Átmeneti mátrix

A lineáris algebrában a dimenziós vektortér alapja vektorok sorozata, így a tér bármely vektora egyedileg ábrázolható bázisvektorok lineáris kombinációjaként . Adott alapon az operátorok négyzetmátrixokként vannak ábrázolva . Mivel gyakran több bázissal kell dolgozni ugyanabban a vektortérben, szükség van egy szabályra a vektorok és operátorok koordinátáinak bázisról bázisra történő fordítására . Az ilyen átmenetet az átmeneti mátrix segítségével hajtjuk végre . $n$ $n$ $(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$

Definíció

Ha a vektorokat vektorokkal fejezzük ki : $\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ $\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}}$

\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n}

\mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n}

\ldots

\mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}

akkor a bázisról bázisra való átmenet mátrixa a következő lesz : $(\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )$ $(\mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n))$

{\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&. ..&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{ nn}\end{pmatrix}}

Használat

Ha a mátrix inverzét az átmeneti mátrixszal megszorozzuk egy vektor bázisban kifejezett kiterjesztésének együtthatóiból álló oszloppal, ugyanazt a vektort kapjuk bázisban kifejezve . $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$

Példa

Egy vektor θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányba történő elforgatásához megszorozhatja vele az elforgatási mátrixot :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

A leggyakoribb transzformációk mátrixai
	Kétdimenziós koordinátákban	Homogén kétdimenziós koordinátákban	Homogén háromdimenziós koordinátákban
Méretezés Ha a , b és c a léptékező tényezők az OX , OY és OZ tengelyek mentén :	${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmátrix))$
Fordulat Amikor φ a kép elfordulási szöge a kétdimenziós térben	Óramutató járásával megegyező ${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmátrix))$	${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmátrix))$	OX -hoz viszonyítva a φ szöggel ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmátrix))$	OY -hoz viszonyítva a ψ szöggel ${\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmátrix))$
	Óramutató járásával ellentétes irányban ${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmátrix))$		OZ -hoz viszonyítva a χ szöggel ${\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmátrix))$
mozgó Az a , b és c - eltolás esetén az OX , OY és OZ tengelyek mentén .	Nem homogén koordinátákban nincs mátrixábrázolása.	${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmátrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmátrix}}$

Tulajdonságok

Az átmeneti mátrix nem degenerált . Vagyis ennek a mátrixnak a determinánsa nem egyenlő nullával.
$P_{{e\rightarrow e'}}^{{-1}}=P_{{e'\rightarrow e}}$

Példa mátrixkeresésre

Keressük meg az átmenet mátrixát az alapból az azonosságbázisba elemi transzformációkkal $a_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{{2}}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2 \end{pmatrix}},a_{{3}}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}$ $b_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{ pmatrix}},b_{{3}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array}}\right)$ Következésképpen $P_{{a\rightarrow b}}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}$

Lásd még

Linkek

Átmeneti mátrixok bázisról bázisra