Tétel a rendszer lendületének változásáról

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A rendszer mozgásmennyiségének (impulzusának) változásáról szóló tétel a dinamika egyik általános tétele [1] , a Newton-törvények következménye . A mozgás mértékét a rendszert alkotó testekre ható külső erők lendületével társítja . A tételben hivatkozott rendszer lehet bármilyen testből álló mechanikai rendszer [2] [3] .

tétel állítása

Egy mechanikai rendszer mozgásának mértéke (impulzusa) a rendszerben lévő összes test mozgásmennyiségének (impulzusának) összegével egyenlő érték. A rendszer testeire ható külső erők impulzusa a rendszer testeire ható összes külső erő impulzusainak összege.

Egy rendszer impulzusváltozási tétele a következőt mondja ki : [2] [3] :

A tétel lehetővé teszi az általánosítást a nem inerciális vonatkoztatási rendszerek esetére . Ebben az esetben a külső erőkhöz hozzá kell adni a hordozható és a Coriolis tehetetlenségi erőket [4] .

Bizonyítás

Álljon a rendszer tömegű és gyorsulású anyagi pontokból . A rendszer testeire ható összes erő két típusra osztható: $N$ $m_{i}$ ${\vec a}_{i}$

A külső erők olyan erők, amelyek olyan testek részéről hatnak, amelyek nem szerepelnek a vizsgált rendszerben. Az i számú anyagi pontra ható külső erők eredőjét jelöljük . $\vec F_i$
A belső erők azok az erők, amelyekkel a rendszer testei kölcsönhatásba lépnek egymással. Azt az erőt jelöljük , amellyel egy k számú pont egy i számú pontra hat , és az i -edik pont erejét a k -adik pontra - . Nyilván, ha , akkor ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

A bevezetett jelölést használva felírjuk Newton második törvényét minden egyes figyelembe vett anyagi pontra az alakban

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Ezt figyelembe véve és Newton második törvényének összes egyenletét összegezve a következőt kapjuk: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

A kifejezés a rendszerben ható összes belső erő összege. Newton harmadik törvénye szerint ebben az összegben minden erő egy olyan erőnek felel meg , amely és ezért teljesül. Mivel a teljes összeg ilyen párokból áll, maga az összeg egyenlő nullával. Így lehet írni $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

A rendszer impulzusának jelölésével azt kapjuk, hogy $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec {P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Figyelembe véve a külső erők lendületének változását , megkapjuk a rendszer impulzusának változására vonatkozó tétel kifejezését differenciális formában: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Így az utolsó kapott egyenletek mindegyike lehetővé teszi, hogy kijelentsük: a rendszer lendületének változása csak külső erők hatására következik be, és a belső erők erre az értékre semmilyen hatással nem lehetnek.

A kapott egyenlőség mindkét részét integrálva egy tetszőlegesen felvett időintervallumban néhány és között , megkapjuk a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel kifejezését integrál formában: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

ahol és a rendszer mozgásának értékei az időpillanatokban , illetve , és a külső erők impulzusa az időintervallumban . A fentieknek és a bevezetett jelöléseknek megfelelően ${\vec {P}}_{1}$ ${\vec {P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ $t_{2}-t_{1}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

A rendszer lendületének megmaradásának törvénye

A rendszer lendületének változására vonatkozó tételből az következik, hogy külső erők hiányában (zárt rendszer), valamint ha az összes külső erő összege nulla, és . Más szóval a kapcsolat $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=const.

Így a következtetés a következő:

Ez az állítás a rendszer impulzusmegmaradási törvényének [2] [3] tartalma .

Vannak esetek, amikor a külső erők összege nem egyenlő nullával, de vetülete bármely irányba nullával egyenlő. Ekkor a rendszer ezen irányú mozgásának vetületének változása is egyenlő nullával, vagyis, ahogy mondani szokás, az ebben az irányú mozgásmennyiség megmarad .

Ideális stacionárius kényszerekkel rendelkező rendszer esete

Azokban az esetekben, amikor a vizsgálat tárgya csak a rendszer mozgása, és a kötések reakciói nem érdekesek, az ideális stacionárius kötésekkel rendelkező rendszer tételének megfogalmazását használják, amelyet a d' figyelembevételével vezetnek le. Alembert-Lagrange elv .

Az ideális stacionárius kényszerekkel rendelkező rendszer impulzusának változásáról szóló tétel [5] :

Az „aktív” erőkkel kapcsolatban (alatt a képletekben szimbólummal vannak jelölve ) azt jelenti, hogy „nem kötések reakciói”. ${\megjelenítési stílus ^{a))$

Valójában a feltételnek megfelelően a rendszer minden pontja lehetővé teszi az elmozdulást a rögzített tengellyel párhuzamosan . Az általános dinamikai egyenletben helyettesítve a -val , a következőt kapjuk: $\delta x$ $x$ $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {i}}\delta x$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

vagy

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _{k}){\vec {i))

vagy

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {én}}

végül megtaláljuk:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

Az utolsó előtti egyenletben az aktív erők összege magában foglalja a külső aktív és a belső aktív erőket. Azonban a belső aktív erők geometriai összege, mint páronként egyenlő és ellentétes, egyenlő nullával, ezért a végső egyenletben csak a külső (egy további ikon az angol external ) aktív erők szerepelnek. ${\vec {F}}_{k}^{a}$ ${\megjelenítési stílus ^{e))$

Történelem

Az impulzusmegmaradás törvényéről Isaac Newton 1687 -ben megjelent híres művében, " Mathematical Principles of Natural Philosophy " (Mathematical Principles of Natural Philosophy) azt írta: ellenkezőleg, nem változik a testek egymás közötti kölcsönhatásától” [6] . A kommentátor ezzel a megfogalmazással kapcsolatban megjegyzi, hogy bár csak az egy egyenes mentén mozgó testek esetét, I. Newtont veszi figyelembe, amint az ugyanebben a könyvben megjelent többi kijelentése is mutatja, álláspontja nem korlátozódott erre a konkrét esetre. [6] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Dynamics // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. - S. 616-617. — 707 p. — 100.000 példány.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - M . : Felsőiskola, 1995. - S. 280-284. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev A.P. Elméleti mechanika. - M .: Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 p.
↑ Zhirnov N. I. Klasszikus mechanika. — Sorozat: tankönyv pedagógiai intézetek fizika és matematika karának hallgatói számára. - M., Felvilágosodás , 1980. - Példányszám 28 000 példány. - Val vel. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. A klasszikus mechanika alapjai. - M .: Felsőiskola, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . A természetfilozófia matematikai alapelvei = Philosophia naturalis principia matematica / A. N. Krylov latin fordítása és jegyzetei . - M. : Nauka, 1989. - S. 45. - 688 p. - (A tudomány klasszikusai). - ISBN 5-02-000747-1 .