Busemann-Petty probléma

A Busemann-Petty probléma egy konvex geometriai probléma, amelyet Busemann és Petty fogalmazott meg 1956-ban.

Igaz-e, hogy egy szimmetrikus konvex test nagyobb központi hipersíkmetszetekkel nagyobb térfogatú?

A válasz a méretekben pozitív, a méretekben pedig negatív . $\leq 4$ $\ge 5$

A probléma arról híres, hogy a dimenzióban eleinte (rossz) nemleges, majd néhány év múlva pozitív válasz érkezett. Ráadásul mindkét cikket ugyanaz a szerző publikálta az egyik legrangosabb matematikai folyóiratban, az Annals of Mathematicsban . $négy$

Megfogalmazás

Legyenek és olyan konvex testek a -dimenziós euklideszi térben , amelyeknek közös szimmetriaközéppontja van, $K_1$ $K_{2}$ $n$

\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)

minden egyes szimmetriaközépponton áthaladó hipersíkra . Igaz-e az $A$

\mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?

Történelem

A 2. dimenzióban a probléma triviális, a válasz igen.
1956 Busemann és Petty megmutatta, hogy a válasz igen, ha az első test egy labda.
1975 Larmen és Rogers alkotott egy ellenpéldát a méretekre vonatkozóan . $\geq 12$
1986-ban Keith Ball bebizonyította, hogy ha egy kockát veszünk első testnek és egy megfelelő golyót másodiknak, akkor ellenpéldát adunk a méretekre . $\geq 10$
1988, Lutwak kimutatta, hogy egy adott dimenzióban a problémára adott válasz akkor és csak akkor pozitív, ha abban a dimenzióban minden szimmetrikus konvex test metszettest .
Giannopoulos és Burgen egymástól függetlenül konstruált ellenpéldákat a méretekben . $\geq 7$
Papadimitrakis és Gardner egymástól függetlenül konstruált ellenpéldákat az 5. és 6. dimenzióban.
1994 Gardner pozitív választ adott a dimenzionalitás kérdésében . $3$
1994 Gaoyun Zhang publikált egy tanulmányt (az Annals of Mathematics -ban), amelyben részben azzal érvelt, hogy a válasz dimenziójában negatív. $négy$
1997 Alexander Koldobsky cáfolta Gaoyun Zhang állítását.
1999 Koldobsky eredményeinek tanulmányozása után Zhang gyorsan bebizonyította, hogy a válasz dimenzióban igen. Ez a későbbi munka az Annals of Mathematics-ban is megjelent. $négy$

Változatok és általánosítások

Minkowski egyediségtétele kimondja, hogy ha két szimmetrikus konvex testnek a közös középpontjukon áthaladó bármely hipersík metszete egyenlő, akkor ez a két test egyenlő.
A Shepard-probléma egy hasonló probléma, amelyben metszetek helyett az összes lehetséges hipersíkra vonatkozó vetületeket veszik figyelembe .

Linkek

Ball, Keith (1988), Néhány megjegyzés a konvex halmazok geometriájához , A funkcionális elemzés geometriai aspektusai (1986/87) , vol. 1317, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 224–231, ISBN 978-3-540-19353-1 , DOI 10.1007/BFb0081743
Busemann, Herbert és Petty, Clinton Myers (1956), Konvex testek problémái , Mathematica Scandinavica 4. kötet: 88–94, ISSN 0025-5521 , < http://www.mscand.dk/article/download/10457/8478 >
Gardner, Richard J. (1994), Pozitív válasz a Busemann-Petty problémára három dimenzióban , Annals of Mathematics. Second Series 140 (2): 435–447, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118606
Gardner, Richard J.; Koldobsky, A. & Schlumprecht, T. (1999), A Busemann-Petty probléma analitikus megoldása konvex testek metszeteire , Annals of Mathematics. Second Series 149(2): 691-703, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120978
Koldobsky, Alexander (1998a), Metszésponti testek, pozitív határozott eloszlások és a Busemann-Petty probléma , American Journal of Mathematics 120. kötet (4): 827–840, ISSN 0002-9327 , doi : 10.1353/ajm.1998 , < 000.3998,. http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.4koldobsky.pdf >
Koldobsky, Alexander (1998b), Intersection body in R⁴ , Advances in Mathematics vol . 136 (1): 1–14, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1006/aima.1998.1718
Koldobsky, Alexander (2005), Fourier-analízis a konvex geometriában , vol. 116, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0 , < https://books.google.com/books?id=UU25A67LVe0C >
Larman, DG & Rogers, CA (1975), Egy központilag szimmetrikus konvex test létezése váratlanul kicsi középső szakaszokkal , Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics 22. kötet (2): 164–175, ISSN 0025-5793 , DOI 10.1112/S0025579300006033
Lutwak, Erwin (1988), Intersection body and dual vegyes kötetek , Advances in Mathematics 71. kötet (2): 232–261, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1016/0001-8708(88)90077-1
Zhang, Gao Yong (1994), Intersection body and the Busemann-Petty egyenlőtlenségek in R⁴ , Annals of Mathematics. Second Series vol. 140 (2): 331–346, Az ebben a cikkben szereplő eredmény hibás; lásd a szerző 1999-es javítását., ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118603
Zhang, Gaoyong (1999), Pozitív megoldás a Busemann-Petty problémára R⁴ , Annals of Mathematics. Second Series 149 (2): 535–543, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120974