Véges topológiai tér

A véges topológiai tér olyan topológiai tér, amelyben csak véges számú pont van.

Bár a topológia főként végtelen terekkel foglalkozik, a véges topológiai tereket gyakran példaként és ellenpéldaként használják . William Thurston a véges topológiai tereket "egy különc témának nevezte, amely számos kérdés megértéséhez vezet". [egy]

A topológia meghatározásának módjai

A véges halmaz topológiája részleges sorrendben határozható meg

{\displaystyle x\leq y\iff x\in {\overline {\{y\))))

ahol a halmaz lezárását jelöli . ${\overline {S))$ $S$

Megfordítva, ha egy véges halmazon bármilyen részleges sorrendet adunk, létrehozhatunk egy egyedi topológiát, amelyet ez a tulajdonság határoz meg.

A részleges sorrend meghatározásához célszerű egy irányított gráfot használni, ahol a csúcsok a térben lévő pontok, és a relációnak felel meg a tól -ig növekvő útvonal megléte . $x$ $y$ $x\leq y$

Példák

Kapcsolt kettőspont .
Az álkör egy részleges sorrendben meghatározott négypontos tér $a\leq b,c\leq b,c\leq d,a\leq d$ .
- Gyengén homotópia egy körnek megfelelő.
  - Alapvető csoportja különösen izomorf -vel . $\mathbb {Z}$

Tulajdonságok

A topológiai terek különleges tulajdonsága, hogy a zárt halmazok topológiát is meghatároznak. Ezt az új topológiát a részleges sorrend megfordításával kaphatjuk meg, vagy ami ugyanaz, a megfelelő gráf összes élének megfordításával.

Minden véges topológiai tér kompakt .

A véges T 1 -tér T 1 diszkrét.
- Különösen minden véges Hausdorff - tér diszkrét.

Minden összefüggő véges topológiai tér útvonalhoz kötődik .

Bármely véges absztrakt egyszerű komplexhez létezik egy véges topológiai tér, amely homotopikusan gyengén ekvivalens vele. [2]
- Ennek a fordítottja is igaz: bármely véges topológiai térhez létezik vele gyengén homotopikusan ekvivalens véges egyszerű komplexus.

Az alábbi táblázat felsorolja a különböző topológiák számát egy n elemből álló C halmazon. Megjeleníti a nem egyenértékű (azaz nem homeomorf ) topológiák számát is. Nincs egyszerű képlet ezeknek a számoknak a kiszámítására; az Encyclopedia of Integer Sequencesben a listák jelenleg ig terjednek . $n=18$

Topológiák száma n pontból álló halmazon

H	Különféle topológiák	Különféle T 0 topológiák	Nem egyenértékű topológiák	Nem egyenértékű T 0 topológiák
0	egy	egy	egy	egy
egy	egy	egy	egy	egy
2	négy	3	3	2
3	29	19	9	5
négy	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
nyolc	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
tíz	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Az összes T 0 -topológia számát egy n pontból álló halmazon és az összes topológiák számát a képlet kapcsolja össze $T_{0}(n)$ $T_{0}(n)$ $T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)$

ahol a második típusú Stirling-számot jelöli .

S(n,k)

Lásd még

Linkek

↑ Thurston, William P.Bizonyításról és haladásról a matematikában (neopr.) . - 1994. - T. 30. - S. 161-177. - doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 .
↑ P. Alexandroff. „Diskrete Räume.” Math. Ült. 2 (1937), S. 501–519.

Stong, Robert E. Véges topológiai terek // Transactions of the American Mathematical Society . - 1966. - 1. évf. 123 . - P. 325-340 . - doi : 10.2307/1994660 .

Idézd a naplótvezetéknévStongkeresztnévRobert E.Megjelenés éve1966CímVéges topológiai terekURLhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/stong2.pdfFolyóiratAz Amerikai Matematikai Társaság tranzakcióiHangerő123Oldalak325–340DOI10.2307/1994660ÚR0195042

Véges topológiai terek szinguláris homológiacsoportjai és homotópiacsoportjai, Michael C. McCord, Duke Math. J. 33. kötet, 3. szám (1966), 465-474.
Barmac, Jonathan. Véges topológiai terek és alkalmazások algebrai topológiája . — Springer, 2011. - ISBN 978-3-642-22002-9 .
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Topológiai módszerek a kémiában (határozatlan) . - Wiley, 1989. - ISBN 978-0-471-83817-3 .