Tétel a rendszer mozgási energiájáról

A rendszer kinetikus energiájára vonatkozó tétel a dinamika egyik általános tétele [1] , a Newton-törvények következménye . Összekapcsolja a mechanikai rendszer mozgási energiáját a rendszert alkotó testekre ható erők munkájával . A szóban forgó rendszer bármilyen testből álló mechanikai rendszer lehet [2] [3] .

tétel állítása

Egy rendszer kinetikus energiája a rendszerben lévő összes test mozgási energiáinak összege. Az így definiált értékre a [2] [3] állítás igaz :

A tétel lehetővé teszi az általánosítást a nem inerciális vonatkoztatási rendszerek esetére . Ebben az esetben a hordozható tehetetlenségi erők munkáját hozzá kell adni minden külső és belső erő munkájához ( a Coriolis -féle tehetetlenségi erők nem tudnak munkát termelni) [4] .

A tétel bizonyítása

Tekintsünk egy anyagi pontrendszert tömegekkel , sebességekkel és mozgási energiákkal . A kinetikus energia ( differenciál ) kis változása esetén , amely egy kis időintervallum alatt következik be , $m_i$ $\vec v_i$ $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$ $dt,$

dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i }{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.

Figyelembe véve, hogy mekkora az i - edik pont gyorsulása és ugyanannak az időpontnak a mozgása , az eredményül kapott kifejezés a következőképpen írható fel: ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ ${\vec {a}}_{i}$ ${\vec {v}}_{i}dt$ $d{\vec {s}}_{i}$ $dt$

dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.

Newton második törvényét használva és a pontra ható összes erő eredőjét mint jelölve megkapjuk ${\displaystyle F_{i))$

dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},

majd a munkakör meghatározása szerint ${\displaystyle dA_{i))$

dT_{i}=dA_{i}.

Az összes ilyen típusú egyenlet összegzése, minden egyes anyagi pontra felírva, egy képlethez vezet, amely megváltoztatja a rendszer teljes kinetikus energiáját:

dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.

Ez az egyenlőség a rendszer kinetikus energiájának változására vonatkozó tétel állítását fejezi ki differenciális formában.

A kapott egyenlőség mindkét részét integrálva egy tetszőlegesen felvett időintervallumban néhány és között , megkapjuk a kinetikus energia változására vonatkozó tétel kifejezését integrál formában: $t_{1}$ $t_{2}$

T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},

ahol és a rendszer kinetikus energiájának értékei az időpillanatokban , ill. $T_{1}$ $T_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$

Hangsúlyozni kell, hogy itt a rendszer impulzusának változásáról szóló tétel és a rendszer tömegközéppontjának mozgására vonatkozó tétel eseteivel ellentétben nemcsak külső, hanem belső erők hatása is. figyelembe veszik.

A mechanikai energia megmaradásának törvénye

Különösen érdekesek azok a rendszerek, amelyekben potenciális erők hatnak a testekre [5] . Az ilyen erőkre bevezetjük a potenciális energia fogalmát , amelynek változása egy anyagi pont esetén értelemszerűen kielégíti a következő összefüggést:

W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},

ahol és a pont potenciális energiájának értékei a kezdeti és a végállapotban, és a potenciális erő munkája, amelyet akkor végeznek, amikor a pont a kezdeti állapotból a végső állapotba kerül. ${\displaystyle W_{1i))$ ${\displaystyle W_{2i))$ $A_{pi}$

A rendszer potenciális energiájának változását a rendszer összes testének energiáiban bekövetkezett változások összegzése eredményeként kapjuk meg:

W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.

Ha a rendszer testeire ható összes belső és külső erő potenciális [6] , akkor

\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).

A kapott kifejezést behelyettesítve a kinetikus energia tétel egyenletébe, a következőt kapjuk:

T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})

vagy mi ugyanaz

T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.

Más szavakkal, kiderül, hogy a rendszer teljes mechanikai energiájára , $T+W$

T+W=const.

Így a következő következtetést vonhatjuk le:

Ez az állítás a mechanikai energia megmaradási törvényének a tartalma , amely a kinetikus energiára vonatkozó tétel következménye, és egyben az energiamaradvány általános fizikai törvényének [2] [3] speciális esete .

Ideális stacionárius kényszerekkel rendelkező rendszer esete

Azokban az esetekben, amikor a vizsgálat tárgya csak a rendszer mozgása, és a kötések reakciói nem érdekesek, az ideális stacionárius kötésekkel rendelkező rendszer tételének megfogalmazását használják, amelyet a d' figyelembevételével vezetnek le. Alembert-Lagrange elv .

Az ideális stacionárius kötésekkel rendelkező rendszer kinetikus energiájának változásáról szóló tétel [7] :

A tétel bizonyítása a következőképpen történik. Az általános dinamikai egyenletben helyettesítve a -val , a következőt kapjuk: $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {v}}_{k}dt$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\ vec{v}}_{k}dt

vagy

(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt

Azóta végre megkapjuk: $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$

{\displaystyle dT=d'A^{ae}+d'A^{ai))

Ezekben a kifejezésekben a felső ikonok a következőket jelölik: - aktív (vagyis nem kötési reakció) erő, ( angolul external ) és ( angolul interior ) - külső és belső erők. ${\megjelenítési stílus ^{a))$ ${\megjelenítési stílus ^{e))$ ${\megjelenítési stílus ^{i))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Dynamics // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. — S. 616-617. — 707 p. — 100.000 példány.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - M . : Felsőiskola, 1995. - S. 301-323. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Zhuravlev VF Az elméleti mechanika alapjai. - M . : Fizmatlit, 2001. - S. 70-71. — 319 p. — ISBN 5-95052-041-3 .
↑ Zhirnov N. I. Klasszikus mechanika. — Sorozat: tankönyv pedagógiai intézetek fizika és matematika karának hallgatói számára. - M., Felvilágosodás , 1980. - Példányszám 28 000 példány. - Val vel. 262
↑ Emlékezzünk vissza, hogy az erőket potenciálisnak nevezzük, ha az anyagi pont mozgatásakor végzett munkát csak a pont kezdeti és végső helyzete határozza meg, és nem függ a pályaválasztástól.
↑ Vagyis nincsenek disszipatív erők .
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. A klasszikus mechanika alapjai. - M .: Felsőiskola, 1999. - S. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5