Snell törvénye

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Snell-törvény (más néven Snell vagy Snell ) a fény törését írja le két átlátszó közeg határán. Más jellegű hullámok, például hanghullámok törésének leírására is alkalmazható. A Snell-törvény elméleti magyarázatát lásd a Refraction című cikkben .

A törvényt Willebord Snellius holland matematikus fedezte fel 1621 -ben [1] . Valamivel később publikálta (és valószínűleg önállóan fedezte fel újra) René Descartes .

Megfogalmazás

A fény beesési szöge a felületen összefügg a törésszöggel a következő összefüggésben:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

ahol annak a közegnek a törésmutatója , amelyből fény esik a felületre;

n_{1}

\theta _{1}

- a fény beesési szöge - a felületre eső sugár és a felület normálja közötti szög;

n_{2}

annak a közegnek a törésmutatója, amelybe a fény a határfelületen való áthaladás után belép;

\theta _{2}

- fénytörési szög - a felületen áthaladó sugár és a felület normálja közötti szög . A törvény levezetése

Hagyja, hogy a rajz síkjában feküdjön. Legyen a tengely vízszintesen, a tengely függőlegesen. A szimmetria megfontolásokból következik, hogy és (a beeső, visszavert, illetve megtört hullámok esetében) ugyanabban a síkban kell elhelyezkedni. $\vec{k}$ $x$ $y$ ${\vec {k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Válasszunk ki egy síkpolarizált komponenst a beeső nyalábból, amelyben a sík és a sík közötti szög tetszőleges. Ekkor ha a nullával egyenlő kezdeti fázist választjuk, akkor: ${\vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Az eredményül kapott mező az első és a második környezetben a következő:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Nyilvánvaló, hogy a és az érintőleges komponenseknek egyenlőnek kell lenniük az interfészen, azaz at $E_1$ $E_2$ $y=0.$

Akkor:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}x+\alpha '')}.

Ahhoz, hogy az utolsó egyenlet mindenkire érvényes legyen , szükséges, hogy , és hogy mindenkire érvényes legyen , szükséges, hogy: $t,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $x,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

ahol és a hullámsebesség az első és a második közegben.

v_{1}

v_{2}

Ebből következik tehát ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

A törvény hatálya

A Snell-törvény a „ geometriai optika ” esetében jól definiált , vagyis abban az esetben, ha a hullámhossz elég kicsi a törőfelület méreteihez képest, általánosságban elmondható, hogy közelítő leírás keretei között működik, ami geometriai optika.

Teljes belső visszaverődés esetén ( nincs megtört sugár, a beeső sugár teljesen visszaverődik a közegek közötti interfészről). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

Meg kell jegyezni, hogy az anizotróp közegek (például alacsony szimmetriájú kristályok vagy mechanikailag deformált szilárd anyagok) esetében a fénytörés valamivel összetettebb törvénynek engedelmeskedik. Ebben az esetben a megtört nyaláb irányának függősége nem csak a beesés irányától, hanem annak polarizációjától is lehetséges (lásd kettős törés ).

A Snell-törvény nem írja le a beeső, megtört és visszavert sugarak intenzitásának és polarizációjának arányát a részletesebb Fresnel-képletekben .

Történelmi vázlat

A fénytörés első törvénye, vagyis a törésszögnek a beesési szögtől való függése kísérletileg megpróbálta meghatározni a híres ókori csillagászt , Claudius Ptolemaiosz „Optika” című értekezésének ötödik könyvében . Ptolemaiosz megmérte, hogyan változik a törésszög a beesési szögtől függően, amikor az utóbbi változik -ról, és táblázatokat állított össze a közegváltás három lehetőségéről: levegő-víz, levegő-üveg és víz-üveg. Például a levegő-víz esetére Ptolemaiosz táblázata a következő (összehasonlításképpen a mai adatok és a hibaérték is megadva) [2] [3] : ${\displaystyle 10^{\circ ))$ $80^{\circ },$

Törésszögek Ptolemaiosz szerint és a mai adatok szerint (levegő-víz)

Beesési szög, fok	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Ptolemaiosz adatai	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Modern adatok	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Hiba érték	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

A történészek arra a következtetésre jutottak, hogy Ptolemaiosz valójában csak a 60°-os tartományban és az ahhoz közeli szögekben mérte a nyaláb elhajlását, mivel mindhárom táblázatban ennél az értéknél a hiba nulla, más szögeknél pedig lineáris közelítést végzett. általa kiválasztott együtthatókkal. A valóságban azonban a törésszög függése a beesési szögtől nem lineáris, így Ptolemaiosz nagy hibákat kapott [2] [4] .

A 11. századi arab fizikus és csillagász, Ibn al-Khaytham „ Optika könyvében (1021) szintén ezt a témát tárgyalja, és a ptolemaioszi táblázatokhoz közeli táblázatait adja meg, de nem kísérli meg matematikailag kifejezni a szükséges törvényt. [3] .

1990-ben Roshdi Rashed arab tudománytörténész , aki a világtudományhoz való arab hozzájárulások kutatására specializálódott, közzétett egy cikket, amelyben arról számolt be, hogy talált két töredéket egy kevéssé ismert tudós arab kéziratából. században, Ibn Sal , Ibn al-Haytham egyik tanítója. Rashed arról is beszámolt, hogy képes volt rekonstruálni egy szöveget, amelyből az következik, hogy ibn Sal felfedezte és helyesen fogalmazta meg Snell törvényét. Egyelőre nincs független megerősítés Rashed állításairól. Azt is meg kell magyarázni, hogy ibn Sal egyik követője, köztük tanítványa, Ibn al-Khaytham miért nem említi ezt az alapvető teljesítményt, és miért nem maga ibn Sal számol be arról, hogy milyen kísérletekkel igazolta felfedezését [5] [3] .

Európában a fénytörés törvényének első megfogalmazása Thomas Harriot angol matematikus (1602) kiadatlan kéziratában található. Johannes Kepler német csillagász , aki a legjobb gyújtólencsék kiválasztásának problémájával foglalkozott, arra kérte Harriotot, hogy adjon meg részleteket a nyílt törvényről, de Harriot frissített táblázatok küldésére korlátozódott, arra hivatkozva, hogy a rossz egészségi állapot nem teszi lehetővé számára a jogszabályt közzétételre alkalmas formában fejezze ki [6] .

Ennek a törvénynek egy másik, publikálatlan felfedezése 1621-ben történt, amikor Willebord Snell ( Snellius ) holland matematikus a modernnel egyenértékű formában írta le a fénytörés törvényét: „ ugyanabban a médiában a beesési szögek koszekánsainak aránya. és a fénytörés állandó marad . Egy 1626-ban bekövetkezett hirtelen halál megakadályozta, hogy Snell publikálhassa felfedezését, de pletykák terjedtek róla, és Snell dolgozatának vázlata fennmaradt, és az Amszterdami Egyetem könyvtárában található [7] .

Később a "Snell-törvényt" René Descartes önállóan fedezte fel és publikálta a Discourse on Method című értekezésében (Dioptriás függelék, 1637). Snell elsőbbségét Christian Huygens határozta meg 1703-ban (Dioptrics című értekezésében), 77 évvel Snell halála után, amikor ez a törvény már jól ismert volt; Huygens is alátámasztotta (a Treatise on Light- ban ) Snell törvényének a fény hullámelméletéből és a Huygens-Fresnel elvből való származtatását . Az ellenzők plágiummal vádolták Descartes- t, gyanítva, hogy egyik leideni látogatása során Descartes hallott Snell felfedezéséről, és megismerkedett kézirataival [8] . A plágiumra azonban nincs bizonyíték, és Descartes független útját ehhez a felfedezéshez a történészek részletesen tanulmányozták [9] [10] .

Fermat-elv

A fénytörés törvényének bizonyítására használható a jól ismert elv [11] , amely a fénynyaláb két pont közötti út mentén történő mozgásáról szól, amely a legkevesebb időt igényel. Legyen a fénysebesség két közegben és , akkor az A és B pontok közötti mozgás ideje a közegek határán lévő P pont megválasztásától függ: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Ennek a függvénynek akkor lesz minimuma, ha a deriváltja nulla [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Itt a szögek szinuszai háromszögekkel fejezhetők ki:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sin \beta

A származékot formára redukáljuk

{\frac {\sin \alpha }{v_{1))}-{\frac {\sin \beta }{v_{2))}=0\,,

amiből az következik

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Ez a kifejezés Snell törvénye [13] .

Vektor képlet

Legyen és a beeső és megtört fénysugarak sugárvektorai, azaz a sugarak irányát jelző vektorok, amelyek hossza és egységnyi normálvektora van a töréspontban lévő törőfelületre. Akkor: $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ $\scriptstyle {\vec {n))$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\jobbra)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Jegyzetek

↑ A Snell az eredeti Snell vezetéknév romanizált formája.
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudius Ptolemaiosz / Ill. szerk. A. A. Gurshtein. - M . : Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 p.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Theories of Light from Descartes to Newton , Cambridge University Press . ( vö. Pavlos Mihas, Use of History in Developing ideas of refraction, lenses and rainbow , 5. o., Demokritus University, Thrace , Görögország .)
↑ Ptolemaiosz (kb. 100-kb. 170) . Eric Weinstein A tudományos életrajz világa . Letöltve: 2021. július 28. Az eredetiből archiválva : 2006. április 27.. (határozatlan)
↑ Dr. Gorden Videen . Kinek a fénytörés törvénye? Archivált : 2021. július 27. a Wayback Machine -nél , Optika és Fotonika Hírek (2008. május) Archiválva : 2021. július 27. a Wayback Machine -nél
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). – Ki fedezte fel valójában Snell törvényét? PhysicsWorld . 15 (4):64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Fizikatörténet . - M. - L. : GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
↑ A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. A fizika világtörténete. Az ókortól a 18. század végéig. - Szerk. 3. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 p. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. 3. kötet: Sugárzás. Hullámok. Quanta. Fordítás angolból (4. kötet). — Szerkesztői URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optika: tankönyv egyetemek számára . - 6. kiadás sztereot. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 p. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Snell törvénye // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 p. - 40.000 példány. - ISBN 5-85270-087-8 .

Linkek

A nagy tudomány elemei: Snell törvénye