Riemann-Liouville differenciálintegrál

A matematikában a Riemann-Liouville differenciálintegrál a paraméter minden értékére leképez egy valós függvényt egy másik , azonos típusú függvényre . Ez a differenciális integrál az iterált antiderivált általánosítása abban az értelemben, hogy pozitív egészek esetén a sorrendi függvény iteratív deriváltja . A Riemann–Liouville differenciálintegrál Bernhard Riemann és Joseph Liouville nevéhez fűződik , akik közül az utóbbi 1832-ben először mérlegelte a törtszámítás lehetőségét. [1] Ez az operátor konzisztens az Euler-transzformációval , amikor analitikus függvényekre reagál . [2] Marcel Rees általánosította tetszőleges méretekre , aki bemutatta a Rees-potenciált . $f\colon\R\to\R$ $I^{\alpha }f$ $\alpha >0$ $f$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $f$ $\alpha$

A Riemann-Liouville integrál a következőképpen definiálható:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

ahol a gamma-függvény , és egy tetszőleges, de rögzített referenciapont. Azt a tényt, hogy ez az integrál jól definiálható, a függvény lokális integrálhatósága biztosítja , egy komplex szám a félsíkban . A referenciaponttól való függés gyakran nem szignifikáns, és az integrációs állandó megválasztásának szabadságát jelenti . természetesen a függvény (első rendű) antideriváltja , pozitív egészek esetén a sorrend antideriváltja a Cauchy iterált integrációs képlet szerint . Más jelölésben, a referenciaponttól való függést hangsúlyozva, a következő formában van : [3] : $\Gamma$ $a$ $f$ $\alpha$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $a$ $I^{1}f$ $f$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $\alpha$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Ennek a kifejezésnek is van értelme , megfelelő korlátozásokkal a . $a=-\infty$ $f$

Az alapvető kapcsolatok továbbra is fennállnak:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ béta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

amelyek közül az utolsó egy félcsoport tulajdonság. [1] Ezek a tulajdonságok nemcsak törtintegráció meghatározását teszik lehetővé, hanem törtdifferenciálást is a függvény megfelelő számú deriváltjának felvételével . $I^{\alpha }f$

Tulajdonságok

Legyen egy fix korlátos intervallum . Az operátor bármely integrálható függvényt leképez egy függvényre , amely szintén integrálható Fubini tételével . Így definiál egy lineáris operátort a térben : $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

Fubini tételéből az is következik, hogy ez az operátor folytonos a Banach-tér szerkezetére nézve a -n . Így igaz a következő egyenlőtlenség: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Itt a normát jelöli . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

Általánosabb esetben a Hölder-féle egyenlőtlenségből következik, hogy ha -hoz tartozik , akkor -hoz is tartozik, és hasonló egyenlőtlenség áll fenn: $f$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

hol van a térnorma az intervallumon . Így definiál egy korlátos lineáris operátort önmagától. Sőt, a valós tengely mentén in - értelmű . Azaz: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $f$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

mindenkinek . Ezenkívül az operátor maximális függvényének kiértékelésével szinte mindenhol pontszerű konvergenciát lehet bizonyítani . $p\leqslant 1$ $én$ $I^{\alpha }f\to f$

Az operátor jól definiált a helyileg integrálható függvények halmazán a teljes valós vonalon . Korlátozott leképezést határoz meg bármely exponenciális típusú függvények Banach-terére , amely olyan lokálisan integrálható függvényekből áll, amelyekre a norma ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

véges. Az out esetében a függvény Laplace-transzformációja különösen egyszerű formát ölt: $f$ $X_{\sigma }$ $I^{\alpha }f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

ahol . Itt egy függvény Laplace-transzformációját jelöljük, és ez a tulajdonság azt a tényt fejezi ki, hogy ez egy Fourier-szorzó . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(ek)$ $f$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$

Törtszármazékok

A függvény törtrendű deriváltjait is megadhatja : $f$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

ahol azt a műveletet jelöli, amely az egész szám egész részét veszi fel . Differenciál-integrál interpolációt is kaphatunk a differenciálás és az integráció között, ha meghatározzuk: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \ alfa \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alfa }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Jegyzetek

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Frakcionált integráció és differenciálás , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Euler-transzformáció , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller és Ross, 1993 , p. 21

Linkek

Hille, Einar és Phillips, Ralph S. (1974), Funkcionális elemzés és félcsoportok , Providence, RI: American Mathematical Society .
Miller, Kenneth S. és Ross, Bertram (1993), Bevezetés a törtszámításba és a törtdifferenciálegyenletekbe , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica vol. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardon. Törtszámítás II . Cambridge-i Egyetem (2000). Archiválva az eredetiből 2012. május 17-én. (határozatlan)
Alan Beardon. Törtszámítás III . Cambridge-i Egyetem (2000). Archiválva az eredetiből 2012. május 17-én. (határozatlan)