Injektív tárgy

Az injektív objektum az injektív modul fogalmának kategóriaelméleti általánosítása . A kettős fogalom egy projektív objektum .

Definíció

Egy kategóriaobjektumot injektívnek nevezünk, ha bármely morfizmushoz és monomorfizmushoz létezik kiterjesztő morfizmus , azaz . $K$ $C$ $f:A\to Q$ $h:A\to B$ $g:B\to Q$ $f$ $g\circ h=f$

Abeli-ügy

Az injektív objektum eredeti definícióját az Abeli-esetre adták (és továbbra is ez a legfontosabb). Ha egy Abel-kategória , akkor az objektumát akkor és csak akkor nevezzük injektívnek , ha a Hom függvény pontos . $C$ $K$ $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$

Elég sok injektív objektum

Egy kategóriáról azt mondjuk, hogy elegendő injektív objektum van, ha a kategória bármely objektumánál létezik egy injektív objektum monomorfizmusa . $C$ $x$ $C$ $f:X\to Q$ $K$

Injektív shell

Egy kategória - monomorfizmust esszenciálisnak nevezünk , ha bármely morfizmus esetén a kompozíció csak akkor monomorfizmus, ha az monomorfizmus. $g$ $C$ $f$ $f\circ g$ $f$

Ha lényegi monomorfizmus, és az objektum injektív, akkor injektív borítéknak nevezzük . Az injektív burok egészen a nem kanonikus izomorfizmusig egyedülálló. $f:X\to G$ $G$ $G$ $x$

Általánosítás

Legyen egy kategória — Az y morfizmusok osztálya . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$

Egy kategóriaobjektumot -injektívnek nevezünk, ha bármely morfizmushoz és az osztályból származó minden morfizmushoz létezik olyan morfizmus , amelyhez . $K$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $f:\to Q$ $h:\to B$ ${\mathcal {H}}$ $g:B\to Q$ $g\circ h=f$

Ha egy monomorfizmus osztály , akkor megkapjuk az injektív modulok definícióját. ${\mathcal {H}}$

Egy kategóriának jó néhány -injektív objektuma van, ha a kategória minden X objektumánál van egy -morfizmus X -től -injektív objektumig. $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Példák

Az Abel-csoportok kategóriájában az injektív objektumok osztható csoportok .

A modulok kategóriájában az injektív objektumok az injektív modulok . A B-ben injektív héjak találhatók, és ennek eredményeként meglehetősen sok injektív objektum van. $R-\mathrm {Mod}$ $R-\mathrm {Mod}$

A metrikus terek és rövid leképezések kategóriájában az injektív objektumok az extrém monomorfizmusok tekintetében injektív metrikus terek .

Az injektív objektumokat általánosabb kategóriákban is figyelembe veszik, például a funktorok kategóriáiban vagy a modulok tárcsa kategóriáiban .

${\mathcal {H}}$ A g into -esszenciális morfizmust akkor mondjuk -esszenciálisnak , ha bármely f morfizmus esetén az fg összetétel csak akkor tartozik az osztályba , ha f az osztályba tartozik . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Ha g egy -esszenciális morfizmus X -ből egy -injektív G objektumhoz , akkor G -t X H -injektív burkának nevezzük . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Irodalom

Jiri Rosicky . Injektivitás és hozzáférhető kategóriák.
Charles A. Weibel. Bevezetés a homológiai algebrába. – Cambridge University Press, 1994.