Kristályos csoport

Krisztallográfiai csoport (Fedorov-csoport) - mozgások diszkrét csoportja - dimenziós euklideszi tér , korlátozott alapterülettel . $n$

Bieberbach-tétel

Két krisztallográfiai csoport akkor tekinthető egyenértékűnek, ha az euklideszi tér affin transzformációinak csoportjában konjugáltak .

Bieberbach tételei

Bármely -dimenziós krisztallográfiai csoport lineárisan független párhuzamos fordításokat tartalmaz ; a transzformációk lineáris részeinek csoportja (vagyis a -ben lévő kép ) véges. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
Két krisztallográfiai csoport akkor és csak akkor ekvivalens, ha absztrakt csoportként izomorf .
Bármelyik esetén csak véges számú -dimenziós krisztallográfiai csoport van figyelembe véve az ekvivalenciáig (ami Hilbert 18. feladatának megoldása ). $n$ $n$

A tétel lehetővé teszi, hogy a következő leírást adjuk a krisztallográfiai csoportok mint absztrakt csoportok szerkezetéről: Legyen a krisztallográfiai csoporthoz tartozó összes párhuzamos fordítás halmaza . Ekkor egy véges index normál alcsoportja , amely izomorf és egybeesik a központosítójával . Egy ilyen normál alcsoport jelenléte egy absztrakt csoportban is elegendő feltétele annak, hogy a csoport izomorf legyen egy krisztallográfiai csoporttal. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

A krisztallográfiai csoport lineáris részeinek csoportja megőrzi a rácsot ; más szóval, a rácsbázisban a transzformációkat egész számmátrixok írják fel. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Csoportok száma

A -dimenziós tér krisztallográfiai csoportjainak számát orientáció megőrzéssel vagy anélkül az A004029 és A006227 szekvenciák adják meg . Egyenértékűségig van $n$

17 lapos krisztallográfiai csoport [1]
219 térbeli krisztallográfiai csoport;
- ha az orientációt megőrző affin transzformációkkal a konjugáltságig terjedő tércsoportokat tekintjük , akkor 230 lesz belőlük.
A 4-es dimenzióban 4894 orientációmegőrző krisztallográfiai csoport van, vagy 4783 orientációmegőrző nélküli [2] [3] .

Lehetséges szimmetriák

Pontelemek

Véges alakzatok szimmetriaelemei, amelyek legalább egy pontot fixen hagynak.

Forgó szimmetriatengelyek, tükör szimmetriasík, inverziós középpont (szimmetriaközéppont) és nem megfelelő elforgatások - inverziós tengelyek és tükörforgási tengelyek. A nem megfelelő elforgatások az egymást követő elforgatások és inverziók (vagy egy merőleges síkban történő visszaverődések)ként definiálhatók. Bármely tükör-forgástengely helyettesíthető fordított tengellyel és fordítva. A tércsoportok leírásánál általában az inverziós tengelyeket részesítik előnyben (míg a Schoenflies szimbolikája tükörforgató tengelyeket használ). A 2- és 3-dimenziós krisztallográfiai csoportokban csak a szimmetriatengelyek körüli 180°-os (2. rendű szimmetriatengely), 120°-os (3. rendű), 90°-os (4. rendű) és 60°-os elforgatások fordulhatnak elő ( 6. rend). A szimmetriatengelyeket a Bravais-szimbolikában a tengelyrendnek ( ) megfelelő n alsó indexű L betűvel , a nemzetközi szimbolikában (Hermann-Mogen szimbolikában), a tengely sorrendjét jelző arab számokkal (például = 2 ) jelöljük. , = 3 és = 4). Az inverziós tengelyeket a Bravais-szimbolikában Ł betűvel jelöljük , amelynek kisebb n numerikus indexe a forgó tengely sorrendjének ( Ł n ), nemzetközi szimbólumokban - digitális indexszel, n feletti kötőjellel (például Ł 3 = 3 , Ł 4 = 4 , Ł 6 = 6 ). A helytelen forgatásokról és jelölésükről itt olvashat bővebben . Az L 3 , L 4 , L 6 szimmetriatengelyeket magasabb rendű szimmetriatengelyeknek nevezzük [4] . A szimmetria tükörsíkját Brava P -vel, a nemzetközi szimbolikában m -vel jelöli. Az inverzió középpontja a Bravában C , a nemzetközi szimbólumokban pedig 1 . $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

A pontszimmetriaelemek minden lehetséges kombinációja 10 pontszimmetriacsoporthoz vezet a 2 dimenziós térben és 32 pontcsoporthoz a 3 dimenziós térben.

A 4-dimenziós térben egy új típusú szimmetriaelem jelenik meg - kettős elforgatás két teljesen merőleges síkban . Ez növeli a transzlációs szimmetriával kompatibilis szimmetriaelemek számát. A kristály 4-es és 5-ös méretű tereihez 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 és 12 rendű pontszimmetriaelemek lehetségesek. Különböző irányban végrehajtva enantiomorf pontszimmetria-elempárok jelennek meg (pl. negyedrendű kettős elforgatás, ahol az első síkban 90°-os, a második síkban 90°-os elforgatások enantiomorf módon dupla negyedrendű elforgatással kombinálódnak, ahol az első síkban a 90°-os és a második síkban -90°-os elforgatásokat kombinálják másodikként). A 4-dimenziós térben a pontszimmetriák minden lehetséges kombinációja 227 4-dimenziós pontcsoporthoz vezet, amelyek közül 44 enantiomorf (azaz összesen 271 pontszimmetriacsoportot kapunk).

A kristályban 6- és 7-dimenziós terekben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24, ill. 30 lehetséges [5] . Lásd még en:Crystallographic restriction theorem .

Adások

A krisztallográfiai csoportokban a transzlációk mindig jelen vannak - párhuzamos transzferek , amelyek eltolódása esetén a kristályszerkezet önmagával kombinálódik. A kristály transzlációs szimmetriáját a Bravais-rács jellemzi . A 3 dimenziós esetben összesen 14 féle Bravais rács lehetséges. A 4-es, 5-ös és 6-os méretben a Bravais-rácsok típusainak száma 64, 189, illetve 841 [6] . A csoportelmélet szempontjából a fordítási csoport egy tércsoport normál Abeli -alcsoportja, a tércsoport pedig ennek a fordítási alcsoportjának kiterjesztése . A tércsoport fordítási alcsoport szerinti faktorcsoportja az egyik pontcsoport.

Komplex szimmetriaműveletek

A tengelyek körüli elforgatások valamilyen vektorral egyidejűleg ennek a tengelynek az irányába (csavartengely) és a síkhoz viszonyított visszaverődéssel egyidejűleg eltolódnak valamilyen, ezzel a síkkal párhuzamos vektorral (sikló reflexiós sík). A nemzetközi szimbólumokban a spirális tengelyeket a megfelelő forgási tengely száma jelöli egy indexszel, amely az egyidejű forgatás során a tengely mentén történő átvitel mértékét jellemzi. Lehetséges spirális tengelyek 3D-s esetben: 2 1 (180°-os elforgatás és 1/2-os eltolás), 3 1 (120°-os elforgatás és 1/3-os eltolás), 3 2 (120°-os elforgatás és 2/3-os eltolás), 4 1 (90°-os elforgatás és 1/4-es eltolás), 4 2 (90°-os forgatás és 1/2-es eltolás), 4 3 (90°-os forgatás és 3/4-es eltolás), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (forgatás 60°-kal és eltolás 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 és 5/6 fordításban). A 3 2 , 4 3 , 6 4 és 6 5 tengely enantiomorf a 3 1 , 4 1 , 6 2 és 6 1 tengellyel . Ezeknek a tengelyeknek köszönhető, hogy 11 enantiomorf tércsoportpár van - mindegyik párban az egyik csoport a másik tükörképe.

A csúszó reflexiós síkokat a kristálycella tengelyeihez viszonyított csúszási iránytól függően jelöljük ki. Ha az egyik tengely mentén csúszás történik, akkor a síkot a megfelelő latin a , b vagy c betű jelzi . Ebben az esetben a csúszás mértéke mindig a fordítás felével egyenlő. Ha a csúszás a lap homlokátlója vagy a cella térbeli átlója mentén irányul, akkor a síkot n betűvel jelöljük az átló felével egyenlő elcsúszás esetén, vagy d betűvel, ha az átló egyenlő. az átló negyede (ez csak akkor lehetséges, ha az átló középre van állítva). Az n és d síkot éksíknak is nevezik. A d síkokat néha gyémánt síkoknak is nevezik, mert jelen vannak a gyémántszerkezetben (angolul diamond - gyémánt).

Egyes tércsoportokban vannak olyan síkok, ahol a cella egyik tengelye és második tengelye mentén is megtörténik a csúszás (vagyis a sík a és b vagy a és c vagy b és c ). Ez annak köszönhető, hogy az arc a csúszási síkkal párhuzamosan helyezkedik el. 1992-ben az e szimbólumot vezették be az ilyen repülőgépekre . [7] Nyikolaj Vasziljevics Belov szintén javasolta az r jelölés bevezetését a térbeli átló mentén elcsúszott síkokra egy romboéderes cellában. Az r sík azonban mindig egybeesik a közönséges tükörsíkokkal, és ez a kifejezés nem fogott meg.

Jelölés

Számozás

A krisztallográfiai (térbeli) csoportokat és azok összes inherens szimmetriaelemét az International Tables for Crystallography című nemzetközi referenciakönyv foglalja össze , amelyet az International Union of Crystallography adott ki . A jelen kézikönyvben megadott számozás használata elfogadott. A csoportokat 1-től 230-ig számozzuk a szimmetria növekedésének sorrendjében.

Herman-Mogen szimbolikája

A szóközcsoport szimbólum a Bravais-rács szimbólumot (P, A, B, C, I, R vagy F nagybetű) és a nemzetközi pontcsoport szimbólumot tartalmazza. A Bravais-rács szimbólum további transzlációs csomópontok jelenlétét jelöli az elemi cellán belül: P (primitív) – primitív cella; A, B, C (A-központú, B-központú, C-központú) - egy további csomópont az A, B vagy C felület közepén; I (I-központú) - testközpontú (további csomópont a cella közepén), R (R-központú) - kétszer testközpontú (két további csomópont az elemi cella főátlóján), F (F- központosított) - arcközpontú (további csomópontok az összes arc közepén).

A pontcsoport nemzetközi szimbóluma általában három szimbólumból áll, amelyek a kristálycellában a három fő iránynak megfelelő szimmetriaelemeket jelölik. Egy iránynak megfelelő szimmetriaelem alatt vagy egy ezen az irányon áthaladó szimmetriatengelyt, vagy egy rá merőleges szimmetriasíkot, vagy mindkettőt értjük (ebben az esetben egy törten keresztül írjuk őket, pl. 2/c a 2. rendű szimmetriatengely és a rá merőleges legeltetési visszaverődés c irányú eltolással . A fő irányok a következők:

egy sejt bázisvektorainak irányai triklinikus, monoklinikus és rombikus szingónia esetén;
a 4. rendű tengely iránya, az egységcella alján az egyik bázisvektor iránya, tetragonális szingónia esetén pedig a cella alapjának átlója menti iránya;
a 3. vagy 6. rendű tengely iránya, az egyik bázisvektor iránya az elemi cella tövében és a vektor iránya az elemi cella átlója mentén 60°-os szöget bezáróan az előzőhöz képest egy hatszögletű rendszer esetén (ebbe a trigonális rendszer is beletartozik, ami ebben az esetben az egységcella hatszögletű tájolása adott);
az egyik bázisvektor iránya, az elemi cella térbeli átlója mentén, és az alapvektorok közötti szög felezője mentén.

A Hermann-Mogen szimbólumokat általában úgy szokták lerövidíteni, hogy az egyes irányokban hiányzó szimmetriaelemek jelöléseit töröljük, ha ez nem okoz kétértelműséget, például P411 helyett P4-et írnak. Szintén félreérthetőség hiányában a szimmetriasíkra merőleges másodrendű tengelyek kijelölése is kimarad, például C helyett . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Schoenflies szimbóluma

A Schoenflies szimbólum határozza meg a szimmetriaosztályt (főszimbólum és alsó index) és a csoport feltételes számát ezen az osztályon belül (felső index).

C n - ciklikus csoportok - egyetlen speciális irányú csoportokat, amelyeket egy forgási szimmetriatengely képvisel - C betűvel jelöljük , e tengely sorrendjének megfelelő n alsó indexszel .

Az egyetlen inverziós szimmetriatengelyű ni -csoportok után az i alsó index következik .
C nv (a német vertikális - vertikális szóból) - szintén van egy szimmetriasíkja az egyetlen vagy fő szimmetriatengely mentén, amelyet mindig függőlegesnek gondolunk.
C nh (a német vízszintesből - vízszintes) - szintén van egy szimmetriasíkja, amely merőleges a szimmetria fő tengelyére.

S 2 , S 4 , S 6 (a német spiegel - tükör szóból) - csoportok egyetlen tükör szimmetriatengellyel.

C s - határozatlan orientációjú síkra, azaz nem rögzített, mivel a csoportban nincsenek más szimmetriaelemek.

D n - egy C n csoport további n másodrendű szimmetriatengellyel, merőlegesen az eredeti tengelyre.

D nh - vízszintes szimmetriasíkja is van.
D nd (a német átlóból - átlós) - függőleges átlós szimmetriasíkokkal is rendelkezik, amelyek a másodrendű szimmetriatengelyek közé mennek.

O, T - több, magasabb rendű tengelyű szimmetriacsoportok - köbös szingónia csoportjai. O betűvel jelöljük őket, ha az oktaéder teljes szimmetriatengely-készletét tartalmazzák, vagy T betűvel, ha a tetraéder szimmetriatengelyeinek teljes halmazát tartalmazzák.

O h és T h - vízszintes szimmetriasíkot is tartalmaznak
T d - egy átlós szimmetriasíkot is tartalmaz

n lehet 1, 2, 3, 4, 6.

Történelem

A krisztallográfiai csoportok elméletének eredete a dísztárgyak ( ) és a kristályszerkezetek ( ) szimmetriájának vizsgálatához kötődik . Az összes síkbeli (kétdimenziós) és térbeli (háromdimenziós) krisztallográfiai csoport osztályozását egymástól függetlenül Fedorov (1885), Schoenflies (1891) és Barlow (1894) határozta meg. A többdimenziós krisztallográfiai csoportokra vonatkozó fő eredményeket Bieberbach [8] szerezte . $n=2$ $n=3$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Háttérképcsoportok – a Wolfram MathWorld-től . Letöltve: 2013. május 8. Archiválva az eredetiből: 2013. június 2. (határozatlan)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek és H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier és H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Archiválva : 2012. január 18. a Wayback Machine -nél
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1992, 22. oldal.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams és T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson és S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I. – Math. Ann., 70, S. 297-336 (1911); 1912, 72, S. 400-412.

Irodalom

J. Wolf, Állandó görbületű terek. Fordítás angolból. Moszkva: "Nauka", A fizikai és matematikai irodalom fő kiadása, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, A kristályszimmetria elmélete, M. GEOS, 2000 (on-line elérhető: http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Krisztallográfiai csoport // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
Kovalev O.V. Fedorov csoportok irreducibilis és indukált reprezentációi és bemutatása. - M. : Nauka, 1986. - 368 p.

Linkek

Űrcsoport - cikk a Nagy Szovjet Enciklopédiából .