Kör alakú mező

A körmező vagy az n fokú kör osztásának mezője egy olyan mező , amelyet a racionális számok mezőjéhez adunk az egység n- edik fokának primitív gyökével . A körmező a komplex számok mezőjének egy részmezeje . $K_{n}={\mathbb {Q}}(u)$ ${\mathbb {Q}}$ $u$

A mező elnevezése abból adódik, hogy az egységkör n egyenlő részre osztása egyenértékű az n- edik hatvány primitív egységgyökének megszerkesztésével a komplex síkban . A körkörös mezők tanulmányozása jelentős szerepet játszott az algebrai egész számok elméletének, a számelméletnek és a Galois-elméletnek a megalkotásában és fejlesztésében .

Példa: formájú komplex számokból áll , ahol racionális számok. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\ i$ $a,b$

Tulajdonságok

A körmező tartalmazza az egység összes n- edik gyökét , valamint a rajtuk végzett aritmetikai műveletek eredményeit. Nem függ az egység primitív n- edik gyökének megválasztásától .
- Következmény: a körkörös mező a polinom dekompozíciós mezője . $x^n-1$
$K_{{4n+2}}=K_{{2n+1}}$ , ezért általában azt feltételezik, hogy a maradék, amikor n -t osztunk 4-gyel, nem 2 . Ebben a feltételben különböző n nem izomorf körkörös mezőknek felel meg . $(n\not \equiv 2{\pmod {4)))$
A pálya egy Abeli- féle mezőbővítés a Galois csoporttal $K_n$ ${{\mathbb Q}}$ $G(K_{n}/{{\mathbb Q)))\simeq (\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*},$

ahol a maradékosztályok multiplikatív csoportja modulo n . A tágulási fok φ( n ) ( Euler-függvény ).

(\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*}

[K_{n}:{{\mathbb Q}}]

Kronecker–Weber-tétel : A racionális számok területének minden véges Abel -bővítése valamilyen körmezőben található.

Lásd még

Körkörös polinom

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe . M.: Mir, 1987.
Van der Waerden B. L. Algebra. M.: Mir, 1975.

Linkek

Milne, James S. Algebrai számelmélet . Tanfolyami jegyzetek (1998). Archiválva az eredetiből 2012. április 2-án. (határozatlan)