Kontinuumkinematika

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A folytonos közeg kinematikája ( más görög κίνημα - mozgás) a kinematika egy része, amely egy folytonos közeg mozgását vizsgálja (deformálható test, folyadék vagy gáz modelljei), anélkül, hogy belemenne az azt okozó okokba. A mozgás relativitásából adódóan kötelező feltüntetni azt a vonatkoztatási rendszert, amelyhez képest a mozgást leírják.

A kontinuum modell

A modell egy elemi térfogat fogalmával operál , amely a probléma jellemző méretéhez képest kicsi, de amelyben sok részecske (atom, molekula stb.) lép kölcsönhatásba egymással. Az átlagos szabad út (az az átlagos távolság, amelyet a részecske az ütközések között megtesz) sokkal kisebb legyen, mint a jellemző méret . Egy ilyen modell egy folytonos közeg részecskéivel írható le – egy folytonos közeg elemi térfogataival, amelyekben a folytonos közeg (a vizsgált tárgy részecskéinek halmaza) jellemzői állandónak tekinthetők. $dV$ $dV$

Lagrangian és Euler megközelítések a kontinuum leírására

A folytonos közeg részecskéinek azonosításához számozni kell őket. A tér háromdimenziós volta miatt három változót használunk . A közeg részecskéinek ilyen azonosítási paramétereit Lagrange-koordinátáknak (vagy anyagi) koordinátáknak nevezzük . Lagrange-koordinátákként kiválaszthatjuk például a részecskék derékszögű koordinátáit egy adott időpontban . Általánosságban elmondható, hogy a közeg részecskéinek "számozásának" módja tetszőleges lehet. $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\tau$

A térbeli koordinátarendszerben a környezet pontjainak koordinátáit Euler (vagy térbeli) koordinátáknak nevezzük . A folytonos közeg kinematikájának problémájára az a megoldás, hogy egy anyagrészecske koordinátáit bármikor megállapítjuk, vagyis olyan függvényeket vagy függvényeket találunk , amelyek az egyes részecskéket az időben elfoglalt helyzetükhöz kapcsolják. $(x_1,x_2,x_3)$ $(x_1,x_2,x_3)$ $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$

Bármely függvény, amely leírja a részecskék tulajdonságait egy folytonos közegben ( sűrűség , hőmérséklet , gyorsulás stb.) , definiálható Lagrange-koordináták ( Lagrange-féle megközelítés ) vagy Euler-koordináták függvényeként ( Euleri megközelítés ). $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}$

Az Euler-változók bármelyik függvényéhez , $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))} +v_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+v_{3}{\frac {\partial f}{\partial x_{3))))

Egy részecske pályája mindenkor a pozícióinak lokusza. A részecske pályáját a mozgás törvénye határozza meg

Az áramvonal egy adott időpontban olyan görbe, amelynek érintő iránya minden pontban egybeesik egy folytonos közeg sebességvektorának irányával az adott időpontban. Az áramvonalakat az egyenletek alapján határozzuk meg $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i })}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Cauchy-Helmholtz formula

A Cauchy-Helmholtz képlet összefüggésbe hozza a közeg részecskéinek sebességét egy bizonyos pont egy kis szomszédságában , ha ismert a részecskék sebessége az adott pontban . $A$ $O(x_{1},x_{2},x_{3})$ $O$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

ahol az alakváltozási sebesség tenzor , a a kis alakváltozási tenzor és az örvényvektor. ${\hat {E}}=(e_{ij})$ ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Bizonyíték

A pontot a következőképpen ábrázoljuk $A$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

Lineáris közelítésben

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, vagy a nabla operátoron keresztül : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\jobbra)

Egy pont relatív mozgatásának a formája van, a fentiekből vagy koordinátákból $A$ $O$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i)){\partial r_{j))}\cdot r_{j}\ right)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Átírható

dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

ahol

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{ j}}{\részleges r_{i}}}}\jobbra)

, a .

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j} }{\partial r_{i}}}}\right)

Átalakítás után

\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Kiderült, hogy a Cauchy-Helmholtz képlet:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt

Így , vagy sebességeknél: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Tiszta deformáció

A tiszta alakváltozás esete a mozgás forgórészének hiányában merül fel . A fő koordinátarendszerben (a megfelelő főtengelyekben) igaz: $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$

{\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

A Cauchy-Helmholtz képlet szerint . $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

Tiszta deformáció esetén egy folytonos közeg kis részecskéjének pontjai, amely pillanatnyilag a sugarú gömbön fekszik , átmennek egy ellipszoidba , amelyet deformációs ellipszoidnak nevezünk . Egy folytonos közeg részecskéjének a deformáció fő tengelyein fekvő pontjai az ugyanazon a tengelyeken történő deformáció után megmaradnak, és csak elmozdulást tapasztalnak ezek mentén. $t$ $a$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Az ellipszoid főtengelyeinek hosszát gyökök írják le . ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Homogén deformáció

Abban az esetben , ha a részecske tiszta alakváltozását és forgását meghatározó , az alakváltozást homogénnek nevezzük. ${\hat {E)),\;{\vec {\omega }}$

Az egyenletes deformáció érdekében:

A közeg síkon vagy egyenesen fekvő pontjai deformáció után egy bizonyos síkon, illetve egy egyenesen maradnak;
A fő deformációs tengelyek irányai a közeg bármely pontjára azonosak lesznek;
Ha egy adott időpontban a közeg minden pontján ugyanaz, akkor ebben a pillanatban a közeg minden pontján ugyanaz. ${\hat {E}}$ $\vec\omega$

Konzisztenciafeltétel

Definíció szerint ezeknek a tenzoroknak csak 6 különálló összetevője van. Ez a 6 komponens még mindig nem független, mivel három sebességkomponensben vannak kifejezve . A függőség révén kielégítik azokat a kapcsolatokat, amelyeket Saint-Venant kompatibilitási feltételeknek neveznek: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ $(v_{1},v_{2},v_{3})$

{\frac {\partial ^{2}e_{ij)){\partial x_{k}\partial x_{l))}={\frac {\partial ^{2}e_{kl)){ \partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}e_{kj)){\partial x_{i}\partial x_{l))}={\frac { \partial ^{2}e_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

Ebből a 81 egyenletből csak 6 független.

Irodalom

Előadások a kontinuum mechanikáról, M. E. Eglit, 1. előadás, 7-11.
Continuum mechanika, L. I. Sedov, 1. kötet, 2. fejezet