Érintő köteg

A sima sokaság érintőkötege egy vektorköteg , amelynek a pontban lévő szála a pont érintőtere . Az érintőköteget általában jelölik . $M$ $M$ $x\-ben M$ $T_{x}M$ $x$ $TM$

A teljes tér eleme egy pár , ahol és . Az érintőkötegnek természetes topológiája van (nem a diszjunktív unió topológiája) és sima szerkezete van , ami sokrétűvé alakítja. A méret a méret kétszeresével egyenlő . $TM$ $(x,\;v)$ $x\-ben M$ $v\in T_{x}M$ $TM$ $M$

Topológia és sima szerkezet

Ha egy -dimenziós sokaság, akkor van egy térkép atlasza , ahol egy nyitott részhalmaz és $M$ $n$ $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ $U_{\alpha }$ $M$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

egy homeomorfizmus .

Ezek a lokális koordináták izomorfizmust generálnak bármely , és között . Megadhat egy kijelzőt $U$ $T_{x}M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\u-ban$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

hogyan

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Ezeket a leképezéseket a topológia és a sima struktúra meghatározására használják . $TM$

Egy részhalmaza akkor és csak akkor nyitott, ha bármely számára nyitva van . Ezek a térképek a és nyílt részhalmazainak homeomorfizmusai , így sima szerkezetű térképeket alkotnak a -n . A leképezési metszéspontokban az átmeneti függvényeket a megfelelő koordináta-transzformációk Jacobi-mátrixai adják meg , tehát nyílt részhalmazok sima leképezései . $A$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alpha$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Az érintőköteg egy általánosabb, vektorkötegnek nevezett konstrukció speciális esete . Egy -dimenziós sokaság érintőkötege egy rang feletti vektorkötegként definiálható , amelynek átmeneti függvényeit a megfelelő koordináta-transzformációk Jacobi -félesége adja. $n$ $M$ $n$ $M$

Példák

A legegyszerűbb példát erre kapjuk . Ebben az esetben az érintőköteg triviális és izomorf a vetülethez képest . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\ to \mathbb{R} ^{n}$
Egységkör . Érintőkötege is triviális és izomorf . Geometriailag ez egy végtelen magasságú henger (lásd a fenti képet). $S^{1}$ $S^{1}\times \mathbb{R}$
Egy egyszerű példát kapunk egy nem triviális érintőkötegre az egységgömbön ; ez az érintőköteg nem triviális a sündisznó fésülési tétele miatt . $S^{2},$

Sajnos csak a valós egyenes és az egységkör érintőkötege rajzolható meg , mindkettő triviális. 2-elosztó esetén a tangens köteg 4-es elosztó, ezért nehéz ábrázolni. $R$ $S^{1}$

Vektor mezők

A vektormező egy sima vektorfüggvény a sokaságon, amelynek értéke minden pontban a vektor érintője , azaz egy sima leképezés $M$ $M$

V\colon M\toTM

úgy, hogy a kép , amelyet jelöl , az érintőtérben fekszik a pontban . A lokálisan triviális kötegek nyelvén az ilyen leképezést szakasznak nevezik . Az on vektormező a feletti érintőköteg egy szakasza . $x$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $x$ $M$ $M$

Az összes vektormező halmazát jelöli . A vektormezők pontonként hozzáadhatók: $M$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

és szorozd be a sima függvényekkel $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

új vektormezők beszerzése. Az összes vektormező halmaza ezután felveszi egy modul szerkezetét a sima függvények kommutatív algebráján (jellel jelölve ). $\Gamma (TM)$ $M$ $C^{\infty }(M)$

Ha van sima függvény, akkor a vektormező mentén történő differenciálás művelete egy új sima függvényt ad . Ez a megkülönböztető operátor a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $f$ $x$ $xf$

Additivitás: . $X(f+h)=Xf+Xh$
Leibniz szabálya : . $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

A sokaságon lévő vektormező a fenti tulajdonságokkal rendelkező operátorként is definiálható.

A bekapcsolt helyi vektormező az érintőköteg lokális szakasza . A lokális vektormező csak a -nak egy nyitott részhalmazán van definiálva , és a -ban minden pontban a megfelelő érintőtérből származó vektor van megadva. A lokális vektormezők halmaza egy olyan struktúrát alkot, amelyet valós vektorterek ceruzájának neveznek . $M$ $U$ $M$ $U$ $M$ $M$

Kanonikus vektormező a TM-en

Minden érintőkötegen definiálhatunk egy kanonikus vektormezőt. Ha a helyi koordináták a -n vannak , akkor a vektormező alakja $TM$ $(x,\;y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y))).

$V$ egy kijelző . $V\colonTM\TTM-be$

Egy ilyen vektormező létezése a -n összehasonlítható egy kanonikus 1-forma létezésével a kotangens kötegben . $TM$

Lásd még

Kijelző differenciálmű
vektor mező
Az eloszlás az érintőköteg egy alkötege
Kotangens köteg
A Sasaki-metrika a Riemann-féle sokaság érintőkötegének természetes mérőszáma.

Linkek

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
John M. Lee Bevezetés a sima elosztókba. - New York: Springer-Verlag, 2003. - ISBN 0-387-95495-3 .
Jürgen Jost. Riemann geometria és geometriai elemzés. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-42627-2 .
Todd Rowland. Tangent Bundle (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Tangent Bundle (angol) a PlanetMath webhelyen .