Merev test kinematikája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A merev test kinematikája ( más görög κίνημα - mozgás) - a kinematika egy része, amely egy abszolút merev test mozgását vizsgálja (állandó távolságú anyagi pontok rendszere ), anélkül, hogy belemenne az azt okozó okokba. A mozgás relativitásából adódóan kötelező feltüntetni azt a vonatkoztatási rendszert, amelyhez képest a mozgást leírják.

A mozgás leírása

A merev test jellemzője lehetővé teszi, hogy bemutassunk egy hozzá tartozó ortonormális koordinátarendszert , amelynek középpontja egy pont (egy tetszőleges pont ehhez a testhez van társítva). Ekkor az abszolút ortonormális rendszerben egy merev test tetszőleges pontjának koordinátája kifejezhető: $({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , és azóta a test abszolút merev: , de . ${\pont {\xi }}={\pont {\eta }}={\pont {\zeta }}=0$ ${\pont {\vec {e))}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )$

Hadd . A transzformációt különösen Euler-szögekkel lehet megadni . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{pmatrix}}$

Mivel az alapok ortonormálisak, ezért merőleges -ra, aminek következtében . ${\kalap {A}}$ ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$

A test tetszőleges pontjának sebességével akkor:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\pont {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\pont {\vec {e}}}_{\eta }\\{\pont {\vec {e}}}_{\zeta }\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\pont {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\pont {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}

Differenciálási eredmények , ami antiszimmetriát jelent , ami írható ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$ ${\pont {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\pont {\hat {A}}}^{T}$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\kalap {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}

A jelölést ( a szögsebességvektor ) bevezetése motiválja . Akkor: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{cases}{\dot {\vec {e))}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta }-\omega _{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\pont {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\ eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec { e }}_{\zeta }];\end{cases}}

Az így kapott kifejezéseket egyébként Poisson-képleteknek nevezzük.

Euler-képlet

Az Euler-képlet rögzíti a merev test különböző pontjainak sebességei közötti összefüggést : $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Bizonyíték

${\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta }\end{pmatrix));\\\end{cases))\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

Ha , akkor . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega ))$ invariáns a mozgó koordináta-rendszer kiválasztásához.
A szögsebesség-vektor a test pontjainak sebességmezőjéhez kapcsolódik . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Rivals formula

A Rivals-képlet egy merev test különböző pontjainak gyorsulására vonatkozik . $A,B$

For ( szöggyorsulás vektora ), tekintettel arra , hogy az Euler-képlet differenciálása a következőkhöz vezet: ${\vec {\varepsilon }}={\pont {\vec {\omega }}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

A Rivals képlet utolsó tagja határozza meg az éles gyorsulást .

Összetett mozgás

Azokban az esetekben, amikor nehéz leírni egy merev test mozgását egy rögzített CO -hoz képest, összetett mozgás képleteit vezetjük be (azaz a mozgó CO-hoz viszonyított mozgás leírását).

Abszolút referenciarendszerhez és mozgáshoz . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

Az abszolút FR egy pontjának sugárvektora egyenlő a relatív sugárvektor és a hordozható vektor összegével. $S$

Sebességösszeadási képlet

A sugárvektor képletének időbeli differenciálása a sebességek összeadásának képletéhez vezet

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]

, ahol a mobil CO forgási szögsebessége.

{\vec {\omega ))

${\vec {v}}_{S/O}$ a pont abszolút sebessége , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\pont {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\pont {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\pont {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relatív sebesség,
Ezt a kifejezést hordozható sebességnek nevezik, amely a mobil CO helyzetének megváltozásához kapcsolódik. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Gyorsulási összeadási képlet

Az ismételt differenciálás ad

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]

, ahol a mozgó CO szöggyorsulása.

{\vec \varepsilon }

${\vec {a}}_{S/O}$ az abszolút gyorsulás,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relatív gyorsulás,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - hordozható gyorsítás,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ a Coriolis-gyorsulás.

Szögsebességek összeadása

Az Euler-képletet szögsebességgel forgó, mozgó CO-ba írva (a test maga forog itt -vel ) a következő eredményhez vezet: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\ overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]

, ami igaz a pontok tetszőleges megválasztására , honnan

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

Ellenkező esetben az abszolút szögsebesség egyenlő a relatív és a transzlációs sebesség összegével.

A lehetséges mozgások minőségi elemzése

Pillanatnyi spirális mozgás , amelyet a talált adatok jellemeznek (azonnali spirális tengely), úgy, hogy bármely pontra . Az idő minden pillanatában bármely mozgás pillanatnyi spirálisként ábrázolható. $l\parallel {\vec {\omega ))$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l$
A pillanatnyi transzlációs mozgást az jellemzi, hogy ebben az esetben a test minden pontjának sebessége azonos (adott pillanatban). ${\vec {\omega }}=0$
Azonnali forgómozgás , a pillanatnyi csavar speciális esete, i.e. létezik olyan, hogy rajta minden pont rögzített. Az egyenes ebben az esetben a pillanatnyi forgástengely. $l$ $l$
Síkpárhuzamos mozgásról akkor beszélünk, ha a test minden pontja párhuzamosan mozog egy rögzített síkkal (legyen ), akkor . A pillanatnyi spirális tengellyel analóg módon a sík-párhuzamos mozgáshoz kiválaszthatja a pillanatnyi sebességközéppontot - egy pillanatnyi fix pontot . A pozíció mind a rögzített, mind a mozgó (testtel összefüggő) koordinátarendszerekben változik. A pillanatnyi sebességközéppont pontjainak helyére fix keretben a fix súlypont kifejezést használjuk, míg mozgó keretben mozgó súlypontot. $Oxy$ ${\vec {\omega }}\perp Oxy$ $C$ $C$
Forgatás egy fix pont körül. Az Euler-képlet szerint, ha fix, akkor fix és (pillanatnyi forgástengely). A forgástengelyek geometriai elhelyezkedését rögzített és mozgatható axoidoknak nevezzük (a figyelembe vett CO-tól függően). $O$ $l=O\omega$

Euler-kinematikai képletek

Ha a mobil CO-ra való áttérés Euler-szögekkel történik , akkor a következő képletek érvényesek a szögsebesség összetevőire:

\omega _{\xi }={\pont {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\pont {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\pont {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\pont {\theta }}\sin \psi

\omega _{\zeta }={\pont {\psi }}+{\pont {\varphi }}\cos \theta

$\psi$ a precesszió szöge, a nutáció szöge, a megfelelő forgás szöge. $\theta$ $\varphi$

Lásd még

Irodalom

Elméleti mechanika / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Általános fizika tanfolyam T.I. Mechanika/Sivukhin D.V. - M., 1979. - 7 $, p. 45-47