Bowes-Chowdhury-Hockwingham kód

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Bowes-Chowdhury-Hokvingham kódok (BCH kódok) - a kódoláselméletben ez a ciklikus kódok széles osztálya, amelyet az információk hibák elleni védelmére használnak (lásd: Hibaészlelés és -javítás ). Ez abban különbözik, hogy előre meghatározott korrekciós tulajdonságokkal rendelkező kódot lehet létrehozni, nevezetesen a minimális kódtávolságot. A BCH kódok speciális esete a Reed-Solomon kód .

Formai leírás

A BCH kód egy ciklikus kód , amelyet generátorpolinom adhat meg . BCH kód esetén annak megtalálásához előre meg kell határozni a kód hosszát (nem lehet tetszőleges) és a szükséges minimális távolságot . A generáló polinomot a következő módon találhatja meg. $n$ $d\leqslant n$

Legyen a mező primitív eleme (azaz ), legyen , a , sorrendi mező eleme . Ekkor egy olyan mező feletti minimális fokú normalizált polinom , amelynek gyökei egy elem egymást követő hatványai valamilyen egész számra (beleértve a 0-t és az 1-et is), egy BCH-kód generáló polinomja egy hosszú és minimális távolságú mező felett . $\alpha$ $GF(q^{m})$ $\alpha ^{q^{m}-1}=1,\ \alpha ^{i}\neq 1,\ i<q^{m}-1$ $\beta =\alpha ^{s}$ $GF(q^{m})$ $n$ $s=(q^{m}-1)/n$ $g(x)$ $GF(q)$ $d-1$ $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$ $\beta$ $l_{0}$ $GF(q)$ $n$ $d_{0}\geqslant d$

Magyarázzuk meg, miért lesz az így kapott kód pontosan ilyen jellemzőkkel (kódhossz , minimális távolság ). Valójában, amint azt Sagalovich [1] mutatja , a BCH kód hossza megegyezik az elemsorrenddel , ha , és egyenlő az elemsorrenddel , ha . Mivel minket az eset nem érdekel (egy ilyen kód a hibákat nem tudja kijavítani, csak észlelni), a kód hossza megegyezik az elem sorrendjével , azaz egyenlő -val . A minimális távolság nagyobb is lehet, mint amikor az elemek minimális függvényeinek [2] gyökerei a sorozatot bővítő elemek, vagyis az elemek . $n$ $d_{0}$ $\beta$ $d>2$ $\beta ^{l_{0}}$ $d=2$ $d=2$ $\beta$ $n$ $d_{0}$ $d$ $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$ ${\displaystyle \beta ^{l_{0}+d-1},\beta ^{l_{0}+d},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d_{0}-2))$

Az ellenőrző szimbólumok száma megegyezik a mértékével , az információs szimbólumok számával , az értéket a BCH kód konstruktív távolságának nevezzük . Ha , akkor a kódot primitívnek , egyébként - nem primitívnek nevezzük . $r$ $g(x)$ $k=nr$ $d$ $n=q^{m}-1$

Csakúgy, mint a ciklikus kód esetében, a kódpolinomot legfeljebb a fokszámú információs polinomból kaphatjuk meg , és szorozzuk meg : $c(x)$ $m(x)$ $k-1$ $m(x)$ $g(x)$

c(x)=m(x)g(x).

Épület

A generáló polinom megtalálásához több lépést kell végrehajtani [3] :

válassza ki a mezőt , amelyre a kód épül; $q$ $GF(q)$
válassza ki a kód hosszát a feltételből , ahol pozitív egészek; $n$ $n=(q^{m}-1)/s$ $m,s$
állítsa be a konstruktív távolság értékét ; $d$
egy mezőelem ciklotómikus osztályait konstruálja egy mező fölé , ahol egy primitív elem ; $\beta =\alpha ^{s}$ $GF(q^{m})$ $GF(q)$ $\alpha$ $GF(q^{m})$
mivel minden ilyen ciklotómikus osztály egy irreducibilis over polinomnak felel meg , melynek gyökei ennek és csak ennek az osztálynak az elemei, és az osztály elemeinek számával megegyező mértékben, akkor válasszunk úgy, hogy a ciklotómikus osztályok teljes hossza minimális; ennek célja a kód adott jellemzőihez tartozó ellenőrző karakterek számának minimalizálása ; $GF(q)$ $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$ $n$ $d$ $k$
számítsuk ki a generáló polinomot , ahol a -edik ciklotomikus osztálynak megfelelő polinom; vagy az elemei minimális függvényeinek LCM -jeként számítsuk ki . $g(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\ldots f_{h}(x)$ $f_{i}(x)$ $én$ $g(x)$ $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2}$

Kódpéldák

Primitív bináris (15, 7, 5) kód

Legyen , a szükséges kódhossz és a minimális távolság . Vegyünk — a mező egy primitív elemét , és — az elem négy egymást követő hatványát . Két ciklotómikus osztályba tartoznak azon a területen , amelyeknek az irreducibilis polinomok és megfelelnek . Aztán a polinom $q=2$ $n=2^{4}-1=15$ $d_{0}\geqslant d=5$ $\alpha$ $GF(16)$ ${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4))$ $\alpha$ $GF(2)$ $f_{1}(x)=x^{4}+x+1$ $f_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

g(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1

elemei gyökként vannak , és a BCH kód generáló polinomja paraméterekkel . ${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4))$ $(15,7,5)$

Hexadecimális (15, 11, 5) kód (Reed-Solomon kód)

Legyen , és a primitív eleme . Akkor $n=q-1=15$ $\alpha$ $GF(16)$

g(x)=(x-\alpha )(x-\alpha ^{2})(x-\alpha ^{3})(x-\alpha ^{4})=x^{4} +\alpha ^{13}x^{3}+\alpha ^{6}x^{2}+\alpha ^{3}x+\alpha ^{10}.

A mező minden eleme leképezhető 4 bitesre , tehát egy kódszó 60 = 15 × 4 bitnek felel meg, tehát egy 44 bites halmaz egy 60 bites halmazra van leképezve. Azt mondhatjuk, hogy egy ilyen kód információcsomókkal működik . $GF(16)$

Kódolás

A BCH kódokkal történő kódolásnál ugyanazokat a módszereket alkalmazzuk, mint a ciklikus kódokkal történő kódolásnál.

Dekódolási módszerek

A BCH kódok ciklikus kódok, így a ciklikus kódok dekódolására használt összes módszer vonatkozik rájuk. Vannak azonban sokkal jobb , kifejezetten BCH kódokhoz kifejlesztett algoritmusok [4] .

A BCH kódok dekódolásának fő gondolata az, hogy a végső mező elemeit használjuk a kódszó pozícióinak számozására (vagy ezzel egyenértékűen a kapcsolódó polinom együtthatóinak sorrendjében). Az alábbiakban egy ilyen felsorolás látható a polinomnak megfelelő vektorhoz . $r=(r_{0},r_{1},\ldots ,r_{n-1})$ $r(x)$

értékeket	$r_{0}$	$r_{1}$	$\ldots$	$r_{{n-1}}$
helyzetmeghatározók	$egy$	$\alpha$	$\ldots$	$\alpha ^{{n-1}}$

A kapott szó legyen társítva a polinomhoz , ahol a hibapolinom a következőképpen definiálható: , ahol a kapott szóban lévő hibák száma. A és halmazokat hibaértékeknek és hibakeresőknek nevezzük , ahol , és . $r(x)=\nu(x)+e(x)$ $e(x)=e_{J_{1}}x^{J_{1}}+e_{J_{2}}x^{J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu } }x^{J_{\nu }}$ $\nu \leqslant t_d$ $\{e_{J_{1}},e_{J_{2}},\ldots ,e_{J_{\nu }}\}$ ${\displaystyle \{\alpha ^{J_{1)),\alpha ^{J_{2)),\ldots ,\alpha ^{J_{\nu ))\))$ $e_{J}\in GF(q)$ $\alpha \in GF(q^{m})$

A szindrómákat úgy definiáljuk, mint a kapott polinom értékeit a generáló kódpolinom nulláin: $r(x)$

S_{1}=r(\alpha ^{b})=e_{J_{1}}\alpha ^{bJ_{1}}+e_{J_{2}}\alpha ^{bJ_{2} }+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{bJ_{\nu )),

S_{2}=r(\alpha ^{b+1})=e_{J_{1}}\alpha ^{(b+1)J_{1}}+e_{J_{2}}\ alfa ^{(b+1)J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{(b+1)J_{\nu )),

\vdots

S_{2t_{d}}=r(\alpha ^{b+2t_{d}-1})=e_{J_{1}}\alpha ^{(b+2t_{d}-1)J_ {1}}+e_{J_{2}}\alpha ^{(b+2t_{d}-1)J_{2}}+\ldots +e_{J_{\nu }}\alpha ^{(b+ 2t_ {d}-1)J_{\nu )),

ahol . $2t_{d}=d-1$

A hibakeresők halmazának megtalálásához bevezetjük a hibakereső polinomot

\sigma (x)=\prod _{l=1}^{\nu }(1+\alpha ^{J_{l}}x)=1+\sigma _{1}x+\sigma _{ 2}x^{2}+\ldots +\sigma _{\nu }x^{\nu },

amelynek gyöke megegyezik a hibalokátorok reciprokaival. Ekkor a következő összefüggés érvényes a hibalokátor polinom és a szindrómák együtthatói között [5] :

\sigma _{1}S_{t}+\sigma _{2}S_{t-1}+\ldots +\sigma _{t}S_{1}=-S_{t+1},

\sigma _{1}S_{t+1}+\sigma _{2}S_{t}+\ldots +\sigma _{t}S_{2}=-S_{t+2},

\vdots

\sigma _{1}S_{2t-1}+\sigma _{2}S_{2t-2}+\ldots +\sigma _{t}S_{t}=-S_{2t}.

A következő módszerek ismertek ennek az egyenletrendszernek a megoldására a hibakereső polinom ( kulcs egyenletrendszer ) együtthatói tekintetében. $\sigma _{i},\ i=1,2,\ldots ,\nu$

Berlekamp-Massey algoritmus (BMA) . A véges mezőben végzett műveletek számát tekintve ez az algoritmus rendkívül hatékony. A BMA-t általában BCH kódok és Reed-Solomon kódok programozott megvalósítására vagy modellezésére használják .
Euklideszi algoritmus (EA) . Az algoritmus szerkezetének nagy szabályossága miatt széles körben használják BCH dekóderek és Reed-Solomon kódok hardveres megvalósítására .
Közvetlen megoldás (Peterson-Gorenstein-Zierler algoritmus, PGC). Történelmileg ez az első dekódolási módszer, amelyet Peterson talált a bináris esetre ( ), majd Gorenstein és Zierler az általános esetre. Ez az algoritmus a megfelelő lineáris egyenletrendszer közvetlen megoldásával találja meg a hibalokátor polinomiális együtthatóit. Valójában, mivel ennek az algoritmusnak a bonyolultsága a minimális távolság kockájával nő , a közvetlen algoritmus csak kis értékekre használható , de ez az algoritmus az, amely a legjobban tisztázza a dekódolási folyamat algebrai elképzelését. $q=2$ $d$ $d$

Berlekamp-Massey algoritmus

Ezt az algoritmust a legjobban úgy tekinthetjük, mint egy iteratív folyamatot egy minimális visszacsatolási (eltolódási) regiszter létrehozására, amely egy ismert szindrómasorozatot generál . Valójában az a célja, hogy egy olyan legkisebb fokú polinomot hozzon létre, amely kielégíti az egyenletet $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{2t_{d))$ $\sigma ^{{i+1}}(x)$

\sum _{j=0}^{l_{i}+1}S_{kj}\sigma _{j}^{i+1}=0,\quad l_{i}<k<i+ one .

Ennek az egyenletnek a megoldása ekvivalens a feltétellel

\sigma ^{i+1}(x)=1+\sigma _{1}^{i+1}x+\ldots +\sigma _{l_{i+1}}^{i+1} x^{l_{i+1}}.

Egy ilyen polinom létrehozásának iteratív folyamata a Berlekamp-Massey algoritmus .

Euklideszi algoritmus

Ez a módszer a jól ismert euklidészi algoritmuson alapul, amely két szám legnagyobb közös osztóját (gcd) keresi, csak ebben az esetben nem két szám, hanem két polinom gcd-jét keressük. Jelöljük a hibaértékek polinomját így , ahol a szindrómapolinom egyenlő -val . Az egyenletrendszerből az következik, hogy . A probléma lényegében annak meghatározásában rejlik, hogy melyik teljesíti az utolsó egyenletet, ugyanakkor a fok nem magasabb . Valójában egy ilyen megoldás megadja a polinomokra alkalmazott kiterjesztett Euklidész algoritmust és , ahol . Ha a th lépésben a kiterjesztett euklideszi algoritmus olyan megoldást ad , hogy , akkor , és . Ebben az esetben a talált polinom a továbbiakban nem vesz részt a dekódolásban (csak segédanyagként keresi). Ily módon a hibakereső polinom megtalálható . $\Lambda =\sigma (x)S(x)$ $S(x)=1+S_{1}x+\ldots +S_{2t_{d}}x^{2t_{d}}$ ${\displaystyle \Lambda (x)=\sigma (x)S(x)\mod x^{2t_{d}+1))$ $\lambda(x)$ ${\displaystyle t_{d))$ ${\displaystyle r_{0}(x)=x^{d))$ $r_{1}(x)=S(x)$ $d=2t_{d}+1$ $j$ $r_{j}=a_{j}(x)x^{2t_{d}+1}+b_{j}(x)S(x)$ ${\displaystyle \deg[r_{j}(x)]\leqslant t_{d))$ $\Lambda (x)=r_{j}(x)$ $\sigma _{i}(x)=b_{j}(x)$ $a_{j}(x)$ $\sigma (x)$

Közvetlen megoldás (Petersson-Gorenstein-Zierler algoritmus, PGC)

Adja meg a BCH kódot a hosszmezőn és konstruktív távolsággal egy generáló polinom , amelynek a gyökei között van egy egész szám (például 0 vagy 1). Ezután minden kódszó rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy . A kapott szót felírhatjuk így , ahol a hibapolinom. Hagyja , hogy hibák forduljanak elő a pozíciókban ( a javítható hibák maximális száma), tehát , és a hibák nagysága. $GF(q)$ $n$ $d$ $g(x)$ $\beta ^{l_{0}},\beta ^{l_{0}+1},\ldots ,\beta ^{l_{0}+d-2},\ \beta \in GF(q ^{m}),\ \beta ^{n}=1,\ l_{0}$ $c(\beta ^{l_{0}-1+j})=0,\ j=1,2,\ldots ,d-1$ $r(x)$ $r(x)=c(x)+e(x)$ $volt)$ $u\leqslant t=(d-1)/2$ $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{u}$ $t$ $e(x)=e_{i_{1}}x^{i_{1}}+e_{i_{2}}x^{i_{2}}+\ldots +e_{i_{u}} x^{i_{u}}$ $e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots ,e_{i_{u}}$

Az elfogadott szó th szindrómáját összeállíthatja : $j$ $S_j$ $r(x)$

S_{j}=r(\beta ^{l_{0}-1+j})=e(\beta ^{l_{0}-1+j}),\quad j=1,\ldots ,d-1.

A feladat az ismert szindrómáknál előforduló hibák számának , helyzetének és jelentésének megtalálása . $u$ $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{u}$ $e_{i_{1}},e_{i_{2}},\ldots ,e_{i_{u}}$ $S_j$

Kezdésként tegyük fel, hogy pontosan egyenlő . A szindrómákat explicit formában nemlineáris egyenletrendszer formájában írjuk fel: $u$ $t$

{\begin{cases}S_{1}=e_{i_{1}}\beta ^{l_{0}i_{1}}+e_{i_{2}}\beta ^{l_{0} i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^{l_{0}i_{t}},\\S_{2}=e_{i_{1}}\beta ^{(l_ {0}+1)i_{1}}+e_{i_{2}}\beta ^{(l_{0}+1)i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^ {(l_{0}+1)i_{t}},\\\vdots \\S_{d-1}=e_{i_{1}}\beta ^{(l_{0}+d-2)i_ {1}}+e_{i_{2}}\beta ^{(l_{0}+d-2)i_{2}}+\ldots +e_{i_{t}}\beta ^{(l_{0 }+d-2)i_{t}}.\\\end{cases}}

Jelölje a -edik hiba helymeghatározójával , és - a hiba nagyságával , . Ebben az esetben mindegyik más, mivel az elem sorrendje , ezért ha ismert , akkor definiálható így . $X_{k}=\beta ^{{i_{k}}}$ $k$ $Y_{k}=e_{{i_{k}}}$ $k=1,\ldots ,t$ $X_{k}$ $\beta$ $n$ $X_{k}$ $én_{k}$ ${\displaystyle i_{k}=\log _{\beta }X_{k))$

{\begin{cases}S_{1}=Y_{1}X_{1}^{l_{0}}+Y_{2}X_{2}^{l_{0}}+\ldots +Y_ {t}X_{t}^{l_{0}},\\S_{2}=Y_{1}X_{1}^{l_{0}+1}+Y_{2}X_{2}^{ l_{0}+1}+\ldots +Y_{t}X_{t}^{l_{0}+1},\\\vdots \\S_{d-1}=Y_{1}X_{1} ^{l_{0}+d-2}+Y_{2}X_{2}^{l_{0}+d-2}+\ldots +Y_{t}X_{t}^{l_{0}+ d-2}.\end{cases}}

Készítsünk egy polinomot hibakeresőkből :

\Lambda (x)=(1-xX_{1})(1-xX_{2})\ldots (1-xX_{t})=\Lambda _{t}x^{t}+\Lambda _{t-1}x^{t-1}+\ldots +\Lambda _{1}x+1.

Ennek a polinomnak a gyökerei a hibalokátorokkal inverz elemek. Szorozzuk meg ennek a polinomnak mindkét oldalát -vel . Az így kapott egyenlőség érvényes lesz : ${\displaystyle Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t))$ $\vartheta =l_{0},l_{0}+1,\ldots ,l_{0}+d-1,\ l=1,\ldots ,t$

\Lambda (x)Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}=\Lambda _{t}x^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t} +\Lambda _{t-1}x^{t-1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}+\ldots +\Lambda _{1}xY_{l}X_{l}^ {\vartheta +t}+Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}.

Ha ezt behelyettesítjük , akkor egy mindenre érvényes egyenlőséget kapunk : ${\displaystyle x=X_{l}^{-1))$ ${\displaystyle l\in \{1,2,\ldots ,t\))$ ${\displaystyle \vartheta \in \{l_{0},l_{0}+1,\ldots ,l_{0}+d-1\))$

0=\Lambda _{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta }+\Lambda _{t-1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +1}+\ ldots +\Lambda _{1}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t-1}+Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}.

Így mindegyikhez beírhatja a saját egyenlőségét. Ha ezeket összeadjuk , akkor mindegyikre érvényes egyenlőséget kapunk : $l$ $l$ ${\displaystyle \vartheta \in \{l_{0},l_{0}+1,\ldots ,l_{0}+d-1\))$

0=\Lambda _{t}\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta }+\Lambda _{t-1}\sum _{l =1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +1}+\ldots +\Lambda _{1}\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{ l}^{\vartheta +t-1}+\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +t}.

Mivel (azaz ugyanazon határokon belül változik, mint korábban), a szindrómák egyenletrendszere lineáris egyenletrendszerré alakul : $S_{j+p}=\sum _{l=1}^{t}Y_{l}X_{l}^{l_{0}+j+p-1}=\sum _{l= 1}^{t}Y_{l}X_{l}^{\vartheta +p},\ j=1,\ldots ,d-1,\ \vartheta =l_{0}+j-1$ $\vartheta$

{\begin{cases}S_{1}\Lambda _{t}+S_{2}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{t}\Lambda _{1}=-S_{ t+1},\\S_{2}\Lambda _{t}+S_{3}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{t+1}\Lambda _{1}=-S_{ t+2},\\\vdots \\S_{t}\Lambda _{t}+S_{t+1}\Lambda _{t-1}+\ldots +S_{2t-1}\Lambda _{ 1}=-S_{2t},\end{cases}}

vagy mátrix formában,

S^{(t)} \bar\Lambda^{(t)} = -\bar s^{(t)},

ahol

S^{(t)}={\begin{pmatrix}S_{1}&S_{2}&\lpontok &S_{t}\\S_{2}&S_{3}&\lpontok &S_{t+1 }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\S_{t}&S_{t+1}&\ldots &S_{2t-1}\end{pmatrix)),\quad {\bar {\Lambda }}^{(t)}={\begin{pmatrix}\Lambda _{t}\\\Lambda _{t-1}\\\vdots \\\Lambda _{1}\end{pmatrix}}, \quad {\bar {s}}^{(t)}={\begin{pmatrix}S_{t+1}\\S_{t+2}\\\vdots \\S_{2t}\end{pmatrix }}.

Ha a hibák száma valóban egyenlő -vel, akkor ez a rendszer megoldható, és meg lehet találni az együtthatók értékeit . Ha a szám , akkor a mátrix determinánsa egyenlő lesz . Ez annak a jele, hogy kevesebb a hibák száma . Ezért egy rendszert kell összeállítani, feltételezve, hogy a hibák száma egyenlő -el , ki kell számítani az új mátrix determinánsát stb., amíg meg nem állapítjuk a hibák valódi számát. $t$ ${\displaystyle \Lambda _{1},\ldots ,\Lambda _{t))$ $u<t$ $S^{{(t)}}$ $0$ $t$ $t-1$ $S^{{(t-1)}}$

Chen keresése

A kulcsegyenletrendszer megoldása után megkapjuk a hibalokátor polinom együtthatóit. Gyökerei (a hibakeresővel inverz elemek) egyszerűen megkereshetők a mező összes elemén keresztül . Számukra keressen olyan elemeket, amelyek inverzek a szorzással – ezek a hibakeresők . Ez a folyamat könnyen megvalósítható hardverben. $GF(q^{m})$ $X_{k},\ k=1,\ldots ,u$

Forney algoritmusa

A helymeghatározók segítségével megtalálhatja a szindrómák rendszeréből a hibapozíciókat ( ) és a hibaértékeket, elfogadva . A dekódolás befejeződött. ${\displaystyle i_{k}=\log _{\beta }X_{k))$ $Y_{k}$ $t=u$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Sagalovich, 2007 , p. 175-176.
↑ Sagalovich, 2007 , p. 176.
↑ Sagalovich, 2007 , p. 168.
↑ A hibajavító kódolás művészete Archiválva : 2013. április 1., a Wayback Machine -nél , p. 91.
↑ Sagalovich, 2007 , p. 200.

Irodalom

Blahut R. A hibaellenőrző kódok elmélete és gyakorlata. — M .: Mir , 1986. — 576 p.
Peterson W, Weldon E. Hibajavító kódok . - M . : Mir, 1976. - S. 596 .
Sagalovich Yu. L. Bevezetés az algebrai kódokba - M .: MIPT , 2007. - 262 p. — ISBN 978-5-7417-0191-1
Morelos-Zaragoza R. A hibajavító kódolás művészete. Módszerek, algoritmusok, alkalmazás. - M . : Technosfera, 2005. - 320 p. — ISBN 5-94836-035-0 .