményt, ahol már teljes mennyiségnövekedés következik be, mint a szakasz fő képletében. $dS$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Work of force // Physical Encyclopedia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Nagy Orosz Enciklopédia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 p. - 40.000 példány. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Ez azon az alapon történik, hogy a teljes végső elmozdulást fel lehet bontani kis egymást követő elmozdulásokra , amelyek mindegyikére az erő csaknem állandó lesz, ami azt jelenti, hogy használható lesz a fent bevezetett állandó erő definíciója. . Ezután az összes mozdulattal végzett munka összegződik, aminek eredményeként az integrált kapjuk . $d{\vec {s))$ $d{\vec {s))$
↑ Ahogy az lenni szokott. Pl. Coulomb-mező esetén feszítő rugó, bolygó gravitációs ereje stb.
↑ Lényegében az előzőn keresztül, hiszen itt ; a kis eltolási vektor egybeesik -vel . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ $d{\vec {s))$ $d{\vec {r}}$
↑ Targ S. M. Kinetic energy // Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 p. — 100.000 példány. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ A sűrített gáz által végzett munka nyilvánvalóan negatív, de kiszámítása ugyanazzal a képlettel történik. A gáz (vagy gázon) anélkül végzett munkája, hogy kitágítaná vagy összenyomná (például keverővel történő keverés során), elvileg hasonló képlettel fejezhető ki, de mégsem közvetlenül ezzel, mivel általánosítást igényel: a tény az, hogy a képletben a nyomást az egész térfogatban azonosnak tételezzük fel (amit a termodinamikában gyakran meg is tesznek, mivel gyakran egyensúlyhoz közeli folyamatokkal foglalkozik), ami a legegyszerűbb képlethez vezet (ebben az esetben például egy forgó keverőnél eltérő lesz a nyomás a lapát elülső és hátsó oldalán, ami a képlet szükséges bonyolításához vezet, ha ilyen esetre akarjuk alkalmazni; ezek a megfontolások minden másra vonatkoznak nem egyensúlyi esetek, amikor a nyomás nem azonos a rendszer különböző részein). $\int PDF$

Irodalom

A mechanika története az ókortól a 18. század végéig. 2 kötetben M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Beszélgetések a mechanikáról. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. A fizika története. M.: Mir, 1970.
Mach, E. A munka megőrzésének elve: A történelem és annak gyökere. SPb., 1909.
Mach E. Mechanika. Kialakulásának történetkritikai vázlata. Izevszk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. A mechanika története és módszertana. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1979.