Nakayama lemma

A Nakayama lemma a kommutatív algebra és az algebrai geometria fontos technikai lemma , Cramer szabályának következménye . Tadashi Nakayama után kapta a nevét .

Formulációk

Sok egyenértékű készítménye van. Íme az egyik közülük:

Legyen R kommutatív gyűrű 1- es azonossággal, I ideál R - ben , M pedig végesen generált modul R felett. Ha IM = M , akkor létezik olyan ∈ I , hogy minden m-re ∈ M am = m .

A lemma bizonyítéka. Legyenek az M modul generátorai . Mivel M = IM , mindegyiket úgy ábrázolhatjuk, mint $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\pontok +a_{{in}}m_{n}

, hol vannak az ideál elemei I . Vagyis (hol van a Kronecker szimbólum ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Cramer e rendszerre vonatkozó képletéből következik , hogy bármely j

\operátornév {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Mivel I -ből 1 − a , a alakban ábrázoljuk , a lemma igazolt. $\operátornév {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

A bizonyított állítás következő következményét Nakayama lemmájaként is ismerik:

1. Következmény: Ha a lemma feltételei között az I ideálnak az a tulajdonsága, hogy minden elemére a , akkor az 1 − a elem invertálható (például ez a helyzet, ha I benne van a Jacobson gyökben ) , akkor M = 0 -nak kell lennie .

Bizonyíték . Az I ideálisnak van olyan a eleme , hogy aM = M , tehát (1 − a)M = 0, balról az elemmel inverz 1 − a -ra szorozva azt kapjuk, hogy M = 0.

Alkalmazás modulokhoz helyi gyűrűkön keresztül

Legyen R egy lokális gyűrű , egy maximális ideál R -ben, M egy véges generált R - modul, és egy faktorizációs homomorfizmus. A Nakayama-lemmája kényelmes eszközt biztosít az M modulról egy R helyi gyűrűn át a hányados modulra , amely egy mező feletti véges dimenziós vektortér . A következő állítás is Nakayama lemma egy formájának tekinthető, az esetre vonatkoztatva: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Az elemek akkor és csak akkor generálnak M modult , ha képeik hányados modult generálnak . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\M-ben$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Bizonyíték. Legyen S elemekkel generált részmodul M -ben , Q = M/S faktormodul , és faktorizációs homomorfizmus. Mivel hányados modult generálnak , ez azt jelenti , hogy mindegyikre létezik , így . Akkor . Mivel szürjektív, ez azt jelenti, hogy . Nakayama lemmája szerint (pontosabban az 1. következtetés szerint) Q=0 , azaz S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\ to Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\in M$ $s\in S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}Q$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}K$

Van egy másik változata Nakayama lemmájának a helyi gyűrűkön keresztüli modulokhoz:

Legyen véges generált R -modulok homomorfizmusa . Hányados modul homomorfizmust indukál . Ezek a homomorfizmusok egyszerre szürjektívek vagy nem szürjektívek. $\phi :\,M\to N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

A Nakayama-lemmának ezen formája alapján a következő fontos tétel származik:

Minden ( végesen generált ) projektív modul egy helyi gyűrűn ingyenes.

Irodalom

M. Atiyah, I. MacDonald. Bevezetés a kommutatív algebrába. — M .: Mir , 1972. — 160 p.

Lásd még

Tadashi Nakayama