Sztochasztikus mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A sztochasztikus mátrix a valószínűségszámításban olyan nemnegatív mátrix , amelyben bármely sor vagy oszlop elemeinek összege eggyel egyenlő.

Definíciók

Egy mátrixot jobb sztochasztikusnak (vagy egyszerűen sztochasztikusnak) nevezünk, ha $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,2,\lpont$

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

és .

\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall i

Egy mátrixot baloldali sztochasztikusnak nevezünk, ha

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

és .

\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall j

Egy mátrixot duplán sztochasztikusnak nevezünk , ha bal és jobb oldali sztochasztikus.

Megjegyzés

A megfelelő sztochasztikus mátrix az átmenet valószínűségi mátrixa néhány Markov-lánchoz .

Tulajdonságok

Ha és két baloldali (jobb, kétszeres) sztochasztikus mátrix, akkor ezek szorzata is egy bal (jobb, kétszeres) sztochasztikus mátrix. $P$ $K$ $R=PQ$

Szabályos sztochasztikus mátrix

Egy véges sztochasztikus mátrixot regulárisnak nevezünk, ha létezik ilyen $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,\ldots ,N$ $n\in \mathbb {N}$

p_{{ij}}^{{(n)}}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N

hol vannak a mátrix th hatványának elemei , azaz . $p_{{ij}}^{{(n)}}$ $n$ $P$ $P^{n}=\left(p_{{ij}}^{{(n)}}\jobbra)$

Ergodikus tétel

Ha egy szabályos sztochasztikus mátrix, akkor van olyan vektor , amely $P$ ${\mathbf {\pi }}=(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$

P^{n}\to {\mathbf {1}}^{{\top }}{\mathbf {\pi }}

ahol egy dimenzióvektor , amely egységekből áll . ${\mathbf {1}}=(1,\lpontok,1)$ $1\times N$