Biot-Savart-Laplace törvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2014. június 26-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 63 szerkesztést igényelnek .

A Biot-Savár-Laplace törvény ( a Biot-Savár törvény is) egy fizikai törvény az egyenárammal generált mágneses tér indukciós vektorának meghatározására . Biot és Savart kísérletileg hozta létre, és Laplace fogalmazta meg általánosan .

E törvény szerint az áramsűrűség térbeli eloszlásával létrejövő mágneses indukció vákuumban egy sugárvektorral rendelkező pontban ( SI -ben ) $\mathbf {j} (\mathbf {r} )$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

ahol a térfogatelem, és az integráció minden területen megtörténik, ahol (a vektor az integráció során az aktuális pontnak felel meg). A mágneses tér vektorpotenciáljára is van képlet . $dV$ $\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$

A Biot-Savart-Laplace törvény szerepe a magnetosztatikában hasonló a Coulomb-törvény elektrosztatikában betöltött szerepéhez. Széles körben használják a mágneses mező kiszámítására az áramok adott eloszlásából.

A modern módszertanban a Biot-Savart-Laplace törvényt rendszerint két Maxwell-egyenlet következményének tekintik egy mágneses térre állandó elektromos tér feltétele mellett.

A Biot-Savart törvény különböző esetekben

A Biot-Savart törvényt a vákuumban lévő áramok mágneses mezőjének kiszámítására használják. Koordinátafüggetlen mágneses permeabilitású közeg esetén is használható (akkor mindenhol helyettesíti a -val ). De inhomogén mágnes jelenlétében a képletek nem alkalmazhatók, mivel az integráció eléréséhez mind a vezetési áramokat, mind a molekuláris áramokat figyelembe kellene venni, és ez utóbbiak nem ismertek előre. $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$ $\mathbf {B}$

Vékony vezetőn átfolyó áramokhoz

Egyenáram folyjon át egy áramkörön (vezetőn) vákuumban, azon a ponton, ahol a mezőt meg kell keresni. Ekkor a mágneses tér indukcióját ezen a ponton az integrál fejezi ki ( az SI mértékegységrendszerében ) $én$ $\gamma$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\ mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

ahol a szögletes zárójel a vektorszorzatot jelöli , a kontúrpontok helyzete , a kontúrelem vektora (az áram végigfolyik rajta); a mágneses állandó . $\mathbf {r}$ $\gamma$ $d\mathbf {r}$ $\mu_{0}$

A vektorpotenciált az integrál adja meg (az SI rendszerben )

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}

A kontúrnak lehetnek ágai. Ebben az esetben a fent megadott kifejezést az ágak összegeként kell érteni, az egyes ágakra vonatkozó kifejezés az írott forma integrálja. Egy egyszerű (nem elágazó) áramkörnél (és a magnetosztatikus közelítés feltételei mellett, ami a töltés felhalmozódásának hiányát vonja maga után) az áramkör minden szakaszában azonos, és az integráljelből kivehető. $\gamma$ $én$

Ha kiindulási pontnak vesszük azt a pontot, ahol meg kell találni a mágneses indukciós vektort, akkor a képlet kissé leegyszerűsödik: $\mathbf {r} _{0}=0$

d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]} {r^{3}}}

ahol az áramerősségű vezető görbéjét leíró vektor , a modulus , a vezetőelem által létrehozott mágneses indukciós vektor . ${\vec {r))$ $én$ $r$ ${\vec {r))$ $d{\vec B}$ $d{\vec r}$

Az irány merőleges a és vektorokat tartalmazó síkra . A mágneses indukciós vektor iránya a megfelelő csavarszabály segítségével határozható meg : a csavarfej forgásiránya akkor adja meg az irányt , ha a kardán transzlációs mozgása megfelel az elemben lévő áram irányának. A vektor modulusát ( SI -ben ) adjuk meg $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf B}$

dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},

ahol a vektor (a vezetőelemtől a keresett mezőig húzott sugárvektor) és a vezetőelem közötti szög . $\alpha$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$

A mező a gyűrű közepén

Keressük meg a mágneses teret egy gyűrűs sugarú tekercs közepén árammal . Párosítsuk az origót azzal a ponttal, ahol az indukciót keressük. A mezőt létrehozó aktuális elem (a gyűrű ívének eleme) sugárvektora így lesz felírva , ahol a gyűrű síkjában lévő egységvektor, a középpontból irányítva. Az ívelemet a következőképpen írjuk fel , ahol a kör egység érintővektora. A Biot-Savart képlet szerint $R$ $én$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{r}$ $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r }}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}dl \,{\vec {e}}_{z}

mivel az egységvektor a gyűrű tengelye mentén. Ahhoz, hogy megtalálja az egész gyűrű által létrehozott mezőt, és nem egy elemet, integrálnia kell. Eredmény: ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z}$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R ^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}

mivel az integrál egyszerűen egy kör kerülete . $2\pi R$

Egy végtelen egyenes vezeték mezeje

Határozzuk meg most azt a mágneses teret, amelyet egy végtelen egyenes vezető hoz létre, amelynek árama a vezetőtől távolságra van. Ezúttal az origót a P vetületben, ahol az indukciót keressük, a huzal tengelyére választjuk . Ekkor a mezőt létrehozó aktuális elem sugárvektora (egy egyenes szakasz eleme) így lesz felírva , while , a P pont sugárvektora pedig . A Biot-Savart képlet szerint $én$ $R_{0}$ $z$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=z{\vec {e}}_{z}$ $d{\vec {r}}=dz\,{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {r}}_{0}=R_{0}{\vec {e}}_{r}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {r}}\times ({\vec { r}}_{0}-{\vec {r}})]}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[dz\,{\vec {e}}_{z}\times (R_{0}{\vec {e}}_{ r}-z{\vec {e}}_{z})]}{|R_{0}{\vec {e}}_{r}-z{\vec {e}}_{z}|^ {3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R_{0}}{(R_{0}^{2}+z^{2}) ^{3/2}}}\,dz\,{\vec {e}}_{\varphi }

mivel egységvektor egy kör mentén, amelynek szimmetriatengelye a vezeték, és . A teljes vezeték mezőjének megtalálásához integrálnia kell innen : ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}={\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{z}=0$ $z$ $-\infty$ $+\infty$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}IR_{0}{\vec {e}}_{\varphi }}{ 4\pi }}\int {\frac {dz}{(R_{0}^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I }{2\pi R_{0}}}\,{\vec {e}}_{\varphi }

mivel az integrál egyenlő (vételkor csere történik ). Az eredmény egybeesik azzal, amit egy másik, adott geometriára egyszerűbb módszerrel kapunk - a Maxwell-egyenletből a mágneses térerősség integrál alakban változó mezők hiányában: . Ha egy sugarú kört választunk kontúrként, amely mentén az integrációt végrehajtjuk , akkor a szimmetria miatt a mező minden pontján azonos nagyságú lesz, és az érintő mentén irányul ( , ). Majd az integráció ad , ami után megvan . Ennek megfelelően vákuumnál (és homogén, permeabilitású mágneses közegnél ) jelenik meg helyette . ${\displaystyle 2/R_{0}^{2))$ $z=R_{0}\tan \beta$ ${\vec {H}}$ $\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I$ $R_{0}$ $H$ ${\vec {H}}=H{\vec {e}}_{\varphi }$ $d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ $2\pi R_{0}H$ ${\displaystyle H=I/2\pi R_{0))$ $B=\mu _{0}I/2\pi R_{0}$ $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$

Felületi és ömlesztett áramokhoz

Abban az esetben, ha a mágneses tér forrása térfogati eloszlású áramok (A/m 2 ), amelyeket koordinátafüggő áramsűrűségvektor jellemez , a mágneses indukció Biot-Savart törvénye és a vektorpotenciál képlete a következő alakot ölti. ( SI rendszerben ) $\mathbf {j}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

ahol a térfogatelem, és az integráció a teljes térben (vagy annak minden régiójában, ahol (a vektor az integráció során az aktuális pontnak (az elem helyzetének ) felel meg ). $dV$ $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $dV$

Abban az esetben, ha a mágneses tér forrása egy bizonyos felületen átfolyó áram (A/m), $\mathbf{i}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

ahol az áramvezető felület azon területeleme, amelyen az integrációt végrehajtjuk. $dS$

A törvény logikai helye a magnetosztatikában

Az elektromágnesesség doktrínájának modern bemutatásában a Biot-Savart-Laplace törvényt általában két Maxwell-egyenlet eredményeként pozícionálják egy mágneses térre állandó elektromos tér feltétele mellett - és ezekből származtatják matematikai transzformációkkal. Ebben a logikában a Maxwell-egyenletek alapvetőbb, posztulált állításokként működnek (többek között azért, mert a Biot-Savart képletet nem lehet egyszerűen általánosítani az időtől függő mezők általános esetére).

Történelmileg azonban a Biot-Savart törvény megjelenése megelőzte a Maxwell-egyenleteket, és része volt az utóbbi megfogalmazásának kísérleti alapjának. E törvény megalkotásának előfutárai voltak Ampère kísérletei a vezetők és az áramerősség kölcsönhatásának vizsgálatára. Ez az erőkölcsönhatás a „mágneses mező” szóhasználat nélkül is leírható, de az áramok kölcsönhatásának értelmezése fokozatosan úgy alakult ki, mint az egyik áram kölcsönhatása egy másik áram által létrehozott mezővel, az egyenlőségek szerint:

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

ahol és a vezetők hosszelemeinek sugárvektorai és , és az elem ereje ( a pontban mezőt hoz létre ) az elemre . Valójában ugyanakkor a „mágneses tér” önálló fizikai entitássá vált, és nem az erő, hanem a mező meghatározása merült fel. Biot és Savard 1820 -ban részt vett ezekben a munkákban , és Laplace általános képletet javasolt a területre . Azt is megmutatta, hogy a Biot-Savart törvény segítségével ki lehet számítani egy mozgó ponttöltés mezejét (feltéve, hogy egy töltött részecske mozgása áram). Az akkori logika szerint ez a törvény az elsődleges. ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {l}}_{2}$ $d^{2}{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{2}$

Formális szempontból a magnetosztatika esetében mindkét megközelítés egyenrangúnak tekinthető, vagyis ebben az értelemben, hogy melyiket deklaráljuk kiindulási pozícióként, és melyiket következményként az axiomatizáció megválasztásától függ, ami a magnetosztatika esetében legyen az egyik vagy a másik egyenlő joggal és gyakorlatilag egyenlő a kényelemmel. De, mint fentebb említettük, most a Maxwell-egyenleten alapuló megközelítés dominál.

A Biot-Savart-Laplace törvény más módon is származtatható, az elektromágneses tértenzor összetevőinek Lorentz-transzformációjával mozgó vonatkoztatási rendszerből, ahol csak egy bizonyos töltésrendszer elektromos tere van, rögzített referenciakeretté. [1] . Kiderült, hogy a mágneses teret a Biot-Savart törvényben nagyságrendileg egyenlő relatív pontatlansággal határozzák meg , ahol a fénysebesség és az áramsűrűségben szereplő töltött részecskék sodródási sebessége . $v^{2}/c^{2}$ $c$ ${\mathbf v}$ $\vec{j}$

Gyakorlati szempontból a számítások szempontjából a Biot-Savart-Laplace törvény ugyanazt a szerepet játszik a magnetosztatikában , mint a Coulomb-törvény az elektrosztatikában.

A törvény levezetése Maxwell-egyenletekből

A Biot-Savart-Laplace törvény a Maxwell-egyenletekből származtatható stacionárius térre. Ebben az esetben az idő deriváltjai 0-val egyenlőek, így a vákuumban lévő mező egyenletei a következőt öltik: (az SI rendszerben )

\operatorname {rot} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operátornév {div} \,\mathbf {B} =0

\operátornév {rot} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operátornév {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho

ahol az áramsűrűség a térben, az elektromos állandó , a töltéssűrűség . Ebben az esetben az elektromos és a mágneses mező függetlennek bizonyul. ${\mathbf j}$ $\varepszilon_{0}$ $\rho$

Használjuk a mágneses tér vektorpotenciálját ( ). Az egyenletek mérőváltozatlansága lehetővé teszi, hogy egy további feltételt szabjunk a vektorpotenciálra: . A for egyenletben szereplő kettős rotort a vektoranalízis képletével kibővítve a potenciálra a Poisson-egyenlet típusának megfelelő egyenletet kapunk : ${\mathbf A}$ ${\mathbf B}=\operátornév {rot}\,{\mathbf A}$ $\operátornév {div}\,{\mathbf A}=0$ $\operátornév {rot} \,\mathbf {B}$ ${\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .

Konkrét megoldását a newtoni potenciálhoz hasonló integrál adja :

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\ mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV

Ekkor a mágneses teret az integrál határozza meg

\mathbf {B} =\operátornév {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac { 1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV={\frac {\mu _{0} }{4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV

formában hasonló a Biot-Savart-Laplace törvényhez. Ez a megfeleltetés akkor tehető teljessé, ha általánosított függvényeket használunk , és felírjuk az üres térben lévő áramú tekercsnek megfelelő térbeli áramsűrűséget. A teljes téren átívelő integrációból áttérve az iterált integrálra a kanyar mentén és a rá merőleges síkok mentén, és ezt figyelembe véve megkapjuk a Biot-Savart-Laplace törvényt az áramerősségű kanyar mezőjére. ${\mathbf j}dV=I{\mathbf {dl))$

Jegyzetek

↑ Fedosin, Sergey G. (2021). „Tétel a forgó töltött testek mágneses teréről”. Haladás az elektromágneses kutatásban M . 103 , 115-127 (1999)]. arXiv : 2107.07418 . Irányszám : 2021arXiv210707418F . DOI : 10.2528/PIERM21041203 .// Tétel a forgó töltött testek mágneses teréről Archiválva : 2021. augusztus 14. a Wayback Machine -nál .

Irodalom

Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam. - Szerk. 4., sztereotip. — M .: Fizmatlit ; MIPT Kiadó, 2004. - III. évf. Elektromosság. — 656 p. - ISBN 5-9221-0227-3 ; ISBN 5-89155-086-5 ..
Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .